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1.若$x_1$和$x_2$是方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的两个根，则$x_1 + x_2 =$
3
答案
1. 3
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和公式：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，接下来只需从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式计算即可，无需解方程求出两根具体值，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
给定方程$x^2 - 3x - 1 = 0$，对应系数为：$a=1$，$b=-3$。
将系数代入公式计算得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，解题关键是准确记忆公式、正确识别方程各项系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和公式：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，接下来只需从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式计算即可，无需解方程求出两根具体值，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
给定方程$x^2 - 3x - 1 = 0$，对应系数为：$a=1$，$b=-3$。
将系数代入公式计算得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，解题关键是准确记忆公式、正确识别方程各项系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
2. 关于$x$的方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$的两个根的积为
$-2$
。答案
2. $-2$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需直接计算方程的根。首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中各项系数$a、b、c$的取值，再代入两根之积的公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系可得：两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$中，$a=2$，$c=-4$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{-4}{2}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是熟记一元二次方程两根之积与系数的对应关系，计算时注意常数项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需直接计算方程的根。首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中各项系数$a、b、c$的取值，再代入两根之积的公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系可得：两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$中，$a=2$，$c=-4$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{-4}{2}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是熟记一元二次方程两根之积与系数的对应关系，计算时注意常数项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
3.已知$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x + m = 0$的两个根，且$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3$，那么$m$的值是
$-1$
。答案
3. $-1$
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根，给出两根和与两根积的关系式求参数的问题，首先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先根据给定的一元二次方程，写出两根之和、两根之积关于参数m的表达式；第二步将这两个表达式代入题目给出的等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3$，得到关于m的一元一次方程；第三步解出m的值后，验证判别式是否大于等于0，确保方程有两个实数根，排除不符合题意的解。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$
将上述结果代入已知等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3$，可得：
$2 - m = 3$
解这个一元一次方程，移项得：$-m = 3 - 2 = 1$，即$m = -1$。
验证判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m$，当$m=-1$时，$\Delta=4+4=8＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，核心是牢记韦达定理的公式，直接代入计算即可，解题时注意求出参数后可通过判别式验证结果是否符合方程有实根的前提，避免错解。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程两根，给出两根和与两根积的关系式求参数的问题，首先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先根据给定的一元二次方程，写出两根之和、两根之积关于参数m的表达式；第二步将这两个表达式代入题目给出的等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3$，得到关于m的一元一次方程；第三步解出m的值后，验证判别式是否大于等于0，确保方程有两个实数根，排除不符合题意的解。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$
将上述结果代入已知等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3$，可得：
$2 - m = 3$
解这个一元一次方程，移项得：$-m = 3 - 2 = 1$，即$m = -1$。
验证判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m$，当$m=-1$时，$\Delta=4+4=8＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，核心是牢记韦达定理的公式，直接代入计算即可，解题时注意求出参数后可通过判别式验证结果是否符合方程有实根的前提，避免错解。
