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10. 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人输入的是否一致.本次操作需输入2 640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入$ x $个数据，根据题意所得的方程正确的是（
A.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} + 2$
B.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} - 2$
C.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} + 2 × 60$
D.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} - 2 × 60$
D
）A.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} + 2$
B.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} - 2$
C.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} + 2 × 60$
D.$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} - 2 × 60$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步根据设出的乙的效率表示出甲的效率；第二步统一单位，题目中效率单位是“个/分钟”，给出的时间差单位是“小时”，需把2小时换算为$2×60$分钟；第三步找准等量关系：甲的输入时间比乙少2小时，即甲的输入时间=乙的输入时间 - 少用的时间，最后代入对应量列方程即可。
【解析】
设乙每分钟能输入$x$个数据，由甲的输入速度是乙的2倍，可得甲每分钟能输入$2x$个数据。
输入2640个数据，乙所需时间为$\frac{2640}{x}$分钟，甲所需时间为$\frac{2640}{2x}$分钟。
已知甲比乙少用2小时输完，将2小时换算为分钟是$2×60$分钟，根据“甲的输入时间=乙的输入时间 - 少用的时间”可列方程：
$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} - 2×60$
因此D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程实际应用，工程问题等量关系，单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是找准时间的等量关系，需特别注意不同单位的统一，这是这类题目的高频易错点，其次要理清两个主体的时间大小关系，避免列方程时加减关系搞反。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步根据设出的乙的效率表示出甲的效率；第二步统一单位，题目中效率单位是“个/分钟”，给出的时间差单位是“小时”，需把2小时换算为$2×60$分钟；第三步找准等量关系：甲的输入时间比乙少2小时，即甲的输入时间=乙的输入时间 - 少用的时间，最后代入对应量列方程即可。
【解析】
设乙每分钟能输入$x$个数据，由甲的输入速度是乙的2倍，可得甲每分钟能输入$2x$个数据。
输入2640个数据，乙所需时间为$\frac{2640}{x}$分钟，甲所需时间为$\frac{2640}{2x}$分钟。
已知甲比乙少用2小时输完，将2小时换算为分钟是$2×60$分钟，根据“甲的输入时间=乙的输入时间 - 少用的时间”可列方程：
$\frac{2640}{2x} = \frac{2640}{x} - 2×60$
因此D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程实际应用，工程问题等量关系，单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是找准时间的等量关系，需特别注意不同单位的统一，这是这类题目的高频易错点，其次要理清两个主体的时间大小关系，避免列方程时加减关系搞反。
【难度系数】
0.7
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 当$a=2026$时,分式$\dfrac{a^2 -4}{a -2}$的值是
11. 当$a=2026$时,分式$\dfrac{a^2 -4}{a -2}$的值是
2028
.答案
11. 2028
解析
【分析】
遇到分式求值类问题，优先考虑先化简分式再代入数值计算，可避免复杂运算。首先观察分式的分子是平方差的形式，可利用平方差公式因式分解，再根据分式的基本性质约分，将分式化为最简形式后，再代入a的值计算即可。
【解析】
先对分式进行化简：
分子$a^2-4$符合平方差公式，因式分解可得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
因此原式$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2}$，
已知$a=2026≠2$，分母不为0，可约去分子分母的公因式$(a-2)$，
化简得原式$=a+2$，
将$a=2026$代入得：$2026+2=2028$。
【答案】
2028
【知识点】
平方差公式因式分解；分式约分；分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，先化简后代入的思路能有效降低计算量，减少出错概率，解题时需注意约分的前提是分母不为0，本题给定的a值满足分母不为0的条件，可直接约分计算。
【难度系数】
0.9
遇到分式求值类问题，优先考虑先化简分式再代入数值计算，可避免复杂运算。首先观察分式的分子是平方差的形式，可利用平方差公式因式分解，再根据分式的基本性质约分，将分式化为最简形式后，再代入a的值计算即可。
【解析】
先对分式进行化简：
分子$a^2-4$符合平方差公式，因式分解可得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
因此原式$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2}$，
已知$a=2026≠2$，分母不为0，可约去分子分母的公因式$(a-2)$，
化简得原式$=a+2$，
将$a=2026$代入得：$2026+2=2028$。
