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3. 如图3,五边形ABCDE和五边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$是位似图形,点P为位似中心,且$PA_{1}=\frac{2}{3}PA$,则$AB:A_{1}B_{1}$等于(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
B
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
3. B
解析
【分析】
看到位似图形求对应边的比，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于相似比，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先确定AB与A₁B₁是对应边，A和A₁是一组对应点，所以AB:A₁B₁=PA:PA₁。接下来结合题目给出的PA₁和PA的数量关系，代入计算即可得到结果，注意不要搞反比的前后项。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE和五边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$是位似图形，点P为位似中心，
∴根据位似图形的性质，对应边的比等于对应点到位似中心的距离之比，即$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{PA}{PA_{1}}$。
已知$PA_{1}=\frac{2}{3}PA$，将其代入上式：
$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{PA}{\frac{2}{3}PA}=\frac{3}{2}$。
因此$AB:A_{1}B_{1}=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质
【点评】
本题考查位似图形的基础性质，属于常规基础题，解题关键是明确位似比和对应点到位似中心距离的关系，计算时注意区分比的前后项，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
看到位似图形求对应边的比，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于相似比，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先确定AB与A₁B₁是对应边，A和A₁是一组对应点，所以AB:A₁B₁=PA:PA₁。接下来结合题目给出的PA₁和PA的数量关系，代入计算即可得到结果，注意不要搞反比的前后项。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE和五边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$是位似图形，点P为位似中心，
∴根据位似图形的性质，对应边的比等于对应点到位似中心的距离之比，即$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{PA}{PA_{1}}$。
已知$PA_{1}=\frac{2}{3}PA$，将其代入上式：
$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{PA}{\frac{2}{3}PA}=\frac{3}{2}$。
因此$AB:A_{1}B_{1}=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质
【点评】
本题考查位似图形的基础性质，属于常规基础题，解题关键是明确位似比和对应点到位似中心距离的关系，计算时注意区分比的前后项，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 如图4，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，且位似比是$1:2$，若$AB=2\ \mathrm{cm}$，则$A'B'=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，并在图中画出位似中心$O$。
1. 如图4，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，且位似比是$1:2$，若$AB=2\ \mathrm{cm}$，则$A'B'=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，并在图中画出位似中心$O$。
答案
1. 4，画图略
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，位似比等于相似比，对应边的比值等于位似比；位似中心是所有对应顶点连线的公共交点。第一步先利用位似比和已知AB的长度计算A'B'的长度，第二步通过连接对应顶点找交点得到位似中心。
【解析】
∵ △ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比为$1:2$
∴ △ABC∽△A'B'C'，相似比为$1:2$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$
将$AB=2\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{2}{A'B'}=\frac{1}{2}$，解得$A'B'=4\ \mathrm{cm}$
位似中心画法：分别连接$AA'$、$BB'$、$CC'$，三条线段的交点即为位似中心$O$。
【答案】
4，画图略
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，核心考查位似比与对应边长的关系，以及位似中心的找法，属于对基础概念的直接考查，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，位似比等于相似比，对应边的比值等于位似比；位似中心是所有对应顶点连线的公共交点。第一步先利用位似比和已知AB的长度计算A'B'的长度，第二步通过连接对应顶点找交点得到位似中心。
【解析】
∵ △ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比为$1:2$
∴ △ABC∽△A'B'C'，相似比为$1:2$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$
将$AB=2\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{2}{A'B'}=\frac{1}{2}$，解得$A'B'=4\ \mathrm{cm}$
位似中心画法：分别连接$AA'$、$BB'$、$CC'$，三条线段的交点即为位似中心$O$。
【答案】
4，画图略
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，核心考查位似比与对应边长的关系，以及位似中心的找法，属于对基础概念的直接考查，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 图5中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是
图4 图5 图6
点P
. 图4 图5 图6
答案
2. 点P
解析
【分析】要确定位似图形的位似中心，首先回忆位似图形的核心性质：位似图形所有对应顶点的连线都会相交于同一个公共点，这个公共点就是位似中心。所以解题时只需选取两组对应顶点，分别连接后延长，找到它们的交点，就是所求的位似中心。
【解析】根据位似图形的性质：位似图形的对应顶点连线交于同一点，该点即为位似中心。分别连接题中两个三角形的两组对应顶点并延长，可发现两条连线的交点为点P，即所有对应顶点的连线都经过点P，因此点P是这两个位似三角形的位似中心。