【难度系数】
0.8
4.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax - 2a = 0$两根的和为$4a - 3$，那么两根的积为
$-2$
。答案
4. $-2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先根据韦达定理写出给定方程两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和的已知条件，列方程求出参数a的值；再验证a取值下方程是否有实数根，确保根存在；最后利用韦达定理写出两根之积的表达式，代入a的值即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2 - ax - 2a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）的方程，两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
本题中$A=1$，$B=-a$，$C=-2a$，因此两根之和为：
$x_1+x_2 = -\frac{-a}{1}=a$
已知两根的和为$4a-3$，因此列方程得：
$a = 4a - 3$
移项计算得$3a=3$，解得$a=1$。
验证方程有实根：判别式$\Delta = B^2-4AC = (-a)^2 - 4×1×(-2a) = a^2+8a$，将$a=1$代入得$\Delta=1^2+8×1=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，$a=1$符合题意。
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{-2a}{1}=-2a$，代入$a=1$得：$x_1x_2=-2×1=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 解一元一次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题型，解题核心是先利用两根之和的条件求出未知参数a，再计算两根之积，需注意求出参数后要验证判别式非负，保证方程存在实数根，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先根据韦达定理写出给定方程两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和的已知条件，列方程求出参数a的值；再验证a取值下方程是否有实数根，确保根存在；最后利用韦达定理写出两根之积的表达式，代入a的值即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2 - ax - 2a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）的方程，两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
本题中$A=1$，$B=-a$，$C=-2a$，因此两根之和为：
$x_1+x_2 = -\frac{-a}{1}=a$
已知两根的和为$4a-3$，因此列方程得：
$a = 4a - 3$
移项计算得$3a=3$，解得$a=1$。
验证方程有实根：判别式$\Delta = B^2-4AC = (-a)^2 - 4×1×(-2a) = a^2+8a$，将$a=1$代入得$\Delta=1^2+8×1=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，$a=1$符合题意。
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{-2a}{1}=-2a$，代入$a=1$得：$x_1x_2=-2×1=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 解一元一次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于韦达定理的基础应用题型，解题核心是先利用两根之和的条件求出未知参数a，再计算两根之积，需注意求出参数后要验证判别式非负，保证方程存在实数根，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
5.写出有一个正根和一个负根的一元二次方程：
答案略
.答案
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有一个正根和一个负根，由根与系数的关系可得两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$，即二次项系数与常数项符号相反。
取$a=1$，$b=0$，$c=-1$，得到方程$x^2-1=0$，该方程的两根为$x_1=1$，$x_2=-1$，符合要求。
$x^2-1=0$（答案不唯一）
取$a=1$，$b=0$，$c=-1$，得到方程$x^2-1=0$，该方程的两根为$x_1=1$，$x_2=-1$，符合要求。
$x^2-1=0$（答案不唯一）
解析
【分析】
要构造符合要求的一元二次方程，可按以下思路思考：第一步，回忆一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1$、$x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合“一个正根、一个负根”的条件，可知两根乘积为负数，即$\frac{c}{a}＜0$，也就是二次项系数$a$和常数项$c$符号相反；第三步，由于$a$和$c$异号时，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$恒成立，必然存在两个不相等的实根，无需额外考虑判别式的条件；最后任意选取符合$a$、$c$异号的数值，代入即可得到满足要求的方程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有一个正根和一个负根，由根与系数的关系可得两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$，即二次项系数与常数项符号相反。
取$a=1$，$b=0$，$c=-1$，得到方程$x^2-1=0$，该方程的两根为$x_1=1$，$x_2=-1$，符合要求。（答案不唯一）
【答案】
$x^2-1=0$（答案不唯一）
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对一元二次方程根与系数关系的理解与运用，解题关键是抓住“两根异号则乘积为负”的特征，即可快速构造出符合要求的方程，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
