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【例】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$MC=AM=BM$，点$E$在线段$AM$上. 已知$∠ A=50°$，$∠ ACE=30°$. 求证：$CE=CM$.
答案
证明:$\because MC=MA=MB$,
$\therefore ∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.$
$\because ∠A=50°,∠ACB=90°,$
$\therefore ∠MCA=50°,∠MCB=∠B=40°,$
$\therefore ∠EMC=∠MCB+∠B=40°+40°=80°.$
$\because ∠ACE=30°,$
$\therefore ∠MEC=∠A+∠ACE=50°+30°=80°.$
$\therefore ∠MEC=∠EMC,$
$\therefore CE=CM.$
$\therefore ∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.$
$\because ∠A=50°,∠ACB=90°,$
$\therefore ∠MCA=50°,∠MCB=∠B=40°,$
$\therefore ∠EMC=∠MCB+∠B=40°+40°=80°.$
$\because ∠ACE=30°,$
$\therefore ∠MEC=∠A+∠ACE=50°+30°=80°.$
$\therefore ∠MEC=∠EMC,$
$\therefore CE=CM.$
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD平分∠ABC，且AD//BC，△ABC的外角平分线CE交AD于点E，则DE的长是
2
。答案
2
【变式2】如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$边上的点，$BD = CE$，$∠ ABE = ∠ ACD$，$BE$与$CD$相交于点$F$. 求证：$△ ABC$是等腰三角形.
答案
证明:在$△BFD$和$△CFE$中,
$\begin{cases}∠DBF=∠ECF,\\∠DFB=∠EFC,\\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore △BFD≌△CFE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore BF=CF,$
$\therefore ∠FBC=∠FCB.$
$\because ∠ABE=∠ACD,$
$∠ABC=∠FBC+∠ABE,∠ACB=∠FCB+∠ACD,$
$\therefore ∠ABC=∠ACB.$
$\therefore AB=AC.$
$\therefore △ABC$是等腰三角形.
$\begin{cases}∠DBF=∠ECF,\\∠DFB=∠EFC,\\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore △BFD≌△CFE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore BF=CF,$
$\therefore ∠FBC=∠FCB.$
$\because ∠ABE=∠ACD,$
$∠ABC=∠FBC+∠ABE,∠ACB=∠FCB+∠ACD,$
$\therefore ∠ABC=∠ACB.$
$\therefore AB=AC.$
$\therefore △ABC$是等腰三角形.
1.在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=5$，则$AC$的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. D
2. 在等腰三角形中,两个内角的度数可以是（
A.$40°,70°$
B.$30°,90°$
C.$60°,50°$
D.$50°,20°$
A
）A.$40°,70°$
B.$30°,90°$
C.$60°,50°$
D.$50°,20°$
答案
2. A
3. (2026湖南)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形ABC的斜边AB经过原点O,连接OC.已知OA=OC,若点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为 (
A.$(-1,0)$
B.$(0,-1)$
C.$(0,1)$
D.$(-\sqrt{2},0)$
A
)A.$(-1,0)$
B.$(0,-1)$
C.$(0,1)$
D.$(-\sqrt{2},0)$
答案
3. A
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，则图中等腰三角形的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4. D
5. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB。若AB=4，则DC的长是
4
。答案
5. 4
6.如图,一条船从A处出发,以15 km/h的速度向正北方向航行,10 h后到达B处,从A,B两处望灯塔,测得$∠ NAC=37°$,$∠ NBC=74°$,则B到灯塔C的距离是
150
km.答案
6. 150
