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10. 小强和小勇想利用课本上学过的知识来进行台球比赛。小强把白球放在如图所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞。想想看，小强这样打，黑球能进F洞吗？请用画图的方法验证你的判断，并说出理由。
答案
10.不能进入F洞。理由略。
解析
【分析】
要判断黑球撞击AC边反弹后能否进入F洞，可利用台球反弹时入射角等于反射角的规律，结合轴对称的性质验证：首先确定黑球运动路径与AC边的撞击点，再根据反弹规律画出反弹后的路径，判断路径是否经过F洞即可；也可通过作F关于AC的对称点，判断对称点是否在黑球的入射路径延长线上完成验证。
【解析】
1. 将黑球当前的运动虚线向AC边方向延长，与AC边交于点P，该点就是黑球撞击AC边的位置。
2. 验证方法：过点P作AC的垂线作为法线，测量黑球入射路线与法线的夹角（入射角），在法线另一侧画出与入射角大小相等的反射角，得到黑球反弹后的运动路径，可观察到该路径不经过F洞。
也可利用轴对称验证：作点F关于AC边的对称点F'，能观察到F'不在黑球入射路径的延长线上，说明黑球撞击AC边反弹后不会经过F点。
【答案】
不能进入F洞。
【知识点】
轴对称的应用，反射规律
【点评】
本题结合生活中的台球运动场景，考查数学知识的实际应用，需要学生将实际的反弹规律转化为数学中的轴对称或角相等的模型，有助于提升学生的建模能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
要判断黑球撞击AC边反弹后能否进入F洞，可利用台球反弹时入射角等于反射角的规律，结合轴对称的性质验证：首先确定黑球运动路径与AC边的撞击点，再根据反弹规律画出反弹后的路径，判断路径是否经过F洞即可；也可通过作F关于AC的对称点，判断对称点是否在黑球的入射路径延长线上完成验证。
【解析】
1. 将黑球当前的运动虚线向AC边方向延长，与AC边交于点P，该点就是黑球撞击AC边的位置。
2. 验证方法：过点P作AC的垂线作为法线，测量黑球入射路线与法线的夹角（入射角），在法线另一侧画出与入射角大小相等的反射角，得到黑球反弹后的运动路径，可观察到该路径不经过F洞。
也可利用轴对称验证：作点F关于AC边的对称点F'，能观察到F'不在黑球入射路径的延长线上，说明黑球撞击AC边反弹后不会经过F点。
【答案】
不能进入F洞。
【知识点】
轴对称的应用，反射规律
【点评】
本题结合生活中的台球运动场景，考查数学知识的实际应用，需要学生将实际的反弹规律转化为数学中的轴对称或角相等的模型，有助于提升学生的建模能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在四边形ABCD中进行操作:①作点A关于BD的对称点P;②作射线PC交BD于点Q;③连接AQ。试用所作图形进行判断,下列选项中正确的是 (
A.$∠ PCB=∠ AQB$
B.$∠ PCB＜∠ AQB$
C.$∠ PCB＞∠ AQB$
D.以上三种情况都有可能
C
)A.$∠ PCB=∠ AQB$
B.$∠ PCB＜∠ AQB$
C.$∠ PCB＞∠ AQB$
D.以上三种情况都有可能
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先利用轴对称的性质得到相等的角，再结合射线共线的特征得到邻补角的关系，最后通过三角形内角和定理推导两个待比较角的数量关系：首先，点A关于BD对称得到点P，BD上的点Q到A、P的对应角相等，可得∠AQB=∠PQB；其次，射线PC交BD于Q，说明P、C、Q三点共线，∠PCB和∠QCB是邻补角；最后在△QCB中用内角和定理代换角度，即可判断大小。
【解析】
1. 根据轴对称的性质：点A与点P关于BD对称，Q在BD上，因此对应角相等，即$∠ AQB = ∠ PQB$。
2. 由射线PC交BD于Q可知，P、C、Q三点共线，因此$∠ PCB + ∠ QCB = 180°$，变形得$∠ QCB = 180° - ∠ PCB$。
3. 在$△ QCB$中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$∠ QCB + ∠ CBQ + ∠ PQB = 180°$
4. 将$∠ QCB = 180° - ∠ PCB$、$∠ PQB=∠ AQB$代入上式：
$(180° - ∠ PCB) + ∠ CBQ + ∠ AQB = 180°$
化简后得：$∠ PCB = ∠ AQB + ∠ CBQ$