要构造符合要求的一元二次方程，可按以下思路思考：第一步，回忆一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1$、$x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合“一个正根、一个负根”的条件，可知两根乘积为负数，即$\frac{c}{a}＜0$，也就是二次项系数$a$和常数项$c$符号相反；第三步，由于$a$和$c$异号时，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$恒成立，必然存在两个不相等的实根，无需额外考虑判别式的条件；最后任意选取符合$a$、$c$异号的数值，代入即可得到满足要求的方程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有一个正根和一个负根，由根与系数的关系可得两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$，即二次项系数与常数项符号相反。
取$a=1$，$b=0$，$c=-1$，得到方程$x^2-1=0$，该方程的两根为$x_1=1$，$x_2=-1$，符合要求。（答案不唯一）
【答案】
$x^2-1=0$（答案不唯一）
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对一元二次方程根与系数关系的理解与运用，解题关键是抓住“两根异号则乘积为负”的特征，即可快速构造出符合要求的方程，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
6.若$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x -1=0$的两个根，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=$
$-5$
.答案
6. $-5$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，可先通过通分将其变形为用两根之和、两根之积表示的形式：$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。已知$x_1,x_2$是一元二次方程的两根，不需要直接求解方程的根，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入变形后的代数式即可算出结果，比先求根再代入计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有根与系数的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -5x -1=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
因此可得：$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求代数式通分变形：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-1$代入上式得：
原式$=\frac{5}{-1}=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是先将所求代数式变形为两根和、两根积的形式，再代入韦达定理的结论计算，避免了求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85
首先观察所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，可先通过通分将其变形为用两根之和、两根之积表示的形式：$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。已知$x_1,x_2$是一元二次方程的两根，不需要直接求解方程的根，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入变形后的代数式即可算出结果，比先求根再代入计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有根与系数的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -5x -1=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
因此可得：$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求代数式通分变形：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-1$代入上式得：
原式$=\frac{5}{-1}=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是先将所求代数式变形为两根和、两根积的形式，再代入韦达定理的结论计算，避免了求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85
7.设α,β是一元二次方程$x^2 + 3x - 7 = 0$的两个根，则$α^2 + 4α + β =$
$4$
.答案
7. $4$
解析
【分析】
所求代数式$α^2 +4α +β$可拆分为$(α^2 +3α)+(α+β)$两部分：①因为$α$是方程的根，根据方程根的定义，将$x=α$代入原方程即可求得$α^2 +3α$的值；②$α+β$是方程两根之和，可直接用根与系数的关系（韦达定理）求出；最后将两部分结果相加即可得解，无需单独求解$α$、$β$的具体值。
【解析】
解：
∵$α$是一元二次方程$x^2 + 3x - 7 = 0$的根，
∴代入得$α^2 + 3α -7 = 0$，即$α^2 + 3α =7$。
又
∵$α$、$β$是该方程的两个根，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，
∴$α + β = -\frac{3}{1} = -3$。
对所求代数式变形：
$α^2 +4α +β = (α^2 +3α) + (α +β)$
将$α^2 +3α=7$、$α+β=-3$代入得：
原式$=7 + (-3) =4$。
【答案】
$4$
【知识点】
方程根的定义，韦达定理，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型综合题，解题核心是对所求代数式进行合理拆分，将未知问题转化为可直接用根的定义和韦达定理求解的形式，能有效简化计算，避免求根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
所求代数式$α^2 +4α +β$可拆分为$(α^2 +3α)+(α+β)$两部分：①因为$α$是方程的根，根据方程根的定义，将$x=α$代入原方程即可求得$α^2 +3α$的值；②$α+β$是方程两根之和，可直接用根与系数的关系（韦达定理）求出；最后将两部分结果相加即可得解，无需单独求解$α$、$β$的具体值。
【解析】
解：
∵$α$是一元二次方程$x^2 + 3x - 7 = 0$的根，
∴代入得$α^2 + 3α -7 = 0$，即$α^2 + 3α =7$。
又
∵$α$、$β$是该方程的两个根，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，
∴$α + β = -\frac{3}{1} = -3$。
对所求代数式变形：
$α^2 +4α +β = (α^2 +3α) + (α +β)$
将$α^2 +3α=7$、$α+β=-3$代入得：
原式$=7 + (-3) =4$。
【答案】
$4$
【知识点】
