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1. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
B
）A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义，再结合三角形面积公式判断两个小三角形的关系，最后逐一排除错误选项即可。第一步：明确三角形中线是连接顶点与对边中点的线段，因此被中线分开的对边被分成两段相等的线段，即两个小三角形的底相等；第二步：两个小三角形的高都是原三角形对应顶点到这条对边的垂线段，因此高相等；第三步：结合三角形面积公式可推出两个小三角形面积相等，再逐一验证其余选项是否符合所有三角形的情况即可。
【解析】
首先明确三角形中线的定义：三角形一边上的中线是连接该边所对顶点与该边中点的线段，因此中线会将这条边分成两条长度相等的线段，即中线分成的两个小三角形的底长度相等。
这两个小三角形的高均为原三角形该边所对顶点到这条边的距离，因此二者的高也相等。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，等底同高的两个三角形面积相等，故B选项正确。
再分析其余选项：
A选项：只有当原三角形为等腰三角形时，底边上的中线分出的两个三角形形状才相同，普通三角形不满足该结论，错误；
C选项：题干未说明原三角形是特殊三角形，无法推出分出的是直角三角形，错误；
D选项：两个小三角形的周长差为原三角形另外两条边的差，只有原三角形该边的两条邻边长度相等时周长才相等，普通三角形不满足，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义；三角形面积计算；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是对三角形中线基本性质的考查，属于基础题型，熟练掌握三角形中线的特点以及等底同高的三角形面积相等的结论，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的定义，再结合三角形面积公式判断两个小三角形的关系，最后逐一排除错误选项即可。第一步：明确三角形中线是连接顶点与对边中点的线段，因此被中线分开的对边被分成两段相等的线段，即两个小三角形的底相等；第二步：两个小三角形的高都是原三角形对应顶点到这条对边的垂线段，因此高相等；第三步：结合三角形面积公式可推出两个小三角形面积相等，再逐一验证其余选项是否符合所有三角形的情况即可。
【解析】
首先明确三角形中线的定义：三角形一边上的中线是连接该边所对顶点与该边中点的线段，因此中线会将这条边分成两条长度相等的线段，即中线分成的两个小三角形的底长度相等。
这两个小三角形的高均为原三角形该边所对顶点到这条边的距离，因此二者的高也相等。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，等底同高的两个三角形面积相等，故B选项正确。
再分析其余选项：
A选项：只有当原三角形为等腰三角形时，底边上的中线分出的两个三角形形状才相同，普通三角形不满足该结论，错误；
C选项：题干未说明原三角形是特殊三角形，无法推出分出的是直角三角形，错误；
D选项：两个小三角形的周长差为原三角形另外两条边的差，只有原三角形该边的两条邻边长度相等时周长才相等，普通三角形不满足，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义；三角形面积计算；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是对三角形中线基本性质的考查，属于基础题型，熟练掌握三角形中线的特点以及等底同高的三角形面积相等的结论，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，$△ ABD$的周长比$△ ACD$的周长多3 cm. 若$AB=10$ cm，则AC的长为（
A.5 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.7 cm
D
）A.5 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.7 cm
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AD是BC边上的中线”入手，根据中线的性质可得BD=CD；接下来分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，对比两个周长的组成，发现AD是公共边，BD=CD，因此两个三角形的周长差实际就是AB与AC的长度差；最后结合已知的周长差和AB的长度，即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD = CD$。
△ABD的周长为$C_{△ ABD}=AB + BD + AD$，
△ACD的周长为$C_{△ ACD}=AC + CD + AD$，
由题意得$C_{△ ABD} - C_{△ ACD}=3\ \mathrm{cm}$，
代入周长表达式化简可得：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 3\ \mathrm{cm}$，
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$AC = AB - 3 = 10 - 3 = 7\ \mathrm{cm}$。
【答案】D
【知识点】三角形中线的性质，三角形周长计算
【点评】本题属于基础题型，核心是利用三角形中线得到相等的线段，结合周长公式消去相同的量，将周长差转化为两条边的长度差，大幅简化计算过程。
【难度系数】0.8
解题时首先从已知条件“AD是BC边上的中线”入手，根据中线的性质可得BD=CD；接下来分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，对比两个周长的组成，发现AD是公共边，BD=CD，因此两个三角形的周长差实际就是AB与AC的长度差；最后结合已知的周长差和AB的长度，即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD = CD$。
△ABD的周长为$C_{△ ABD}=AB + BD + AD$，
△ACD的周长为$C_{△ ACD}=AC + CD + AD$，
由题意得$C_{△ ABD} - C_{△ ACD}=3\ \mathrm{cm}$，
代入周长表达式化简可得：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 3\ \mathrm{cm}$，
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$AC = AB - 3 = 10 - 3 = 7\ \mathrm{cm}$。
【答案】D
【知识点】三角形中线的性质，三角形周长计算
【点评】本题属于基础题型，核心是利用三角形中线得到相等的线段，结合周长公式消去相同的量，将周长差转化为两条边的长度差，大幅简化计算过程。
