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17.(6分)解方程：
(1)$\frac{3}{x}=\frac{1}{x-4}$；
(2)$\frac{x-6}{x-5}+1=\frac{1}{5-x}$。
(1)$\frac{3}{x}=\frac{1}{x-4}$；
(2)$\frac{x-6}{x-5}+1=\frac{1}{5-x}$。
答案
17. 解:(1)$3(x-4)=x$,解得$x=6$,
经检验$x=6$是分式方程的解;
(2)$x-6+x-5=-1$,解得$x=5$,
经检验$x=5$是增根,故分式方程无解.
经检验$x=6$是分式方程的解;
(2)$x-6+x-5=-1$,解得$x=5$,
经检验$x=5$是增根,故分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根：
1. 去分母：先找到方程中各分式的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；
2. 解所得的整式方程，得到未知数的解；
3. 检验：将所得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，就是原方程的解；若最简公分母为0，就是增根，原方程无解。
第(1)题最简公分母为$x(x-4)$，第(2)题注意$5-x=-(x-5)$，因此最简公分母为$x-5$，去分母时要注意符号变化。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x(x-4)$，去分母得：
$3(x-4)=x$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x-4)=6×(6-4)=12≠0$，因此$x=6$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x-5$，去分母得：
$x-6 + x-5 = -1$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，最简公分母$x-5=0$，因此$x=5$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=6$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查解分式方程的常规步骤，易错点在于去分母时漏乘常数项、符号处理错误以及忘记检验增根，熟练掌握解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根：
1. 去分母：先找到方程中各分式的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；
2. 解所得的整式方程，得到未知数的解；
3. 检验：将所得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，就是原方程的解；若最简公分母为0，就是增根，原方程无解。
第(1)题最简公分母为$x(x-4)$，第(2)题注意$5-x=-(x-5)$，因此最简公分母为$x-5$，去分母时要注意符号变化。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x(x-4)$，去分母得：
$3(x-4)=x$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x-4)=6×(6-4)=12≠0$，因此$x=6$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x-5$，去分母得：
$x-6 + x-5 = -1$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，最简公分母$x-5=0$，因此$x=5$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=6$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查解分式方程的常规步骤，易错点在于去分母时漏乘常数项、符号处理错误以及忘记检验增根，熟练掌握解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
18. (6分)计算：
(1) $6(-a)^3 b · \dfrac{-3b}{2a}$；
(2) $( \dfrac{x z^2}{y} )^3 · ( \dfrac{y^2}{x z} )^4 ÷ ( \dfrac{x y}{-2 z} )^3$；
(3) $( \dfrac{1}{3} )^{-2} - (π - 3.14)^0 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$。
(1) $6(-a)^3 b · \dfrac{-3b}{2a}$；
(2) $( \dfrac{x z^2}{y} )^3 · ( \dfrac{y^2}{x z} )^4 ÷ ( \dfrac{x y}{-2 z} )^3$；
(3) $( \dfrac{1}{3} )^{-2} - (π - 3.14)^0 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$。
答案
18. 解:(1)原式$=-6a^3 b· \frac{-3b}{2a} =9a^2b^2$;
(2)原式$= \frac{x^3 z^6}{y^3} · \frac{y^8}{x^4 z^4} · \frac{-8z^3}{x^3 y^3} = - \frac{8y^2 z^5}{x^4} ;$
(3)原式$=9-1-1=7.$
(2)原式$= \frac{x^3 z^6}{y^3} · \frac{y^8}{x^4 z^4} · \frac{-8z^3}{x^3 y^3} = - \frac{8y^2 z^5}{x^4} ;$
(3)原式$=9-1-1=7.$
解析
【分析】
本题考查代数式及实数的混合运算，分小问梳理思路：
(1) 单项式乘分式运算：先处理幂的符号化简$(-a)^3$，再将系数、同底数幂分别进行乘除运算，约分后得到结果；
(2) 分式的乘方、乘除混合运算：先按照分式乘方法则计算每个乘方项，再将除法转化为乘法，最后分别对系数、相同字母的幂进行运算，约分得到最简结果；
(3) 实数混合运算：分别计算三项：负整数指数幂等于底数倒数的正指数次幂，非零数的零次幂等于1，最后一项符合平方差公式特征，用公式简化计算，最后合并加减得到结果。
【解析】
(1) 先化简$(-a)^3=-a^3$，代入原式计算：
原式$=-6a^3 b· \frac{-3b}{2a} = \frac{18a^3b^2}{2a}=9a^2b^2$
(2) 先计算各乘方项，再将除法转化为乘法：