方程根的定义，韦达定理，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型综合题，解题核心是对所求代数式进行合理拆分，将未知问题转化为可直接用根的定义和韦达定理求解的形式，能有效简化计算，避免求根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
8.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2+8x-16=0$的两个实数根，那么$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$的值为
$-4$
。答案
8. $-4$
解析
【分析】
要求$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$的值，若直接求解一元二次方程的两个根再代入计算会比较繁琐。我们可以先对所求代数式进行变形：先通分得到$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$，再利用完全平方公式将分子转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，此时只需根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，整体代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+8x-16=0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=8$，常数项$c=-16$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{8}{2}=-4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-16}{2}=-8$。
对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=-8$代入上式：
原式$=\frac{(-4)^2-2×(-8)}{-8}=\frac{16+16}{-8}=\frac{32}{-8}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简变形
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将所求代数式合理转化为用两根之和、两根之积表示的形式，通过整体代入简化计算，避免了直接求解方程根的繁琐，是代数运算中整体思想的典型体现。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$的值，若直接求解一元二次方程的两个根再代入计算会比较繁琐。我们可以先对所求代数式进行变形：先通分得到$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$，再利用完全平方公式将分子转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，此时只需根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，整体代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+8x-16=0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=8$，常数项$c=-16$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{8}{2}=-4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-16}{2}=-8$。
对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=-8$代入上式：
原式$=\frac{(-4)^2-2×(-8)}{-8}=\frac{16+16}{-8}=\frac{32}{-8}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简变形
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将所求代数式合理转化为用两根之和、两根之积表示的形式，通过整体代入简化计算，避免了直接求解方程根的繁琐，是代数运算中整体思想的典型体现。
【难度系数】
0.7
9.已知一元二次方程$x^2 -6x +c=0$的一个根为2，则另一个根为…………【 】
A.2
B.3
C.4
D.8
A.2
B.3
C.4
D.8
答案
C
解析
【分析】
本题有两种解题思路：思路一（优先选，符合本节知识点）：利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，已知方程的系数和其中一个根，可直接计算出另一个根，计算量小；思路二：先将已知根代入原方程求出参数$c$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，逻辑直观但步骤稍多。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，在方程$x^2 -6x +c=0$中，$a=1$，$b=-6$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6$，已知一个根$x_1=2$，代入得：
$2+x_2=6$，解得$x_2=4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程得：$2^2-6×2+c=0$，
计算得$4-12+c=0$，解得$c=8$。
原方程为$x^2-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即另一个根为4。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练运用韦达定理解题可以避免求参数的步骤，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题有两种解题思路：思路一（优先选，符合本节知识点）：利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，已知方程的系数和其中一个根，可直接计算出另一个根，计算量小；思路二：先将已知根代入原方程求出参数$c$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，逻辑直观但步骤稍多。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，在方程$x^2 -6x +c=0$中，$a=1$，$b=-6$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6$，已知一个根$x_1=2$，代入得：
$2+x_2=6$，解得$x_2=4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程得：$2^2-6×2+c=0$，
计算得$4-12+c=0$，解得$c=8$。
原方程为$x^2-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即另一个根为4。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练运用韦达定理解题可以避免求参数的步骤，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