【难度系数】0.8
3. 如图，AD，CE都是$△ ABC$的中线，连接ED，$△ ABC$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$，则$△ BDE$的面积是（
A.$1.25\ \mathrm{cm}^2$
B.$2\ \mathrm{cm}^2$
C.$2.5\ \mathrm{cm}^2$
D.$5\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$1.25\ \mathrm{cm}^2$
B.$2\ \mathrm{cm}^2$
C.$2.5\ \mathrm{cm}^2$
D.$5\ \mathrm{cm}^2$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的面积性质：三角形的一条中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积；再根据CE是△ABC的中线得到E是AB中点，即DE是△ABD的中线，进一步求出△BDE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，即DE是△ABD的中线，△BDE与△ADE等底同高，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题，核心考查中线平分三角形面积的性质，只需两次运用该性质即可求解，同学们要熟练掌握这个性质在面积类题目中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形中线的面积性质：三角形的一条中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积；再根据CE是△ABC的中线得到E是AB中点，即DE是△ABD的中线，进一步求出△BDE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，即DE是△ABD的中线，△BDE与△ADE等底同高，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题，核心考查中线平分三角形面积的性质，只需两次运用该性质即可求解，同学们要熟练掌握这个性质在面积类题目中的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$BE$，$CF$分别是边$AC$，$AB$上的中线，$△ ABE$的周长比$△ BCE$的周长多2，$AE=4$，$BF=6$.
（1）求$AB$，$AC$的长；
（2）求$△ ABC$的周长.
（1）求$AB$，$AC$的长；
（2）求$△ ABC$的周长.
答案
4. 解 （1）因为 BE，CF 分别是边 AC，AB 上的中线，所以点 E，F 分别为 AC，AB 的中点. 因为 BF=6，AE=4，所以 AB=2BF=2×6=12，AC=2AE=2×4=8.
（2）因为△ABE 的周长比△BCE 的周长多 2，所以 AB+AE+BE-BC-CE-BE=AB-BC=2. 由（1）得 AB = 12，所以 BC=12-2=10. 所以△ABC 的周长为 12+8+10=30.
（2）因为△ABE 的周长比△BCE 的周长多 2，所以 AB+AE+BE-BC-CE-BE=AB-BC=2. 由（1）得 AB = 12，所以 BC=12-2=10. 所以△ABC 的周长为 12+8+10=30.
解析
【分析】
（1）首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，因此BE是AC边上的中线说明E是AC中点，CF是AB边上的中线说明F是AB中点，已知AE、BF的长度，将其分别乘2即可得到AC、AB的长度。
（2）处理两个三角形的周长差问题时，先分别写出两个三角形的周长表达式，再作差，观察发现两个周长中有公共边BE，且AE=CE，消去相等的量后可得到AB与BC的差，结合第一问求出的AB长度可算出BC，最后将△ABC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
（1）
∵BE，CF分别是边AC，AB上的中线，
∴点E，F分别为AC，AB的中点，
∴AB=2BF，AC=2AE，
∵BF=6，AE=4，
∴AB=2×6=12，AC=2×4=8。
（2）
∵△ABE的周长比△BCE的周长多2，
∴$(AB+AE+BE)-(BC+CE+BE)=2$，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
化简得$AB-BC=2$，
由（1）知$AB=12$，
∴$BC=AB-2=12-2=10$，
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=12+8+10=30$。
【答案】
（1）AB的长为12，AC的长为8；
（2）△ABC的周长为30。
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中线性质的应用，解题的关键是正确理解中线平分对边的特点，处理周长差时通过消去公共边和相等边简化计算，是三角形基础概念的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
（1）首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，因此BE是AC边上的中线说明E是AC中点，CF是AB边上的中线说明F是AB中点，已知AE、BF的长度，将其分别乘2即可得到AC、AB的长度。
（2）处理两个三角形的周长差问题时，先分别写出两个三角形的周长表达式，再作差，观察发现两个周长中有公共边BE，且AE=CE，消去相等的量后可得到AB与BC的差，结合第一问求出的AB长度可算出BC，最后将△ABC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
（1）
∵BE，CF分别是边AC，AB上的中线，
∴点E，F分别为AC，AB的中点，
∴AB=2BF，AC=2AE，
∵BF=6，AE=4，
∴AB=2×6=12，AC=2×4=8。
（2）
∵△ABE的周长比△BCE的周长多2，
∴$(AB+AE+BE)-(BC+CE+BE)=2$，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
化简得$AB-BC=2$，
由（1）知$AB=12$，
∴$BC=AB-2=12-2=10$，
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=12+8+10=30$。
【答案】
（1）AB的长为12，AC的长为8；
（2）△ABC的周长为30。
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中线性质的应用，解题的关键是正确理解中线平分对边的特点，处理周长差时通过消去公共边和相等边简化计算，是三角形基础概念的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
