22.(10分)(1)先化简,再求值:$\frac{x-3}{x-2}÷(x+2-\frac{5}{x-2})$,其中$x=\sqrt{5}-3$;
(2)若关于$x$的分式方程$\frac{2x-1}{x-2}=\frac{m}{x-2}+1$的解是正数,求$m$的取值范围.

22. 解:(1)原式$= \frac{x - 3}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 9}{x - 2}$
$= \frac{x - 3}{x - 2} · \frac{x - 2}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{x + 3} ,$
当$x= \sqrt{5} -3$时,原式$= \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} ;$
(2)解方程$\frac{2x - 1}{x - 2} = \frac{m}{x - 2} + 1$,
得$x=m-1$,根据题意知$m-1＞0$且$m-1≠2$,解得$m＞1$且$m≠3.$

【分析】
(1) 分式化简求值遵循“先化简，后代入”的原则：第一步先计算括号内的异分母分式减法，把x+2看作分母为1的分式，和$\frac{5}{x-2}$通分，通分后分子用平方差公式计算合并；第二步将除法转化为乘法，约去分子分母的公因式得到最简分式；最后代入x的值，分母有理化后算出结果。
(2) 含参数的分式方程解的问题，解题思路为：先给方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，解出用m表示的x；再根据“解是正数”列不等式，同时结合“分式分母不为0（避免增根）”列第二个不等式，联立求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x-3}{x-2}÷( \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2} )\\&=\frac{x-3}{x-2}÷\frac{x^2 - 4 - 5}{x-2}\\&=\frac{x-3}{x-2}÷\frac{x^2 - 9}{x-2}\\&=\frac{x-3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
将$x=\sqrt{5}-3$代入最简式：
$原式=\frac{1}{\sqrt{5}-3 + 3}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
(2) 解分式方程：
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$2x - 1 = m + (x - 2)$
移项合并得：$x = m - 1$
∵ 方程的解为正数，且分母不为0
∴ $\begin{cases} m - 1 ＞ 0 \\ m - 1 ≠ 2 \end{cases}$
解得：$m＞1$且$m≠3$
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{1}{x+3}$，求值结果为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
(2) $m$的取值范围是$m＞1$且$m≠3$
【知识点】
分式化简求值、分式方程求解、一元一次不等式应用
【点评】
本题考查分式运算的基础能力，第一小问需遵循混合运算顺序，约分可简化计算，代值后要规范进行分母有理化；第二小问易错点是忽略分式分母不为0的隐含条件，容易漏写$m≠3$的限制，解题时要养成排查增根的习惯。
【难度系数】
0.7

23. (11分)黄梅县是黄冈的农业大县，每到小麦抽穗扬花期，农技部门就会统一调度无人机开展小麦“一喷三防”统防统治作业，无人机飞防高效助力夏粮保产.现有A，B两种型号的无人机可用来喷洒药水.
(1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元；
(2)每台A型无人机比B型无人机日均喷洒面积多200亩，每台A型无人机喷洒1 500亩所用时间与B型无人机喷洒900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别喷洒多少亩.

23. 解:(1)设A型无人机的单价是x万元/台,B型无人机的单价是y万元/台,
根据题意得:$\begin{cases} x + 3y = 9 ,& 3x + y = 11 , \end{cases}$
解得:$\begin{cases} x = 3 ,& y = 2. \end{cases}$
答:A型无人机的单价是3万元/台,B型无人机的单价是2万元/台;
(2)设A型无人机每台日均喷洒m亩,则B型无人机每台日均喷洒(m-200)亩,
根据题意得:$\frac{1500}{m} = \frac{900}{m - 200} ,$
解得:$m=500$,
经检验,$m=500$是所列方程的解,且符合题意,
∴$m-200=500-200=300.$
答:A型无人机每台日均喷洒500亩,B型无人机每台日均喷洒300亩.

【分析】
(1)第一问属于二元一次方程组应用问题，先从题干提取两个等量关系：①1台A型无人机费用+3台B型无人机费用=9万元；②3台A型无人机费用+1台B型无人机费用=11万元。设两种型号无人机的单价为未知数，代入等量关系列方程组求解即可。
(2)第二问属于分式方程应用问题，核心等量关系为“工作时间=工作总量÷工作效率”，已知A型无人机喷洒1500亩的时间和B型喷洒900亩的时间相等，设A型日均喷洒面积为未知数，根据“A型比B型日均多喷200亩”表示出B型的日均喷洒面积，代入时间相等的关系列分式方程，求解后需检验根是否符合分式要求及实际意义，最终得到结果。
【解析】
(1)设A型无人机的单价是x万元/台，B型无人机的单价是y万元/台，
根据题意得：$\begin{cases} x + 3y = 9 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$，
将第一个方程变形为$x=9-3y$，代入第二个方程得$3(9-3y)+y=11$，
解得$y=2$，把$y=2$代入$x=9-3y$得$x=3$，
即方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$。
答：A型无人机的单价是3万元/台，B型无人机的单价是2万元/台。
(2)设A型无人机每台日均喷洒m亩，则B型无人机每台日均喷洒$(m-200)$亩，
根据题意得：$\frac{1500}{m} = \frac{900}{m - 200}$，
交叉相乘去分母得$1500(m-200)=900m$，
整理得$600m=300000$，解得$m=500$，
经检验，$m=500$是所列方程的解，且符合实际意义，
∴$m-200=500-200=300$。
答：A型无人机每台日均喷洒500亩，B型无人机每台日均喷洒300亩。
【答案】
(1)A型无人机单价3万元/台，B型无人机单价2万元/台；
(2)A型无人机每台日均喷洒500亩，B型无人机每台日均喷洒300亩。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 分式方程的应用
3. 分式方程的检验
【点评】
本题以农业生产实际场景为背景，考查学生提取等量关系、列方程解决实际问题的能力，解题时需注意分式方程要先检验根是否为增根、是否符合实际意义再作答，整体考查方向侧重基础应用，能很好地体现数学与生活的关联性。
【难度系数】
0.75