10.已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根，那么$(m - 1)(n - 1)$的值为 ………………【 】
A.2
B.0
C.$-4$
D.$-5$
A.2
B.0
C.$-4$
D.$-5$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：本题已知m、n是一元二次方程的两个实数根，要求含m、n的代数式的值，优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，避免直接求根带来的复杂计算。第一步：先将所求代数式$(m-1)(n-1)$展开整理，变形为含有两根之和$m+n$、两根之积$mn$的形式；第二步：根据给定的一元二次方程，利用韦达定理求出$m+n$和$mn$的值；第三步：将所求的值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，则两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 - 3x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-2$，
∴$m+n=3$，$mn=-2$。
将$(m-1)(n-1)$展开得：
$(m-1)(n-1)=mn - m - n + 1 = mn - (m+n) + 1$，
把$m+n=3$，$mn=-2$代入上式得：
原式$=-2 - 3 + 1 = -4$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式，通过整体代入计算即可，无需解出方程的根，能有效简化计算，需注意韦达定理的符号规则和代数式变形时的符号问题。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题已知m、n是一元二次方程的两个实数根，要求含m、n的代数式的值，优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，避免直接求根带来的复杂计算。第一步：先将所求代数式$(m-1)(n-1)$展开整理，变形为含有两根之和$m+n$、两根之积$mn$的形式；第二步：根据给定的一元二次方程，利用韦达定理求出$m+n$和$mn$的值；第三步：将所求的值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，则两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 - 3x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-2$，
∴$m+n=3$，$mn=-2$。
将$(m-1)(n-1)$展开得：
$(m-1)(n-1)=mn - m - n + 1 = mn - (m+n) + 1$，
把$m+n=3$，$mn=-2$代入上式得：
原式$=-2 - 3 + 1 = -4$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式，通过整体代入计算即可，无需解出方程的根，能有效简化计算，需注意韦达定理的符号规则和代数式变形时的符号问题。
【难度系数】
0.7
11.若$m,n$是方程$x^2 -2x -1=0$的两个根，则$m^2 -m +n$的值为…………【 】
A.－1
B.1
C.2
D.3
A.－1
B.1
C.2
D.3
答案
D
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，利用一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程，得到m²与m的等量关系，对所求代数式m² -m +n进行降次化简；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和m+n的值，代入化简后的式子即可计算出结果。
【解析】
∵m是方程$x^2 -2x -1=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 -2m -1=0$，即$m^2=2m+1$。
将$m^2=2m+1$代入$m^2 -m +n$得：
原式$=2m+1 -m +n = m +n +1$。
又
∵m、n是方程$x^2 -2x -1=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=\frac{2}{1}=2$。
∴原式$=2+1=3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程相关的常见题型，核心解题技巧是通过根的定义对高次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，无需直接求解方程的根，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，利用一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程，得到m²与m的等量关系，对所求代数式m² -m +n进行降次化简；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和m+n的值，代入化简后的式子即可计算出结果。
【解析】
∵m是方程$x^2 -2x -1=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 -2m -1=0$，即$m^2=2m+1$。
将$m^2=2m+1$代入$m^2 -m +n$得：
原式$=2m+1 -m +n = m +n +1$。
又
∵m、n是方程$x^2 -2x -1=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=\frac{2}{1}=2$。
∴原式$=2+1=3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程相关的常见题型，核心解题技巧是通过根的定义对高次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，无需直接求解方程的根，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
12.若关于$x$的一元二次方程的两根为$x_1=1,x_2=2$,则这个方程是 ……【 】
A.$x^2 + 3x - 2 = 0$
B.$x^2 - 3x + 2 = 0$
C.$x^2 - 2x + 3 = 0$
D.$x^2 + 3x + 2 = 0$
A.$x^2 + 3x - 2 = 0$
B.$x^2 - 3x + 2 = 0$
C.$x^2 - 2x + 3 = 0$
D.$x^2 + 3x + 2 = 0$
答案
B
解析
【分析】
这道题已知一元二次方程的两个根，要求匹配对应的方程，有两种符合学段要求的解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，先计算两根的和与积，即可直接写出方程再匹配选项，计算更快捷；思路二：利用方程根的定义，把两根分别代入各个选项验证，能让方程左右两边都相等的即为正确选项，准确率更高。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$。