【答案】
2028
【知识点】
平方差公式因式分解；分式约分；分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题型，先化简后代入的思路能有效降低计算量，减少出错概率，解题时需注意约分的前提是分母不为0，本题给定的a值满足分母不为0的条件，可直接约分计算。
【难度系数】
0.9
12. 如果分式$\frac{2x^2 -8}{x-2}$的值为0，则x的值应为
-2
.答案
12. -2
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先令分子等于0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，即可得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{2x^2 -8}{x-2}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：
$2x^2 -8 = 0$
移项得$2x^2 = 8$
两边同除以2得$x^2 = 4$
解得$x=2$或$x=-2$
2. 分母不等于0：
$x-2 ≠ 0$，即$x ≠ 2$
综合两个条件，排除$x=2$，因此$x=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
分式值为0的条件；解一元二次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是忽略分式有意义的前提，未验证分母不为0的条件，直接将分子为0的解全部作为答案，解题时需牢记先保证分式有意义，再满足分子为0的要求。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先令分子等于0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，即可得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{2x^2 -8}{x-2}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：
$2x^2 -8 = 0$
移项得$2x^2 = 8$
两边同除以2得$x^2 = 4$
解得$x=2$或$x=-2$
2. 分母不等于0：
$x-2 ≠ 0$，即$x ≠ 2$
综合两个条件，排除$x=2$，因此$x=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
分式值为0的条件；解一元二次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是忽略分式有意义的前提，未验证分母不为0的条件，直接将分子为0的解全部作为答案，解题时需牢记先保证分式有意义，再满足分子为0的要求。
【难度系数】
0.7
13. 已知$x+y=3,xy=1$,则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=$
7
.答案
13. 7
解析
【分析】
本题要求代数式$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值，若直接求解$x$、$y$的具体值计算较繁琐，因此优先考虑整体代入的思路：首先将所求分式通分化简，再结合完全平方公式的变形，把分子转化为用$x+y$和$xy$表示的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2 + x^2}{xy}$
根据完全平方公式变形可得：$x^2 + y^2=(x+y)^2 - 2xy$
将$x+y=3$，$xy=1$代入上式，得：
$x^2 + y^2=3^2 - 2×1=9 - 2=7$
再将$x^2 + y^2=7$，$xy=1$代入化简后的分式：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{7}{1}=7$
【答案】
7
【知识点】
分式化简、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值类基础题，解题核心是熟练掌握分式的通分运算和完全平方公式的变形，运用整体代入思想可避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值，若直接求解$x$、$y$的具体值计算较繁琐，因此优先考虑整体代入的思路：首先将所求分式通分化简，再结合完全平方公式的变形，把分子转化为用$x+y$和$xy$表示的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2 + x^2}{xy}$
根据完全平方公式变形可得：$x^2 + y^2=(x+y)^2 - 2xy$
将$x+y=3$，$xy=1$代入上式，得：
$x^2 + y^2=3^2 - 2×1=9 - 2=7$
再将$x^2 + y^2=7$，$xy=1$代入化简后的分式：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{7}{1}=7$
【答案】
7
【知识点】
分式化简、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值类基础题，解题核心是熟练掌握分式的通分运算和完全平方公式的变形，运用整体代入思想可避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
14. 已知$x:y:z=2:3:4$，则$\frac{x+2y-z}{x-y+3z}$的值为
$\frac{4}{11}$
。答案
14. $\frac{4}{11}$
解析
【分析】
已知x、y、z的连比关系，解决这类问题的常用方法是设参数法：根据比例将x、y、z用同一个参数表示，再代入待求分式中，参数会在约分时消去，即可算出结果。具体思路为：先按2:3:4的比例设x=2k、y=3k、z=4k（k≠0），再分别代入分子、分母计算，最后约分化简得到数值。
【解析】
解：
∵$x:y:z=2:3:4$
∴设$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$（$k≠0$）
将上述表达式代入分式：
分子：$x+2y-z=2k+2×3k-4k=2k+6k-4k=4k$
分母：$x-y+3z=2k-3k+3×4k=2k-3k+12k=11k$
∴$\frac{x+2y-z}{x-y+3z}=\frac{4k}{11k}=\frac{4}{11}$（$k≠0$，约分消去参数$k$）