24. (12分)阅读下列材料:我们知道,分子比分母小的数叫作“真分数”;分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫作“假分数”.类似地,我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如:$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^2}{x-1}$这样的分式就是假分式;再如:$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^2+1}$这样的分式就是真分式.假分数$\frac{7}{4}$可以化成$1+\frac{3}{4}$(即$1\frac{3}{4}$)带分数的形式,类似的,假分式也可以化为带分式.如:$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$.
解决下列问题:
(1)分式$\frac{5}{x}$是(填“真分式”或“假分式”);假分式$\frac{x-5}{x+4}$可化为带分式形式;
(2)如果分式$\frac{2x-4}{x-3}$的值为整数,求满足条件的整数$x$的值;
(3)若分式$\frac{-x^2+6}{-x^2-1}$的值为$m$,$m$的取值范围是(直接写出结果).

24. 解:(1)根据新定义可得: $\frac{5}{x}$ 分子次数为0,分母次数为1,故为真分式;
$\frac{x - 5}{x + 4} = \frac{x + 4 - 9}{x + 4} = 1 - \frac{9}{x + 4} .$
(2) $\frac{2x - 4}{x - 3} = 2× \frac{x - 2}{x - 3} = 2× \frac{x - 3 + 1}{x - 3} = 2× (1 + \frac{1}{x - 3}) ,且 \frac{2x - 4}{x - 3} 为整数,x为整数,$
∴$x-3=1或x-3=-1或x-3=2或x-3=-2,$
解得$x=4或x=2或x=5或x=1,$
故满足条件的整数x的值为1,2,4,5.
(3)$\because m= \frac{-x^2 + 6}{-x^2 - 1}$
$= \frac{-(x^2 - 6)}{-(x^2 + 1)}$
$= \frac{x^2 - 6}{x^2 + 1}$
$= \frac{x^2 + 1 - 7}{x^2 + 1}$
$=1- \frac{7}{x^2 + 1} ,$
而$x^2 + 1≥1,∴0＜ \frac{1}{x^2 + 1} ≤1,$
∴$0＜ \frac{7}{x^2 + 1} ≤7,$
∴$-7≤- \frac{7}{x^2 + 1} ＜0,$
∴$-6≤m＜1.$

【分析】
本题是分式新定义类题型，解题核心是先准确理解相关定义：①判断真/假分式只需比较分子、分母的次数大小；②假分式化带分式的方法是将分子凑成分母的整倍数与常数的和/差，再拆分成分式与整数的和的形式。
第(1)问：先判断$\frac{5}{x}$分子次数为0、分母次数为1，分子次数小于分母次数，可直接判定为真分式；再将$\frac{x-5}{x+4}$的分子凑为$(x+4)-9$，拆分即可得到带分式。
第(2)问：先把$\frac{2x-4}{x-3}$拆成整数加最简分式的形式，要使整个分式值为整数，则最简分式的分母必须是分子的整数约数，列举所有正负约数求解即可，注意x要使原分式有意义。
第(3)问：先拆分分式得到$m$与含$x^2$的分式的关系，再利用$x^2≥0$的非负性求出分式的取值范围，进而得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据真分式定义：分子次数小于分母次数的分式为真分式。$\frac{5}{x}$的分子是常数，次数为0，分母$x$的次数为1，$0＜1$，因此是真分式；
对$\frac{x-5}{x+4}$变形：$\frac{x-5}{x+4}=\frac{(x+4)-9}{x+4}=1-\frac{9}{x+4}$。
(2) 先将分式化简为带分式：
$\frac{2x-4}{x-3}=\frac{2(x-3)+2}{x-3}=2+\frac{2}{x-3}$
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴$x-3$是2的整数约数，
2的整数约数为$\pm1,\pm2$，因此：
当$x-3=1$时，$x=4$；当$x-3=-1$时，$x=2$；
当$x-3=2$时，$x=5$；当$x-3=-2$时，$x=1$。
以上x值均使原分式分母不为0，符合要求。
(3) 先化简$m$的表达式：
$m=\frac{-x^2+6}{-x^2-1}=\frac{x^2-6}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)-7}{x^2+1}=1-\frac{7}{x^2+1}$
∵$x^2≥0$，
∴$x^2+1≥1$，
∴$0＜\frac{1}{x^2+1}≤1$，即$0＜\frac{7}{x^2+1}≤7$，
两边同乘$-1$得$-7≤-\frac{7}{x^2+1}＜0$，
两边加1得$-6≤1-\frac{7}{x^2+1}＜1$，即$-6≤ m＜1$。
【答案】
(1) 真分式；$1-\frac{9}{x+4}$
(2) 1，2，4，5
(3) $-6≤ m＜1$
【知识点】
分式新定义，分式化简，分式取值范围
【点评】
本题属于新定义综合题，既考查对新定义的理解迁移能力，又考查分式变形、整数约数性质、非负性求取值范围等知识点，解题关键是掌握假分式拆分的“凑分母”方法，注意求解整数解时不要遗漏负约数，求取值范围时注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.6