已知$x_1=1$，$x_2=2$，计算得：
$x_1+x_2=1+2=3$，$x_1x_2=1×2=2$
代入公式得方程为$x^2-3x+2=0$，对应选项B。
方法二（代入验证法）：
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将$x=1$依次代入选项：
A选项：$1^2+3×1-2=2≠0$，排除；
B选项：$1^2-3×1+2=0$，符合要求，再代入$x=2$验证：$2^2-3×2+2=0$，两个根均满足方程，故B正确；
C选项：$1^2-2×1+3=2≠0$，排除；
D选项：$1^2+3×1+2=6≠0$，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，解题方法灵活，既可以用韦达定理快速构造方程，也可以通过代入验证得出结果，重点考查对基础知识点的掌握和应用能力，解题时可选择自己熟悉的方法作答。
【难度系数】
0.9
这道题已知一元二次方程的两个根，要求匹配对应的方程，有两种符合学段要求的解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，先计算两根的和与积，即可直接写出方程再匹配选项，计算更快捷；思路二：利用方程根的定义，把两根分别代入各个选项验证，能让方程左右两边都相等的即为正确选项，准确率更高。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$。
已知$x_1=1$，$x_2=2$，计算得：
$x_1+x_2=1+2=3$，$x_1x_2=1×2=2$
代入公式得方程为$x^2-3x+2=0$，对应选项B。
方法二（代入验证法）：
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将$x=1$依次代入选项：
A选项：$1^2+3×1-2=2≠0$，排除；
B选项：$1^2-3×1+2=0$，符合要求，再代入$x=2$验证：$2^2-3×2+2=0$，两个根均满足方程，故B正确；
C选项：$1^2-2×1+3=2≠0$，排除；
D选项：$1^2+3×1+2=6≠0$，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，解题方法灵活，既可以用韦达定理快速构造方程，也可以通过代入验证得出结果，重点考查对基础知识点的掌握和应用能力，解题时可选择自己熟悉的方法作答。
【难度系数】
0.9
13.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 2x + 1 - 3m = 0$的两个实数根，且$x_1,x_2$满足不等式$x_1x_2 + 4(x_1 + x_2) ＞ 0$，则实数$m$的取值范围是…………【 】
A.$m ＜ -1$
B.$m ＜ 3$
C.$\frac{1}{6} ≤ m ＜ 3$
D.$m ≥ \frac{1}{6}$
A.$m ＜ -1$
B.$m ＜ 3$
C.$\frac{1}{6} ≤ m ＜ 3$
D.$m ≥ \frac{1}{6}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式$\Delta ≥ 0$，这是容易遗漏的关键条件；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式；第三步，将表达式代入已知不等式求解，最后取判别式和不等式解集的交集，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵一元二次方程$2x^2 - 2x + 1 - 3m = 0$有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
代入$a=2,b=-2,c=1-3m$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(1-3m) = 24m - 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{1}{6}$ ---①
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2}{2}=1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1-3m}{2}$
将上述结果代入不等式$x_1x_2 + 4(x_1+x_2) ＞ 0$：
$\frac{1-3m}{2} + 4×1 ＞ 0$
两边同乘2去分母得：$1-3m +8 ＞ 0$
整理得：$9＞3m$，解得$m ＜ 3$ ---②
综合①②可得，$m$的取值范围是$\frac{1}{6} ≤ m ＜ 3$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根与系数的关系 3.解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，核心易错点是遗漏“方程有实根则判别式非负”的前提条件，若忽略该条件会误选B选项。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步思考：第一步，一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式$\Delta ≥ 0$，这是容易遗漏的关键条件；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式；第三步，将表达式代入已知不等式求解，最后取判别式和不等式解集的交集，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵一元二次方程$2x^2 - 2x + 1 - 3m = 0$有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
代入$a=2,b=-2,c=1-3m$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(1-3m) = 24m - 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{1}{6}$ ---①
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2}{2}=1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1-3m}{2}$
将上述结果代入不等式$x_1x_2 + 4(x_1+x_2) ＞ 0$：
$\frac{1-3m}{2} + 4×1 ＞ 0$
两边同乘2去分母得：$1-3m +8 ＞ 0$
整理得：$9＞3m$，解得$m ＜ 3$ ---②
综合①②可得，$m$的取值范围是$\frac{1}{6} ≤ m ＜ 3$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根与系数的关系 3.解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，核心易错点是遗漏“方程有实根则判别式非负”的前提条件，若忽略该条件会误选B选项。
【难度系数】
0.6