【答案】
$\frac{4}{11}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是连比条件下分式求值的基础题型，解题核心是利用连比关系设参数，将多个未知量转化为同一参数的表达式，代入后消去参数即可得到结果，设参数法是解决比例相关计算问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
已知x、y、z的连比关系，解决这类问题的常用方法是设参数法：根据比例将x、y、z用同一个参数表示，再代入待求分式中，参数会在约分时消去，即可算出结果。具体思路为：先按2:3:4的比例设x=2k、y=3k、z=4k（k≠0），再分别代入分子、分母计算，最后约分化简得到数值。
【解析】
解：
∵$x:y:z=2:3:4$
∴设$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$（$k≠0$）
将上述表达式代入分式：
分子：$x+2y-z=2k+2×3k-4k=2k+6k-4k=4k$
分母：$x-y+3z=2k-3k+3×4k=2k-3k+12k=11k$
∴$\frac{x+2y-z}{x-y+3z}=\frac{4k}{11k}=\frac{4}{11}$（$k≠0$，约分消去参数$k$）
【答案】
$\frac{4}{11}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是连比条件下分式求值的基础题型，解题核心是利用连比关系设参数，将多个未知量转化为同一参数的表达式，代入后消去参数即可得到结果，设参数法是解决比例相关计算问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
15. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1$，则$\frac{a + ab - b}{a - 2ab - b}$的值为
0
.答案
15. 0
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求分式的结构，已知是关于$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$的等式，所求分式的分子、分母均含有$a-b$和$ab$的组合项，因此可以先对已知条件通分变形，得到$a-b$与$ab$的数量关系，再将该关系作为整体代入所求分式计算，无需分别求出$a$、$b$的具体值即可得到结果。也可以采用特殊值法，给$a$、$b$赋符合已知条件的具体数值，代入分式直接计算。
【解析】
步骤1：对已知条件变形
已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1$，对左边通分，最简公分母为$ab$，得：
$\frac{b - a}{ab} = 1$
由分式有意义可知$a≠0$、$b≠0$，因此$ab≠0$，等式两边同乘$ab$得：
$b - a = ab$，即$a - b = -ab$
步骤2：整体代入所求分式
将$\frac{a + ab - b}{a - 2ab - b}$的分子、分母整理为含$a-b$的形式：
分子：$a + ab - b = (a - b) + ab$，把$a - b = -ab$代入得：$-ab + ab = 0$
分母：$a - 2ab - b = (a - b) - 2ab$，把$a - b = -ab$代入得：$-ab - 2ab = -3ab$
因此原式$=\frac{0}{-3ab}=0$
（特殊值法验证：令$a=\frac{1}{2}$，代入已知得$2-\frac{1}{b}=1$，解得$b=1$，代入原式计算也得结果为0）
【答案】
0
【知识点】
分式化简求值，整体代入思想，分式通分
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是避免盲目求解$a$、$b$的具体值，通过对已知条件合理变形得到整体关系后代入即可快速得出结果，也可通过特殊值法简化计算，体现了代数运算中整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件和所求分式的结构，已知是关于$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$的等式，所求分式的分子、分母均含有$a-b$和$ab$的组合项，因此可以先对已知条件通分变形，得到$a-b$与$ab$的数量关系，再将该关系作为整体代入所求分式计算，无需分别求出$a$、$b$的具体值即可得到结果。也可以采用特殊值法，给$a$、$b$赋符合已知条件的具体数值，代入分式直接计算。
【解析】
步骤1：对已知条件变形
已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1$，对左边通分，最简公分母为$ab$，得：
$\frac{b - a}{ab} = 1$
由分式有意义可知$a≠0$、$b≠0$，因此$ab≠0$，等式两边同乘$ab$得：
$b - a = ab$，即$a - b = -ab$
步骤2：整体代入所求分式
将$\frac{a + ab - b}{a - 2ab - b}$的分子、分母整理为含$a-b$的形式：
分子：$a + ab - b = (a - b) + ab$，把$a - b = -ab$代入得：$-ab + ab = 0$
分母：$a - 2ab - b = (a - b) - 2ab$，把$a - b = -ab$代入得：$-ab - 2ab = -3ab$
因此原式$=\frac{0}{-3ab}=0$
（特殊值法验证：令$a=\frac{1}{2}$，代入已知得$2-\frac{1}{b}=1$，解得$b=1$，代入原式计算也得结果为0）
【答案】
0
【知识点】
分式化简求值，整体代入思想，分式通分
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是避免盲目求解$a$、$b$的具体值，通过对已知条件合理变形得到整体关系后代入即可快速得出结果，也可通过特殊值法简化计算，体现了代数运算中整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16. (6分)先化简,再求值:$\frac{3+a}{a-2}+\frac{a-5}{2-a}$.
点点的解答过程:
解:原式$=\frac{3+a}{a-2}×(a-2)+\frac{a-5}{2-a}×(a-2)$
$=3+a-(a-5)$
$=3+a-a+5$
$=8$
(1)点点化简是否有错误?如有错误,写出正确的化简过程;
(2)若代数式求值结果为8,求数字$a$的值.
