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1.若等腰三角形的一个内角为$110°$,则这个等腰三角形的底角的度数是
（
A.$35°$
B.$55°$
C.$35°$或$55°$
D.$110°$
（
A
）A.$35°$
B.$55°$
C.$35°$或$55°$
D.$110°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理。首先需要判断已知的110°内角是顶角还是底角：因为三角形内角和最多180°，如果110°是底角，两个底角之和就会超过180°，不符合三角形内角和要求，所以110°只能是顶角，再根据内角和计算底角即可。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为110°，分两种情况讨论：
1. 若110°为底角：等腰三角形两底角相等，则两个底角的和为$110°×2=220°$，大于三角形内角和180°，该情况不成立；
2. 若110°为顶角：则底角的度数为$(180°-110°)÷2=35°$。
因此这个等腰三角形的底角度数为35°，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错误认为存在两种情况选C，解题时需注意：等腰三角形中钝角只能作为顶角，不可能为底角，要结合三角形内角和定理先排除不成立的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理。首先需要判断已知的110°内角是顶角还是底角：因为三角形内角和最多180°，如果110°是底角，两个底角之和就会超过180°，不符合三角形内角和要求，所以110°只能是顶角，再根据内角和计算底角即可。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为110°，分两种情况讨论：
1. 若110°为底角：等腰三角形两底角相等，则两个底角的和为$110°×2=220°$，大于三角形内角和180°，该情况不成立；
2. 若110°为顶角：则底角的度数为$(180°-110°)÷2=35°$。
因此这个等腰三角形的底角度数为35°，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错误认为存在两种情况选C，解题时需注意：等腰三角形中钝角只能作为顶角，不可能为底角，要结合三角形内角和定理先排除不成立的情况。
【难度系数】
0.7
2. 如图,若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线,$BD=3$,则 CD 等于（
A.10
B.5
C.4
D.3
D
）A.10
B.5
C.4
D.3
答案
2.D
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形，AD是它的顶角平分线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线同时是底边上的中线和高。由此可推出AD是底边BC的中线，中线会把底边分成长度相等的两段，即CD=BD，代入已知BD的长度就能直接求出CD的数值。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是底边BC上的中线，
∴D为BC的中点，即CD=BD，
又
∵BD=3，
∴CD=3。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握三线合一的内容即可快速得出答案，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
拿到题目先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形，AD是它的顶角平分线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线同时是底边上的中线和高。由此可推出AD是底边BC的中线，中线会把底边分成长度相等的两段，即CD=BD，代入已知BD的长度就能直接求出CD的数值。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是底边BC上的中线，
∴D为BC的中点，即CD=BD，
又
∵BD=3，
∴CD=3。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握三线合一的内容即可快速得出答案，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
3. 如图，AD，CE分别是$△ ABC$的中线和角平分线。若$AB=AC$，$∠ CAD=20°$，则$∠ AEC$的度数是（
A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
C
）A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AD是等腰△ABC的中线，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出AD是∠BAC的角平分线，据此先求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠ACB的度数；接着利用CE是角平分线的条件算出∠ACE的度数；最后在△AEC中利用三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
【解析】
1. 已知AD是△ABC的中线，且AB=AC，即△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC。
因为∠CAD=20°，所以∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°。
2. 等腰△ABC中，AB=AC，所以底角∠B=∠ACB，结合三角形内角和为180°：
∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
3. 又因为CE是△ABC的角平分线，所以CE平分∠ACB，即：
∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°。
4. 在△AEC中，根据三角形内角和为180°：
∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=180°-40°-35°=105°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导角度，理清各条件之间的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由AD是等腰△ABC的中线，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出AD是∠BAC的角平分线，据此先求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠ACB的度数；接着利用CE是角平分线的条件算出∠ACE的度数；最后在△AEC中利用三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
【解析】
1. 已知AD是△ABC的中线，且AB=AC，即△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC。
因为∠CAD=20°，所以∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°。
2. 等腰△ABC中，AB=AC，所以底角∠B=∠ACB，结合三角形内角和为180°：
∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
3. 又因为CE是△ABC的角平分线，所以CE平分∠ACB，即：
∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°。
4. 在△AEC中，根据三角形内角和为180°：
∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=180°-40°-35°=105°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导角度，理清各条件之间的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，将$△ ABC$沿直线$DE$折叠后，使得点$B$与点$A$重合。若$AC=5$，$BC=12$，则$△ ADC$的周长为（
A.$17$
B.$10$
C.$12$
D.$22$
A
）A.$17$
B.$10$
C.$12$
D.$22$
答案
4.A
解析
【分析】
首先回忆折叠的性质：折叠前后对应的边长度相等。本题中△ABC沿DE折叠后点B与点A重合，因此折痕DE两侧的对应边AD=BD。接下来要求△ADC的周长，先写出周长的表达式：△ADC的周长=AD+DC+AC。观察发现AD=BD，因此可以将AD替换为BD，此时BD+DC刚好是BC的长度，这样就可以把周长转化为已知的AC和BC的和，代入数值就能直接算出结果，不需要额外计算未知边长。
【解析】
由折叠的性质可知：$AD=BD$。
$△ ADC$的周长为 $AD + DC + AC$，
将$AD=BD$代入得：周长$= BD + DC + AC$，
又$\because BD + DC = BC = 12$，$AC=5$，
$\therefore △ ADC$的周长$= BC + AC = 12 + 5 = 17$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用折叠的性质实现等量代换，将未知的边长关系转化为已知的线段和，简化了计算过程，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.8
首先回忆折叠的性质：折叠前后对应的边长度相等。本题中△ABC沿DE折叠后点B与点A重合，因此折痕DE两侧的对应边AD=BD。接下来要求△ADC的周长，先写出周长的表达式：△ADC的周长=AD+DC+AC。观察发现AD=BD，因此可以将AD替换为BD，此时BD+DC刚好是BC的长度，这样就可以把周长转化为已知的AC和BC的和，代入数值就能直接算出结果，不需要额外计算未知边长。
【解析】
由折叠的性质可知：$AD=BD$。
$△ ADC$的周长为 $AD + DC + AC$，
将$AD=BD$代入得：周长$= BD + DC + AC$，
又$\because BD + DC = BC = 12$，$AC=5$，
$\therefore △ ADC$的周长$= BC + AC = 12 + 5 = 17$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用折叠的性质实现等量代换，将未知的边长关系转化为已知的线段和，简化了计算过程，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.8