14.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + a - 1 = 0$的两个实数根为$x_1$和$x_2$，且$x_1^2 + x_1x_2 = -4$，则$a$的值是…………【 】
A.1
B.$-2$
C.$2$
D.$-7$
A.1
B.$-2$
C.$2$
D.$-7$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$x_1+x_2$的值；第二步，对已知等式$x_1^2+x_1x_2$因式分解，将求得的两根之和代入，即可算出其中一个根$x_1$的值；第三步，把$x_1$代入原方程就能求出$a$的值，最后可通过判别式验证结果是否符合方程有两个实根的前提条件。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + a - 1 = 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a-1$：
1. 由韦达定理得两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$；
2. 对已知等式$x_1^2 + x_1x_2 = -4$左边因式分解，可得：$x_1(x_1 + x_2) = -4$；
3. 将$x_1+x_2=-2$代入上式：$x_1 × (-2) = -4$，解得$x_1=2$；
4. 把$x_1=2$代入原方程：$2^2 + 2× 2 + a -1 = 0$，计算得$4+4+a-1=0$，解得$a=-7$；
5. 验证判别式：$\Delta=2^2 -4×1×(a-1)=8-4a$，当$a=-7$时，$\Delta=36＞0$，符合方程有两个实数根的条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是对已知等式合理变形，结合根与系数的关系快速求出方程的一个根，代入计算即可得到参数值，解题时注意验证判别式保证结果符合题意。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$x_1+x_2$的值；第二步，对已知等式$x_1^2+x_1x_2$因式分解，将求得的两根之和代入，即可算出其中一个根$x_1$的值；第三步，把$x_1$代入原方程就能求出$a$的值，最后可通过判别式验证结果是否符合方程有两个实根的前提条件。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + a - 1 = 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a-1$：
1. 由韦达定理得两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$；
2. 对已知等式$x_1^2 + x_1x_2 = -4$左边因式分解，可得：$x_1(x_1 + x_2) = -4$；
3. 将$x_1+x_2=-2$代入上式：$x_1 × (-2) = -4$，解得$x_1=2$；
4. 把$x_1=2$代入原方程：$2^2 + 2× 2 + a -1 = 0$，计算得$4+4+a-1=0$，解得$a=-7$；
5. 验证判别式：$\Delta=2^2 -4×1×(a-1)=8-4a$，当$a=-7$时，$\Delta=36＞0$，符合方程有两个实数根的条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是对已知等式合理变形，结合根与系数的关系快速求出方程的一个根，代入计算即可得到参数值，解题时注意验证判别式保证结果符合题意。
【难度系数】
0.7
15.在等腰$△ ABC$中，$BC = 8$，$AB$，$AC$的长是关于$x$的方程$x^2 - 10x + m = 0$的两个根，则$m$的值为………………【 】
A.16
B.25
C.16或25
D.25或36
A.16
B.25
C.16或25
D.25或36
答案
C
解析
【分析】
本题是等腰三角形性质与一元二次方程结合的综合题，需分类讨论求解：①首先考虑BC为等腰三角形底边的情况，此时AB=AC，说明一元二次方程有两个相等的实数根，可通过根的判别式求出m的值，再验证三边是否满足三角形构成条件；②再考虑BC为等腰三角形腰的情况，此时AB或AC的长等于8，即x=8是方程的根，代入方程可求出m的值，再验证所得三边是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若BC为等腰$△ ABC$的底边，则$AB=AC$，即方程$x^2 - 10x + m = 0$有两个相等的实数根：
根的判别式$\Delta = (-10)^2 - 4m = 0$，解得$m=25$。
此时方程为$x^2 - 10x +25=0$，解得$x_1=x_2=5$，三角形三边长为5、5、8，满足三角形三边关系，符合题意。
2. 若BC为等腰$△ ABC$的腰，则$AB=8$或$AC=8$，即$x=8$是方程$x^2 -10x +m=0$的一个根：
将$x=8$代入方程得：$8^2 - 10×8 +m=0$，解得$m=16$。
此时方程为$x^2 -10x +16=0$，解得$x_1=2$，$x_2=8$，三角形三边长为8、8、2，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，m的值为16或25。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、一元二次方程根的定义、三角形三边关系
【点评】
本题考查几何与代数的综合应用，解题的关键是对等腰三角形的边长进行分类讨论，避免漏解，同时求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形性质与一元二次方程结合的综合题，需分类讨论求解：①首先考虑BC为等腰三角形底边的情况，此时AB=AC，说明一元二次方程有两个相等的实数根，可通过根的判别式求出m的值，再验证三边是否满足三角形构成条件；②再考虑BC为等腰三角形腰的情况，此时AB或AC的长等于8，即x=8是方程的根，代入方程可求出m的值，再验证所得三边是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若BC为等腰$△ ABC$的底边，则$AB=AC$，即方程$x^2 - 10x + m = 0$有两个相等的实数根：
根的判别式$\Delta = (-10)^2 - 4m = 0$，解得$m=25$。
此时方程为$x^2 - 10x +25=0$，解得$x_1=x_2=5$，三角形三边长为5、5、8，满足三角形三边关系，符合题意。
2. 若BC为等腰$△ ABC$的腰，则$AB=8$或$AC=8$，即$x=8$是方程$x^2 -10x +m=0$的一个根：
将$x=8$代入方程得：$8^2 - 10×8 +m=0$，解得$m=16$。
此时方程为$x^2 -10x +16=0$，解得$x_1=2$，$x_2=8$，三角形三边长为8、8、2，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，m的值为16或25。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、一元二次方程根的定义、三角形三边关系
【点评】
本题考查几何与代数的综合应用，解题的关键是对等腰三角形的边长进行分类讨论，避免漏解，同时求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【难度系数】
0.6
