登录
3. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图10，G是△ABC的重心.
(1)求证：AD=3GD；
(2)若△CDG的面积是1，求△ABC的面积.
(1)求证：AD=3GD；
(2)若△CDG的面积是1，求△ABC的面积.
答案
(1)提示:连接DE,证明
(2) $\because △CAG,△CDG$的底边$AG,DG$上的高相等
$\therefore S_{△CAG}:S_{△CDG}=AG:DG=2:1 \quad \because S_{△CDG}=1 \quad \therefore S_{△CAG}=2 \quad \therefore S_{△ACD}=S_{△CAG}+S_{△CDG}=2+1=3 \quad \because AD$ 是$△ABC$的边$BC$上的中线
$\therefore S_{△ABD}=S_{△ACD}=3 \quad \therefore S_{△ABC}=2×3=6$
(2) $\because △CAG,△CDG$的底边$AG,DG$上的高相等
$\therefore S_{△CAG}:S_{△CDG}=AG:DG=2:1 \quad \because S_{△CDG}=1 \quad \therefore S_{△CAG}=2 \quad \therefore S_{△ACD}=S_{△CAG}+S_{△CDG}=2+1=3 \quad \because AD$ 是$△ABC$的边$BC$上的中线
$\therefore S_{△ABD}=S_{△ACD}=3 \quad \therefore S_{△ABC}=2×3=6$
解析
【分析】
(1) 要证明AD=3GD，首先根据重心的性质可知AD、CE都是三角形的中线，即D、E分别是BC、AB的中点，连接DE构造中位线，利用中位线的平行和长度关系证明△DEG与△ACG相似，得到AG和GD的比例，即可推导出AD与GD的数量关系；
(2) 求△ABC的面积时，先利用“同高的两个三角形面积比等于对应底的比”，结合AG:GD=2:1求出△CAG的面积，进而得到△ACD的面积，再根据中线平分三角形面积的性质，即可算出△ABC的总面积。
【解析】
(1) 证明：连接DE，
∵G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，CE是AB边上的中线，即D为BC中点，E为AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴∠EDG=∠CAG，∠DEG=∠ACG，
∴△DEG∽△ACG，
∴$\frac{GD}{AG}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AG=2GD$，
又
∵$AD=AG+GD$，
∴$AD=2GD+GD=3GD$，得证。
(2) 解：
∵△CAG和△CDG在底边AG、DG上的高相等，
∴$S_{△ CAG}:S_{△ CDG}=AG:DG=2:1$，
∵$S_{△ CDG}=1$，
∴$S_{△ CAG}=2$，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ CAG}+S_{△ CDG}=2+1=3$，
又
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=3$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=3+3=6$。
【答案】
(1) 证明见解析，AD=3GD成立；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形重心相关的线段关系和面积计算，结合了中位线定理、相似三角形的应用，解题时要熟练掌握同高三角形面积比等于底之比、中线平分三角形面积这两类常用结论，是三角形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD=3GD，首先根据重心的性质可知AD、CE都是三角形的中线，即D、E分别是BC、AB的中点，连接DE构造中位线，利用中位线的平行和长度关系证明△DEG与△ACG相似，得到AG和GD的比例，即可推导出AD与GD的数量关系；
(2) 求△ABC的面积时，先利用“同高的两个三角形面积比等于对应底的比”，结合AG:GD=2:1求出△CAG的面积，进而得到△ACD的面积，再根据中线平分三角形面积的性质，即可算出△ABC的总面积。
【解析】
(1) 证明：连接DE，
∵G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，CE是AB边上的中线，即D为BC中点，E为AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴∠EDG=∠CAG，∠DEG=∠ACG，
∴△DEG∽△ACG，
∴$\frac{GD}{AG}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AG=2GD$，
又
∵$AD=AG+GD$，
∴$AD=2GD+GD=3GD$，得证。
(2) 解：
∵△CAG和△CDG在底边AG、DG上的高相等，
∴$S_{△ CAG}:S_{△ CDG}=AG:DG=2:1$，
∵$S_{△ CDG}=1$，
∴$S_{△ CAG}=2$，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ CAG}+S_{△ CDG}=2+1=3$，
又
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=3$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=3+3=6$。
【答案】
(1) 证明见解析，AD=3GD成立；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形重心相关的线段关系和面积计算，结合了中位线定理、相似三角形的应用，解题时要熟练掌握同高三角形面积比等于底之比、中线平分三角形面积这两类常用结论，是三角形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 如图1,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为2:5,且三角尺的一边长为8 cm,则投影三角形的对应边长为(
