20.已知关于$x$的方程$x^2 -2x +k -1=0$有两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围.
（2）若$x=k+1$是方程$x^2 -2x +k -1=4$的一个解，求$k$的值.

20. 解:(1)$\because$ 方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(k - 1) ＞ 0$. 解这个不等式,得 $k ＜ 2$, 即 $k$ 的取值范围是 $k ＜ 2$. (2)$\because x = k + 1$ 是方程的一个解，$\therefore (k + 1)^2 - 2(k + 1) + k - 1 = 4$. 即 $k^2 + k - 6 = 0$. 解这个方程,得 $k_1 = -3,k_2 = 2$. 由(1)知 $k ＜ 2$,可得 $k$ 的值为 $-3$.

【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，先确定题中方程对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）根据方程的解的定义，将$x=k+1$代入给定方程可得到关于$k$的一元二次方程，求解后结合（1）中$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到$k$的最终值。
【解析】
（1）$\because$ 方程$x^2 -2x +k -1=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(k - 1) ＞ 0$，
整理得$8-4k＞0$，
解这个不等式，得 $k ＜ 2$，
即$k$的取值范围是$k ＜ 2$。
（2）$\because x = k + 1$是方程$x^2 -2x +k -1=4$的一个解，
$\therefore$ 代入得$(k + 1)^2 - 2(k + 1) + k - 1 = 4$，
整理得$k^2 + k - 6 = 0$，
因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，
解这个方程，得 $k_1 = -3,k_2 = 2$，
由（1）知$k ＜ 2$，故$k=2$不符合条件，舍去，
$\therefore k$的值为$-3$。
【答案】
（1）$k ＜ 2$；（2）$k=-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解的定义
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时要注意条件的关联性，第二问求解后需结合第一问的取值范围筛选解，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

21.已知a,b,c是$△ ABC$的三边，且$a=4,c=4\sqrt{2}$，若方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状。

21. 提示:由方程有两个相等的实数根,得 $\Delta = (-4)^2 - 4b = 0$, 即 $b = 4$. $\because a = b = 4$,且 $a^2 + b^2 = 32 = c^2$, $\therefore △ ABC$ 为等腰直角三角形.

【分析】
解题可按两步思路推导：第一步，看到一元二次方程有两个相等的实数根，立刻联想到根的判别式$\Delta=0$的性质，通过列等式即可求出未知边$b$的长度；第二步，得到三角形三边长度后，先判断是否存在等边长确定是否为等腰三角形，再通过勾股定理的逆定理验证是否满足直角三角形的边长关系，最终结合两个结论判断三角形形状。
【解析】
解：$\because$方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，
$\therefore$根的判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1× b = 0$，
即$16-4b=0$，解得$b=4$。
已知$a=4$，$c=4\sqrt{2}$，
$\therefore a=b=4$，可得$△ ABC$是等腰三角形，
又$\because a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，$c^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，满足勾股定理的逆定理，即$△ ABC$是直角三角形。
综上，$△ ABC$为等腰直角三角形。
【答案】
$△ ABC$为等腰直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形判定；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质和三角形形状判定结合考查，难度较低，需要学生熟练掌握核心基础知识点，并能将不同模块的知识关联运用。
【难度系数】
0.8

22.已知关于$x$的一元二次方程：
$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0.$
（1）求证：无论$k$取任何值，这个方程总有实数根.
（2）若等腰$△ ABC$的一边$a = 4$，另两边$b,c$恰好是这个方程的两个根，求$△ ABC$的周长.

22. 提示:(1)$\Delta = 4k^2 - 12k + 9 = (2k - 3)^2 ≥ 0$, $\therefore$ 无论 $k$ 取何值,这个方程总有实数根. (2)① 若 $a$ 为底边,则 $b = c$,$\Delta = 0$,即 $k = \frac{3}{2}$. 方程为 $x^2 - 4x + 4 = 0$. 解得 $x_1 = x_2 = 2$. 由于 $b + c = a$,不合题意,舍去. ② 若 $a$ 为腰,即 $a = b = 4$,或 $a = c = 4$, 把 $x = 4$ 代入方程得 $k = \frac{5}{2}$,方程为 $x^2 - 6x + 8 = 0$. 解得 $x_1 = 4,x_2 = 2$. $\therefore △ ABC$ 的周长是 $4 + 4 + 2 = 10$.

【分析】
（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需验证根的判别式Δ恒大于等于0即可：先根据方程的系数写出Δ的表达式，再化简判断其符号。（2）涉及等腰三角形边长的问题需分类讨论：①若a=4为底边，则b=c，即方程有两个相等实根，令Δ=0求出k值，再解方程得到b、c的长度，最后用三角形三边关系验证是否能构成三角形；②若a=4为腰，则b或c等于4，即x=4是方程的根，代入方程求出k值，再解方程得到第三边长度，验证三边关系后计算周长。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$，
其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=4(k-\frac{1}{2})$，
根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&= [-(2k+1)]^2 - 4×1×4(k-\frac{1}{2}) \\&=4k^2+4k+1 - 16k + 8 \\&=4k^2-12k+9 \\&=(2k-3)^2\end{aligned}$
∵ 无论k取何值，$(2k-3)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论k取任何值，这个方程总有实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
① 若$a=4$为等腰$△ ABC$的底边，则$b=c$，即方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(2k-3)^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$，
此时方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x_1=x_2=2$，
即$b=c=2$，
∵ $b+c=2+2=4=a$，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去；
② 若$a=4$为等腰$△ ABC$的腰，则$b=4$或$c=4$，即$x=4$是方程的根，
将$x=4$代入方程得：$4^2 - 4(2k+1) + 4(k-\frac{1}{2})=0$，
化简得：$16 - 8k -4 +4k -2=0$，解得$k=\frac{5}{2}$，
此时方程为$x^2 -6x +8=0$，解得$x_1=4$，$x_2=2$，
即三角形三边长为4，4，2，满足三角形三边关系，
∴ $△ ABC$的周长为$4+4+2=10$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$△ ABC$的周长为10
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合应用题，重点考查分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的已知边进行腰和底的分类讨论，同时求出边长后要验证是否符合三角形三边关系，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7