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5.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$为$BC$的中点，$∠ BAD=35°$，则$∠ C$的度数为
55°
。答案
5.55°
解析
【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知两底角∠B=∠C，且底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线三线重合。已知D是BC中点，因此AD是∠BAC的角平分线，我们可以先求出顶角的度数，再结合三角形内角和为180°计算底角∠C的度数。
【解析】
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，且∠B=∠C（等腰三角形三线合一、等腰三角形两底角相等），
∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
55°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题时结合三角形内角和定理即可快速求出角度，难度较低。
【难度系数】
0.85
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知两底角∠B=∠C，且底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线三线重合。已知D是BC中点，因此AD是∠BAC的角平分线，我们可以先求出顶角的度数，再结合三角形内角和为180°计算底角∠C的度数。
【解析】
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，且∠B=∠C（等腰三角形三线合一、等腰三角形两底角相等），
∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
55°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题时结合三角形内角和定理即可快速求出角度，难度较低。
【难度系数】
0.85
6.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为$60°$，那么这个三角形是
等边三角形
，它有3
条对称轴。答案
6.等边三角形 3
解析
【分析】
解题时首先思考：什么样的三角形是轴对称图形？已学的三角形中，只有等腰三角形（含等边三角形）是轴对称图形，因此可先确定该三角形是等腰三角形。接下来结合“有一个角为60°”的条件，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质推导：无论这个60°的角是顶角还是底角，最终三个内角都会是60°，即可判定为等边三角形。最后回忆等边三角形的对称轴数量，就能得到答案。
【解析】
1. 判定三角形类型：
三角形是轴对称图形，说明它至少有两条边相等，属于等腰三角形。
已知等腰三角形有一个角为60°，分两种情况计算：
① 若60°是顶角：两个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$，此时三个内角均为60°，是等边三角形；
② 若60°是底角：另一个底角也为60°，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，此时三个内角也均为60°，是等边三角形。
2. 确定对称轴数量：
等边三角形的三条边的垂直平分线所在的直线都是它的对称轴，因此共有3条对称轴。
【答案】
等边三角形；3
【知识点】
轴对称图形定义；等腰三角形性质；等边三角形特征
【点评】
本题结合轴对称的概念考查特殊三角形的判定与性质，属于基础题型，解题的关键是先由轴对称特征锁定三角形为等腰三角形，再结合角度条件推导三角形类型，掌握特殊三角形的相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先思考：什么样的三角形是轴对称图形？已学的三角形中，只有等腰三角形（含等边三角形）是轴对称图形，因此可先确定该三角形是等腰三角形。接下来结合“有一个角为60°”的条件，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质推导：无论这个60°的角是顶角还是底角，最终三个内角都会是60°，即可判定为等边三角形。最后回忆等边三角形的对称轴数量，就能得到答案。
【解析】
1. 判定三角形类型：
三角形是轴对称图形，说明它至少有两条边相等，属于等腰三角形。
已知等腰三角形有一个角为60°，分两种情况计算：
① 若60°是顶角：两个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$，此时三个内角均为60°，是等边三角形；
② 若60°是底角：另一个底角也为60°，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，此时三个内角也均为60°，是等边三角形。
2. 确定对称轴数量：
等边三角形的三条边的垂直平分线所在的直线都是它的对称轴，因此共有3条对称轴。
【答案】
等边三角形；3
【知识点】
轴对称图形定义；等腰三角形性质；等边三角形特征
【点评】
本题结合轴对称的概念考查特殊三角形的判定与性质，属于基础题型，解题的关键是先由轴对称特征锁定三角形为等腰三角形，再结合角度条件推导三角形类型，掌握特殊三角形的相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
7.如图，在$△ ABC$中，$AC=10$，$BC=6$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，则$△ BCE$的周长是
16
。答案
7.16
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，出现了线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得EA=EB。再明确△BCE的周长是三条边长度之和，将其中的EB替换为EA，就可以把△BCE的周长转化为BC与AC的长度和，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得EB=EA
△BCE的周长 = BC + CE + EB
将EB=EA代入，得周长 = BC + CE + EA
又
∵CE + EA = AC = 10，BC=6
∴△BCE的周长 = 6 + 10 = 16
【答案】
16
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量转化，将未知的周长转化为已知线段的长度和，避免了复杂的边长计算，是垂直平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，出现了线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得EA=EB。再明确△BCE的周长是三条边长度之和，将其中的EB替换为EA，就可以把△BCE的周长转化为BC与AC的长度和，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得EB=EA
△BCE的周长 = BC + CE + EB
将EB=EA代入，得周长 = BC + CE + EA
又
∵CE + EA = AC = 10，BC=6
∴△BCE的周长 = 6 + 10 = 16
【答案】
16
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量转化，将未知的周长转化为已知线段的长度和，避免了复杂的边长计算，是垂直平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知线段AB和CD，用尺规作一点，使它到AB两个端点的距离相等，且到CD的两个端点的距离也相等。
答案
解：
作图步骤如下：
1. 作线段AB的垂直平分线：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$l$；
2. 作线段CD的垂直平分线：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$m$；