A.8 cm
B.20 cm
C.3.2 cm
D.10 cm
1. 如图1,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为2:5,且三角尺的一边长为8 cm,则投影三角形的对应边长为(
B
)A.8 cm
B.20 cm
C.3.2 cm
D.10 cm
答案
1. B
解析
【分析】
首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于相似比。解题时首先要明确相似比的对应关系，题目中给出的相似比2:5是三角尺与投影三角形的比，即三角尺边长:投影对应边长=2:5，已知三角尺的边长，我们可以通过列比例式求解投影的对应边长，注意不要搞反相似比的前后项。
【解析】
解：
∵位似图形属于特殊的相似图形，对应边的比值等于相似比，
已知三角尺与投影三角形的相似比为2:5，设投影三角形的对应边长为$x$ cm，
可得比例关系：$\frac{三角尺对应边长}{投影三角形对应边长}=\frac{2}{5}$，代入数据得：
$\frac{8}{x}=\frac{2}{5}$
交叉相乘得：$2x=8×5$
解得：$x=20$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；相似比的应用
【点评】
本题是基础类题型，核心考查位似图形的性质，解题的关键是明确相似比的对应关系，避免混淆两个图形的前后顺序导致计算错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于相似比。解题时首先要明确相似比的对应关系，题目中给出的相似比2:5是三角尺与投影三角形的比，即三角尺边长:投影对应边长=2:5，已知三角尺的边长，我们可以通过列比例式求解投影的对应边长，注意不要搞反相似比的前后项。
【解析】
解：
∵位似图形属于特殊的相似图形，对应边的比值等于相似比，
已知三角尺与投影三角形的相似比为2:5，设投影三角形的对应边长为$x$ cm，
可得比例关系：$\frac{三角尺对应边长}{投影三角形对应边长}=\frac{2}{5}$，代入数据得：
$\frac{8}{x}=\frac{2}{5}$
交叉相乘得：$2x=8×5$
解得：$x=20$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；相似比的应用
【点评】
本题是基础类题型，核心考查位似图形的性质，解题的关键是明确相似比的对应关系，避免混淆两个图形的前后顺序导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图
，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形$A'B'C'D'$，若$AB:A'B'=1:2$，则四边形ABCD的面积:四边形$A'B'C'D'$的面积为(
A.$4:1$
B.$\sqrt{2}:1$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:4$
，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形$A'B'C'D'$，若$AB:A'B'=1:2$，则四边形ABCD的面积:四边形$A'B'C'D'$的面积为(D
)A.$4:1$
B.$\sqrt{2}:1$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:4$
答案
2. D
解析
【分析】
首先分析图形关系：灯泡照射形成的投影属于位似变换，因此四边形ABCD与它的影子四边形$A'B'C'D'$是位似图形，而位似图形都是相似图形，已知对应边的比$AB:A'B'=1:2$，即两个四边形的相似比为$1:2$。接下来回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，代入相似比计算即可得到面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD在灯泡照射下形成的影子四边形$A'B'C'D'$与原四边形是位似图形
∴四边形ABCD∽四边形$A'B'C'D'$，相似比$k=AB:A'B'=1:2$
根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{四边形ABCD}:S_{四边形A'B'C'D'}=k^2=(1:2)^2=1:4$
故选D
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形面积比与相似比的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是明确位似是特殊的相似，要注意区分相似图形的面积比和周长比的规律，避免混淆两者与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
首先分析图形关系：灯泡照射形成的投影属于位似变换，因此四边形ABCD与它的影子四边形$A'B'C'D'$是位似图形，而位似图形都是相似图形，已知对应边的比$AB:A'B'=1:2$，即两个四边形的相似比为$1:2$。接下来回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，代入相似比计算即可得到面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD在灯泡照射下形成的影子四边形$A'B'C'D'$与原四边形是位似图形
∴四边形ABCD∽四边形$A'B'C'D'$，相似比$k=AB:A'B'=1:2$
根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{四边形ABCD}:S_{四边形A'B'C'D'}=k^2=(1:2)^2=1:4$
故选D
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形面积比与相似比的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是明确位似是特殊的相似，要注意区分相似图形的面积比和周长比的规律，避免混淆两者与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