【答案】点P
【知识点】位似图形的性质；位似中心的判定
【点评】本题属于基础题，主要考查位似中心的确定方法，熟练掌握位似图形的基本性质即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据位似图形的性质：位似图形的对应顶点连线交于同一点，该点即为位似中心。分别连接题中两个三角形的两组对应顶点并延长，可发现两条连线的交点为点P，即所有对应顶点的连线都经过点P，因此点P是这两个位似三角形的位似中心。
【答案】点P
【知识点】位似图形的性质；位似中心的判定
【点评】本题属于基础题，主要考查位似中心的确定方法，熟练掌握位似图形的基本性质即可快速解答。
【难度系数】0.9
3. 如图6，$△ DEF$是由$△ ABC$经过位似变换得到的，点$O$是位似中心，$D$，$E$，$F$分别是$OA$，$OB$，$OC$的中点，则$△ DEF$与$△ ABC$的面积比是
1:4
。答案
3. 1:4
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似变换得到的图形与原图形相似，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先根据D、E、F是OA、OB、OC的中点，求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比。
【解析】
解：
∵△DEF是△ABC经过位似变换得到的，
∴△DEF∽△ABC，且位似比等于对应点与位似中心O的距离之比。
∵D是OA的中点，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{1}{2}$，即△DEF与△ABC的相似比为$1:2$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△DEF}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即△DEF与△ABC的面积比是$1:4$。
【答案】
1:4
【知识点】
1.位似图形的性质
2.相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题是基础题型，重点考查位似性质和相似三角形性质的结合应用，解题的核心是准确找到两个三角形的相似比，牢记相似三角形面积比是相似比的平方即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆位似图形的性质：位似变换得到的图形与原图形相似，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先根据D、E、F是OA、OB、OC的中点，求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比。
【解析】
解：
∵△DEF是△ABC经过位似变换得到的，
∴△DEF∽△ABC，且位似比等于对应点与位似中心O的距离之比。
∵D是OA的中点，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{1}{2}$，即△DEF与△ABC的相似比为$1:2$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△DEF}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即△DEF与△ABC的面积比是$1:4$。
【答案】
1:4
【知识点】
1.位似图形的性质
2.相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题是基础题型，重点考查位似性质和相似三角形性质的结合应用，解题的核心是准确找到两个三角形的相似比，牢记相似三角形面积比是相似比的平方即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图7,在下面的网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点. 以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC是位似图形,且位似比为1:2.
1. 如图7,在下面的网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点. 以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC是位似图形,且位似比为1:2.
答案
解：
1. 分别连接位似中心O与△ABC的顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 分别取线段OA、OB、OC的中点，依次标记为点A'、B'、C'，满足OA':OA = OB':OB = OC':OC = 1:2；
3. 顺次连接点A'、B'、C'，所得的△A'B'C'即为符合要求的位似图形。
1. 分别连接位似中心O与△ABC的顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 分别取线段OA、OB、OC的中点，依次标记为点A'、B'、C'，满足OA':OA = OB':OB = OC':OC = 1:2；
3. 顺次连接点A'、B'、C'，所得的△A'B'C'即为符合要求的位似图形。
解析
【分析】
要作出与△ABC位似比为1:2的位似图形，首先依据位似图形的性质：位似图形的对应点连线都经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。本题中位似中心为O，位似比1:2意味着新图形的对应顶点到O的距离是原图形顶点到O距离的$\frac{1}{2}$。解题思路为：第一步连接位似中心O与△ABC的三个顶点；第二步分别在OA、OB、OC上找到满足距离比为1:2的对应点，取各线段的中点即可符合要求；第三步顺次连接三个对应点，得到所求图形。
【解析】
1. 分别连接位似中心O与△ABC的顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 分别取线段OA、OB、OC的中点，依次标记为点A'、B'、C'，满足$OA':OA = OB':OB = OC':OC = 1:2$；
3. 顺次连接点A'、B'、C'，所得的△A'B'C'即为符合要求的位似图形。
【答案】
△A'B'C'即为所求作的位似图形。
【知识点】
位似图形的性质、位似图形作图、位似比的概念
【点评】
本题是基础类作图题，重点考查位似图形的作图方法，解题时只需紧扣位似的性质，明确位似比的含义，按规范步骤作图即可得分。
【难度系数】
0.8
要作出与△ABC位似比为1:2的位似图形，首先依据位似图形的性质：位似图形的对应点连线都经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。本题中位似中心为O，位似比1:2意味着新图形的对应顶点到O的距离是原图形顶点到O距离的$\frac{1}{2}$。解题思路为：第一步连接位似中心O与△ABC的三个顶点；第二步分别在OA、OB、OC上找到满足距离比为1:2的对应点，取各线段的中点即可符合要求；第三步顺次连接三个对应点，得到所求图形。
【解析】
1. 分别连接位似中心O与△ABC的顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 分别取线段OA、OB、OC的中点，依次标记为点A'、B'、C'，满足$OA':OA = OB':OB = OC':OC = 1:2$；
3. 顺次连接点A'、B'、C'，所得的△A'B'C'即为符合要求的位似图形。
【答案】
△A'B'C'即为所求作的位似图形。
【知识点】
位似图形的性质、位似图形作图、位似比的概念
【点评】
本题是基础类作图题，重点考查位似图形的作图方法，解题时只需紧扣位似的性质，明确位似比的含义，按规范步骤作图即可得分。
【难度系数】
0.8