5. 由于$∠ CBQ$是三角形内角，$∠ CBQ＞0°$，因此$∠ PCB ＞ ∠ AQB$。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和，邻补角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用轴对称得到等角，再结合共线关系和三角形内角和建立待比较角的联系，易错点是容易混淆三点共线的顺序和对应角的位置。
【难度系数】
0.65
解题时先利用轴对称的性质得到相等的角，再结合射线共线的特征得到邻补角的关系，最后通过三角形内角和定理推导两个待比较角的数量关系：首先，点A关于BD对称得到点P，BD上的点Q到A、P的对应角相等，可得∠AQB=∠PQB；其次，射线PC交BD于Q，说明P、C、Q三点共线，∠PCB和∠QCB是邻补角；最后在△QCB中用内角和定理代换角度，即可判断大小。
【解析】
1. 根据轴对称的性质：点A与点P关于BD对称，Q在BD上，因此对应角相等，即$∠ AQB = ∠ PQB$。
2. 由射线PC交BD于Q可知，P、C、Q三点共线，因此$∠ PCB + ∠ QCB = 180°$，变形得$∠ QCB = 180° - ∠ PCB$。
3. 在$△ QCB$中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$∠ QCB + ∠ CBQ + ∠ PQB = 180°$
4. 将$∠ QCB = 180° - ∠ PCB$、$∠ PQB=∠ AQB$代入上式：
$(180° - ∠ PCB) + ∠ CBQ + ∠ AQB = 180°$
化简后得：$∠ PCB = ∠ AQB + ∠ CBQ$
5. 由于$∠ CBQ$是三角形内角，$∠ CBQ＞0°$，因此$∠ PCB ＞ ∠ AQB$。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和，邻补角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用轴对称得到等角，再结合共线关系和三角形内角和建立待比较角的联系，易错点是容易混淆三点共线的顺序和对应角的位置。
【难度系数】
0.65
12.如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，△ABC的面积为60，AB=16，BC=14，则DE的长等于
4
。答案
12.4
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB、BC的距离相等，均为DE的长度。再观察到△ABC的面积等于△ABD与△BCD的面积之和，两个三角形的高都是DE，底分别为AB和BC，代入面积公式列方程即可求出DE的长度。
【解析】
过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$
且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DF=\frac{1}{2} × BC × DE$
将$S_{△ ABC}=60$，$AB=16$，$BC=14$代入得：
$\frac{1}{2} × 16 × DE + \frac{1}{2} × 14 × DE = 60$
化简得：$8DE +7DE =60$
即$15DE=60$
解得$DE=4$
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是合理拆分三角形面积，结合角平分线的性质得到两个小三角形的高相等，进而建立方程求解，属于基础的几何综合计算题，熟练掌握相关性质和公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB、BC的距离相等，均为DE的长度。再观察到△ABC的面积等于△ABD与△BCD的面积之和，两个三角形的高都是DE，底分别为AB和BC，代入面积公式列方程即可求出DE的长度。
【解析】
过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$
且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DF=\frac{1}{2} × BC × DE$
将$S_{△ ABC}=60$，$AB=16$，$BC=14$代入得：
$\frac{1}{2} × 16 × DE + \frac{1}{2} × 14 × DE = 60$
化简得：$8DE +7DE =60$
即$15DE=60$
解得$DE=4$
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是合理拆分三角形面积，结合角平分线的性质得到两个小三角形的高相等，进而建立方程求解，属于基础的几何综合计算题，熟练掌握相关性质和公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