原式$= \frac{x^3 z^6}{y^3} · \frac{y^8}{x^4 z^4} · \frac{(-2z)^3}{(xy)^3} = \frac{x^3 z^6}{y^3} · \frac{y^8}{x^4 z^4} · \frac{-8z^3}{x^3 y^3}$
分别计算系数和各字母的幂：系数为$1×1×(-8)=-8$，$x$的指数为$3-4-3=-4$，$y$的指数为$-3+8-3=2$，$z$的指数为$6-4+3=5$，整理得：
原式$= - \frac{8y^2 z^5}{x^4}$
(3) 分别计算每一项：
$(\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9$，$(π-3.14)^0=1$，$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
代入原式得：
原式$=9-1-1=7$
【答案】
(1) $9a^2b^2$；(2) $- \frac{8y^2 z^5}{x^4}$；(3) $7$
【知识点】
分式的运算，零指数与负整数指数幂，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查各类运算法则的掌握情况，运算时要注意运算顺序，优先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时要注意符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式及实数的混合运算，分小问梳理思路：
(1) 单项式乘分式运算：先处理幂的符号化简$(-a)^3$，再将系数、同底数幂分别进行乘除运算，约分后得到结果；
(2) 分式的乘方、乘除混合运算：先按照分式乘方法则计算每个乘方项，再将除法转化为乘法，最后分别对系数、相同字母的幂进行运算，约分得到最简结果；
(3) 实数混合运算：分别计算三项：负整数指数幂等于底数倒数的正指数次幂，非零数的零次幂等于1，最后一项符合平方差公式特征，用公式简化计算，最后合并加减得到结果。
【解析】
(1) 先化简$(-a)^3=-a^3$，代入原式计算：
原式$=-6a^3 b· \frac{-3b}{2a} = \frac{18a^3b^2}{2a}=9a^2b^2$
(2) 先计算各乘方项，再将除法转化为乘法：
原式$= \frac{x^3 z^6}{y^3} · \frac{y^8}{x^4 z^4} · \frac{(-2z)^3}{(xy)^3} = \frac{x^3 z^6}{y^3} · \frac{y^8}{x^4 z^4} · \frac{-8z^3}{x^3 y^3}$
分别计算系数和各字母的幂：系数为$1×1×(-8)=-8$，$x$的指数为$3-4-3=-4$，$y$的指数为$-3+8-3=2$，$z$的指数为$6-4+3=5$，整理得：
原式$= - \frac{8y^2 z^5}{x^4}$
(3) 分别计算每一项：
$(\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9$，$(π-3.14)^0=1$，$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
代入原式得：
原式$=9-1-1=7$
【答案】
(1) $9a^2b^2$；(2) $- \frac{8y^2 z^5}{x^4}$；(3) $7$
【知识点】
分式的运算，零指数与负整数指数幂，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查各类运算法则的掌握情况，运算时要注意运算顺序，优先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时要注意符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
19. (8分)先化简$( \dfrac{m^2 + 4m}{m - 2} - m - 2 ) ÷ \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m - 2}$，然后从$0 ＜ m ≤ 2$中选一个合适的整数作为$m$的值代入求值。
答案
19. 解:$(\frac{m^2 + 4m}{m - 2} - m - 2) ÷ \frac{m^2 + 2m + 1}{m - 2}$
$= \frac{m^2 + 4m - (m + 2)(m - 2)}{m - 2} · \frac{m - 2}{(m + 1)^2}$
$= \frac{m^2 + 4m - m^2 + 4}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4(m + 1)}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4}{m + 1} ,$
∵$m-2≠0$且$m+1≠0$,
∴$m≠2$且$m≠-1$,
∵$0＜m≤2$,
∴当$m=1$时,原式$=2.$
$= \frac{m^2 + 4m - (m + 2)(m - 2)}{m - 2} · \frac{m - 2}{(m + 1)^2}$
$= \frac{m^2 + 4m - m^2 + 4}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4(m + 1)}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4}{m + 1} ,$
∵$m-2≠0$且$m+1≠0$,
∴$m≠2$且$m≠-1$,
∵$0＜m≤2$,
∴当$m=1$时,原式$=2.$
解析
【分析】
本题为分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步处理括号内运算，将整式$-m-2$看作分母为1的式子，与前面的分式通分，转化为同分母分式减法运算，注意减去多项式整体时要加括号避免符号错误；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数，再对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（所有分母、除式均不为0），从给定取值范围中筛选出合适的整数m，代入最简式计算即可。
【解析】
解：$( \dfrac{m^2 + 4m}{m - 2} - m - 2 ) ÷ \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m - 2}$
$= \frac{m^2 + 4m - (m + 2)(m - 2)}{m - 2} · \frac{m - 2}{(m + 1)^2}$