16. (6分)先化简,再求值:$\frac{3+a}{a-2}+\frac{a-5}{2-a}$.
点点的解答过程:
解:原式$=\frac{3+a}{a-2}×(a-2)+\frac{a-5}{2-a}×(a-2)$
$=3+a-(a-5)$
$=3+a-a+5$
$=8$
(1)点点化简是否有错误?如有错误,写出正确的化简过程;
(2)若代数式求值结果为8,求数字$a$的值.
答案
16. 解:(1)点点化简有错误,正确的化简过程如下:
$\frac{3+a}{a-2} + \frac{a-5}{2-a}$
$= \frac{3+a}{a-2} - \frac{a - 5}{a - 2}$
$= \frac{3 + a - a + 5}{a - 2}$
$= \frac{8}{a - 2} .$
(2)由题意,得 $\frac{8}{a - 2} = 8$,
解得$a=3$,
经检验,当$a=3,a-2≠0$,
∴$a=3$是原分式方程的解,即数字a的值为3.
$\frac{3+a}{a-2} + \frac{a-5}{2-a}$
$= \frac{3+a}{a-2} - \frac{a - 5}{a - 2}$
$= \frac{3 + a - a + 5}{a - 2}$
$= \frac{8}{a - 2} .$
(2)由题意,得 $\frac{8}{a - 2} = 8$,
解得$a=3$,
经检验,当$a=3,a-2≠0$,
∴$a=3$是原分式方程的解,即数字a的值为3.
解析
【分析】
(1) 第一问解题时首先要明确分式加减的运算规则：分式化简属于代数式运算，不能直接去分母改变原式的值，点点的错误就是混淆了分式化简和解分式方程的操作。解题先将第二个分式的分母$2-a$变形为$-(a-2)$，把两个分式统一为同分母分式，再按同分母分式加减规则：分母不变、分子相加减计算即可。
(2) 第二问已知代数式的值为8，只需令第一问化简得到的分式等于8，解分式方程，最后检验所得的根是否让原分式分母不为0（满足分式有意义的条件）即可。
【解析】
(1) 点点化简有错误，正确的化简过程如下：
$\frac{3+a}{a-2} + \frac{a-5}{2-a}$
$= \frac{3+a}{a-2} - \frac{a - 5}{a - 2}$
$= \frac{(3+a) - (a - 5)}{a - 2}$
$= \frac{3 + a - a + 5}{a - 2}$
$= \frac{8}{a - 2}$
(2) 由题意得$\frac{8}{a - 2} = 8$，
两边同乘$(a-2)$得：$8 = 8(a - 2)$，
解得$a = 3$，
检验：当$a=3$时，$a-2=3-2=1≠0$，
∴$a=3$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 有错误，正确化简结果为$\boldsymbol{\frac{8}{a-2}}$；
(2) $a$的值为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
分式的加减运算，分式方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题侧重考查基础运算能力和运算严谨性，解题时要注意区分分式化简与解分式方程的操作差异，分式化简不能随意去分母，解分式方程必须检验根是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问解题时首先要明确分式加减的运算规则：分式化简属于代数式运算，不能直接去分母改变原式的值，点点的错误就是混淆了分式化简和解分式方程的操作。解题先将第二个分式的分母$2-a$变形为$-(a-2)$，把两个分式统一为同分母分式，再按同分母分式加减规则：分母不变、分子相加减计算即可。
(2) 第二问已知代数式的值为8，只需令第一问化简得到的分式等于8，解分式方程，最后检验所得的根是否让原分式分母不为0（满足分式有意义的条件）即可。
【解析】
(1) 点点化简有错误，正确的化简过程如下：
$\frac{3+a}{a-2} + \frac{a-5}{2-a}$
$= \frac{3+a}{a-2} - \frac{a - 5}{a - 2}$
$= \frac{(3+a) - (a - 5)}{a - 2}$
$= \frac{3 + a - a + 5}{a - 2}$
$= \frac{8}{a - 2}$
(2) 由题意得$\frac{8}{a - 2} = 8$，
两边同乘$(a-2)$得：$8 = 8(a - 2)$，
解得$a = 3$，
检验：当$a=3$时，$a-2=3-2=1≠0$，
∴$a=3$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 有错误，正确化简结果为$\boldsymbol{\frac{8}{a-2}}$；
(2) $a$的值为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
分式的加减运算，分式方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题侧重考查基础运算能力和运算严谨性，解题时要注意区分分式化简与解分式方程的操作差异，分式化简不能随意去分母，解分式方程必须检验根是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.7