3. 直线$l$与直线$m$的交点，就是所求作的满足条件的点。
作图步骤如下：
1. 作线段AB的垂直平分线：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$l$；
2. 作线段CD的垂直平分线：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$m$；
3. 直线$l$与直线$m$的交点，就是所求作的满足条件的点。
解析
【分析】
解题前先回忆线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题目要求的点需要同时满足两个条件：①到A、B两点距离相等；②到C、D两点距离相等。由此可推得该点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段CD的垂直平分线上，因此两条垂直平分线的交点就是符合要求的点，接下来只需按尺规作图的规则作出两条线段的垂直平分线即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段AB的垂直平分线：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$l$；
2. 作线段CD的垂直平分线：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$m$；
3. 直线$l$与直线$m$的交点，就是所求作的满足条件的点。
【答案】
分别作线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求，作图步骤见上述解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线
【点评】
本题属于尺规作图的基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质将满足双条件的点转化为两条垂直平分线的交点，掌握作线段垂直平分线的标准尺规操作是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题目要求的点需要同时满足两个条件：①到A、B两点距离相等；②到C、D两点距离相等。由此可推得该点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段CD的垂直平分线上，因此两条垂直平分线的交点就是符合要求的点，接下来只需按尺规作图的规则作出两条线段的垂直平分线即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段AB的垂直平分线：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$l$；
2. 作线段CD的垂直平分线：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线$m$；
3. 直线$l$与直线$m$的交点，就是所求作的满足条件的点。
【答案】
分别作线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求，作图步骤见上述解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线
【点评】
本题属于尺规作图的基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质将满足双条件的点转化为两条垂直平分线的交点，掌握作线段垂直平分线的标准尺规操作是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的中线,$BE\bot AC$于点$E$。
试说明$∠ CBE=∠ BAD$。
试说明$∠ CBE=∠ BAD$。
答案
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$。
∵ $AD$是$BC$边上的中线，
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 90°$。
∵ $BE⊥ AC$，
∴ $∠ BEC = 90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ C = 90°$。
又∵ $∠ ABC = ∠ C$，
∴ $∠ CBE = ∠ BAD$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$。
∵ $AD$是$BC$边上的中线，
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 90°$。
∵ $BE⊥ AC$，
∴ $∠ BEC = 90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ C = 90°$。
又∵ $∠ ABC = ∠ C$，
∴ $∠ CBE = ∠ BAD$。
解析
【分析】
要证明∠CBE=∠BAD，可借助“等角的余角相等”的性质推导。首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得底角∠ABC=∠C；再结合AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，进而得到∠BAD和∠ABC互余；又已知BE⊥AC，可得∠CBE和∠C互余，最后结合∠ABC=∠C，即可推出两个余角相等。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$。
∵ $AD$是$BC$边上的中线，
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 90°$。
∵ $BE⊥ AC$，
∴ $∠ BEC = 90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ C = 90°$。
又
∵ $∠ ABC = ∠ C$，
∴ $∠ CBE = ∠ BAD$。
【答案】
∠CBE=∠BAD，证明过程如上。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 等角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是结合等腰三角形三线合一的性质，找到两个待证角分别与相等的底角互余，再利用余角的性质完成推导，能有效考查对等腰三角形性质和互余性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要证明∠CBE=∠BAD，可借助“等角的余角相等”的性质推导。首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得底角∠ABC=∠C；再结合AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，进而得到∠BAD和∠ABC互余；又已知BE⊥AC，可得∠CBE和∠C互余，最后结合∠ABC=∠C，即可推出两个余角相等。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$。
∵ $AD$是$BC$边上的中线，
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 90°$。
∵ $BE⊥ AC$，
∴ $∠ BEC = 90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ C = 90°$。
又
∵ $∠ ABC = ∠ C$，
∴ $∠ CBE = ∠ BAD$。
【答案】
∠CBE=∠BAD，证明过程如上。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 等角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是结合等腰三角形三线合一的性质，找到两个待证角分别与相等的底角互余，再利用余角的性质完成推导，能有效考查对等腰三角形性质和互余性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