$= \frac{m^2 + 4m - m^2 + 4}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4(m + 1)}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4}{m + 1}$
要使原式有意义，需满足分母和除式均不为0：
即$m-2≠0$且$m+1≠0$，解得$m≠2$且$m≠-1$
已知$0＜m≤2$，范围内的整数为1、2，排除不符合条件的$m=2$，选取$m=1$代入最简式
得：原式$=\frac{4}{1+1}=2$
【答案】
化简结果为$\frac{4}{m+1}$，当$m=1$时，原式的值为2。
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算的法则和符号处理能力，解题时需注意代入求值前必须先根据分式有意义的条件筛选符合要求的数值，避免因忽略分母不为0的限制导致错误。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步处理括号内运算，将整式$-m-2$看作分母为1的式子，与前面的分式通分，转化为同分母分式减法运算，注意减去多项式整体时要加括号避免符号错误；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数，再对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（所有分母、除式均不为0），从给定取值范围中筛选出合适的整数m，代入最简式计算即可。
【解析】
解：$( \dfrac{m^2 + 4m}{m - 2} - m - 2 ) ÷ \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m - 2}$
$= \frac{m^2 + 4m - (m + 2)(m - 2)}{m - 2} · \frac{m - 2}{(m + 1)^2}$
$= \frac{m^2 + 4m - m^2 + 4}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4(m + 1)}{(m + 1)^2}$
$= \frac{4}{m + 1}$
要使原式有意义，需满足分母和除式均不为0：
即$m-2≠0$且$m+1≠0$，解得$m≠2$且$m≠-1$
已知$0＜m≤2$，范围内的整数为1、2，排除不符合条件的$m=2$，选取$m=1$代入最简式
得：原式$=\frac{4}{1+1}=2$
【答案】
化简结果为$\frac{4}{m+1}$，当$m=1$时，原式的值为2。
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算的法则和符号处理能力，解题时需注意代入求值前必须先根据分式有意义的条件筛选符合要求的数值，避免因忽略分母不为0的限制导致错误。
【难度系数】
0.7
20. (8分)若分式方程$2+\frac{1-kx}{x-2}=\frac{1}{2-x}$有增根，试求出k的值.
答案
20. 解:$2(x-2)+1-kx=-1$,
$2x-4+1-kx=-1$,
$(2-k)x=2$,
$x= \frac{2}{2 - k} ,$
∵该分式方程的增根为2,
∴$\frac{2}{2 - k} =2$,
∴$k=1.$
$2x-4+1-kx=-1$,
$(2-k)x=2$,
$x= \frac{2}{2 - k} ,$
∵该分式方程的增根为2,
∴$\frac{2}{2 - k} =2$,
∴$k=1.$
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需先明确增根的性质：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是去分母后所得整式方程的根。解题思路如下：第一步先确定原分式方程的增根，即令分母为0求出x的取值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数k的值。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$x-2$，消去分母得：
$2(x-2)+1-kx=-1$
去括号得：
$2x-4+1-kx=-1$
合并同类项整理得：
$(2-k)x=2$
解得：$x=\frac{2}{2-k}$
∵分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，若方程有增根，则分母为0，即增根为$x=2$
将$x=2$代入$x=\frac{2}{2-k}$得：
$\frac{2}{2-k}=2$
解得：$k=1$
【答案】
$k=1$
【知识点】
分式方程增根的定义；去分母法则；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根相关的常规题型，解题核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式方程的分母为0，二是去分母后所得整式方程的根，熟练掌握分式方程转整式方程的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，需先明确增根的性质：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是去分母后所得整式方程的根。解题思路如下：第一步先确定原分式方程的增根，即令分母为0求出x的取值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数k的值。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$x-2$，消去分母得：
$2(x-2)+1-kx=-1$
去括号得：
$2x-4+1-kx=-1$
合并同类项整理得：
$(2-k)x=2$
解得：$x=\frac{2}{2-k}$
∵分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，若方程有增根，则分母为0，即增根为$x=2$
将$x=2$代入$x=\frac{2}{2-k}$得：
$\frac{2}{2-k}=2$
解得：$k=1$
【答案】
$k=1$
【知识点】
分式方程增根的定义；去分母法则；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根相关的常规题型，解题核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式方程的分母为0，二是去分母后所得整式方程的根，熟练掌握分式方程转整式方程的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
21.(8分)若$\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+4}=\frac{2x-1}{(x-3)(x+4)}$，求$A,B$的值.
答案
解:$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 4}$
$= \frac{A(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} + \frac{B(x - 3)}{(x - 3)(x + 4)}$
$= \frac{(A + B)x + 4A - 3B}{(x - 3)(x + 4)} ,$
∴$\begin{cases} A + B = 2 ,& 4A - 3B = -1 , \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A = \frac{5}{7} ,& B = \frac{9}{7} . \end{cases}$
$= \frac{A(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} + \frac{B(x - 3)}{(x - 3)(x + 4)}$
$= \frac{(A + B)x + 4A - 3B}{(x - 3)(x + 4)} ,$
∴$\begin{cases} A + B = 2 ,& 4A - 3B = -1 , \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A = \frac{5}{7} ,& B = \frac{9}{7} . \end{cases}$
解析
【分析】
本题是分式相等求参数的问题，解题思路如下：首先观察等式两边的分母，右边的分母是左边两个分式分母的乘积，因此先对左边的两个分式通分，转化为同分母分式相加；通分后合并分子的同类项，由于等式两边分母相同且分式相等，因此左右两边的分子是相等的多项式；再根据多项式相等时对应同类项的系数相等，即可列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能得到A、B的值。
【解析】
解：先对左边的分式通分，得：
$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 4} = \frac{A(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} + \frac{B(x - 3)}{(x - 3)(x + 4)}$
将分子展开并合并同类项：
$= \frac{Ax + 4A + Bx - 3B}{(x - 3)(x + 4)} = \frac{(A + B)x + 4A - 3B}{(x - 3)(x + 4)}$
已知等式右边为$\frac{2x-1}{(x-3)(x+4)}$，两个分式分母相同且相等，因此分子相等，可得方程组：
$\begin{cases} A + B = 2 \\ 4A - 3B = -1 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边同乘3得$3A + 3B = 6$，与第二个方程相加得$7A = 5$，解得$A = \frac{5}{7}$；将$A = \frac{5}{7}$代入$A + B = 2$，得$B = 2 - \frac{5}{7} = \frac{9}{7}$。
【答案】
$\begin{cases} A = \frac{5}{7} \\ B = \frac{9}{7} \end{cases}$
【知识点】
1. 分式的通分与加减
2. 二元一次方程组求解
3. 多项式相等的性质
【点评】
本题是分式运算与方程结合的典型基础题，解题核心是利用同分母分式相等时分子对应系数相等建立等量关系，既考察分式运算的基本功，也考察二元一次方程组的解法，掌握通分规则和方程组解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题是分式相等求参数的问题，解题思路如下：首先观察等式两边的分母，右边的分母是左边两个分式分母的乘积，因此先对左边的两个分式通分，转化为同分母分式相加；通分后合并分子的同类项，由于等式两边分母相同且分式相等，因此左右两边的分子是相等的多项式；再根据多项式相等时对应同类项的系数相等，即可列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能得到A、B的值。
【解析】
解：先对左边的分式通分，得：
$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 4} = \frac{A(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} + \frac{B(x - 3)}{(x - 3)(x + 4)}$
将分子展开并合并同类项：
$= \frac{Ax + 4A + Bx - 3B}{(x - 3)(x + 4)} = \frac{(A + B)x + 4A - 3B}{(x - 3)(x + 4)}$
已知等式右边为$\frac{2x-1}{(x-3)(x+4)}$，两个分式分母相同且相等，因此分子相等，可得方程组：
$\begin{cases} A + B = 2 \\ 4A - 3B = -1 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边同乘3得$3A + 3B = 6$，与第二个方程相加得$7A = 5$，解得$A = \frac{5}{7}$；将$A = \frac{5}{7}$代入$A + B = 2$，得$B = 2 - \frac{5}{7} = \frac{9}{7}$。
【答案】
$\begin{cases} A = \frac{5}{7} \\ B = \frac{9}{7} \end{cases}$
【知识点】
1. 分式的通分与加减
2. 二元一次方程组求解
3. 多项式相等的性质
【点评】
本题是分式运算与方程结合的典型基础题，解题核心是利用同分母分式相等时分子对应系数相等建立等量关系，既考察分式运算的基本功，也考察二元一次方程组的解法，掌握通分规则和方程组解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
