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15.关于$x$的一元二次方程$(1 - 2k)x^2 - 2\sqrt{k}x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。
答案
15. 提示:$\Delta = -4k + 4$. 要使方程有两个不相等的实数根,须使$-4k + 4 ＞ 0$,且$1 - 2k ≠ 0$, $\therefore k ＜ 1$且$k ≠ \frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解决本题需要紧扣两个关键条件：① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一次方程，不可能存在两个实数根；② 方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。解题时先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式计算Δ，再分别求解对应不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(1 - 2k)x^2 - 2\sqrt{k}x - 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$1-2k≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=1-2k$，$b=-2\sqrt{k}$，$c=-1$
代入得：
$\Delta=(-2\sqrt{k})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4k + 4(1-2k)$
$=4k+4-8k$
$=-4k+4$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta＞0$，即$-4k+4＞0$
移项化简得：$4k＜4$，解得$k＜1$
综上，k的取值范围是$k＜1$且$k≠\frac{1}{2}$
【答案】
$k＜1$且$k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，易错点是忽略一元二次方程的前提，漏写二次项系数不为0的限制条件，解题时需注意审题，充分挖掘题目隐含的限制要求。
【难度系数】
0.7
解决本题需要紧扣两个关键条件：① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一次方程，不可能存在两个实数根；② 方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。解题时先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式计算Δ，再分别求解对应不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(1 - 2k)x^2 - 2\sqrt{k}x - 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$1-2k≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=1-2k$，$b=-2\sqrt{k}$，$c=-1$
代入得：
$\Delta=(-2\sqrt{k})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4k + 4(1-2k)$
$=4k+4-8k$
$=-4k+4$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta＞0$，即$-4k+4＞0$
移项化简得：$4k＜4$，解得$k＜1$
综上，k的取值范围是$k＜1$且$k≠\frac{1}{2}$
【答案】
$k＜1$且$k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，易错点是忽略一元二次方程的前提，漏写二次项系数不为0的限制条件，解题时需注意审题，充分挖掘题目隐含的限制要求。
【难度系数】
0.7
16.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (4m + 1)x + 2m - 1 = 0$.求证:无论$m$为任何实数,方程总有两个不相等的实数根.
答案
16. 提示:$\Delta = 16m^2 + 5 ＞ 0$, 所以无论$m$为任何实数,方程总有两个不等实数根.
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需判断根的判别式Δ的符号即可：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。首先找出本题方程中对应的a、b、c的值，代入Δ=b²-4ac的公式计算并化简，再结合非负数的性质判断Δ恒大于0，即可完成证明。
【解析】
证明：已知方程是关于x的一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4m+1$，常数项$c=2m-1$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&=(4m+1)^2 - 4×1×(2m-1) \\&=16m^2+8m+1 - 8m +4 \\&=16m^2+5\end{aligned}$
∵ 无论m取任何实数，都有$m^2≥0$，
∴ $16m^2≥0$，则$16m^2+5≥5＞0$，即$\Delta＞0$恒成立。
∴ 无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
无论m为任何实数，方程$x^2 + (4m + 1)x + 2m - 1 = 0$总有两个不相等的实数根，命题得证。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
3. 非负数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，核心是掌握判别式的取值与方程根的个数的对应关系，解题时需正确代入系数计算判别式，结合非负数的性质判断判别式的符号即可，属于根的判别式板块的常规考点。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需判断根的判别式Δ的符号即可：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。首先找出本题方程中对应的a、b、c的值，代入Δ=b²-4ac的公式计算并化简，再结合非负数的性质判断Δ恒大于0，即可完成证明。
【解析】
证明：已知方程是关于x的一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4m+1$，常数项$c=2m-1$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&=(4m+1)^2 - 4×1×(2m-1) \\&=16m^2+8m+1 - 8m +4 \\&=16m^2+5\end{aligned}$
∵ 无论m取任何实数，都有$m^2≥0$，
∴ $16m^2≥0$，则$16m^2+5≥5＞0$，即$\Delta＞0$恒成立。
∴ 无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
无论m为任何实数，方程$x^2 + (4m + 1)x + 2m - 1 = 0$总有两个不相等的实数根，命题得证。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方公式
3. 非负数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，核心是掌握判别式的取值与方程根的个数的对应关系，解题时需正确代入系数计算判别式，结合非负数的性质判断判别式的符号即可，属于根的判别式板块的常规考点。
【难度系数】
0.8
17.关于$x$的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，且$m$为正整数，求$m$的值及此时方程的根。
答案
17. 提示:$\Delta = 4 - 4(2m - 1) ≥ 0$, 解这个不等式,得$m≤ 1$. 由$m$为正整数可得$m = 1$. 此时方程为$x^2 - 2x + 1 = 0$. 解这个方程,得$x_1 = x_2 = 1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，方程有实根则判别式Δ≥0，由此可以建立关于m的不等式，求出m的取值范围；第二步，结合m是正整数的限制条件，筛选出符合要求的m的值；第三步，将求出的m值代入原方程，解一元二次方程即可得到对应的根。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1,b=-2,c=2m-1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (2m - 1) ≥ 0$
化简不等式：
$4 - 4(2m - 1) ≥ 0$
两边同时除以4得：$1 - (2m - 1) ≥ 0$
去括号：$1 - 2m + 1 ≥ 0$
合并同类项：$2 - 2m ≥ 0$
解得：$m ≤ 1$
又
∵ m为正整数
∴ m = 1
将$m=1$代入原方程得：$x^2 - 2x + 2×1 - 1 = 0$，即$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解得：$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$
【答案】
$m$的值为1，此时方程的根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次不等式解法
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，既考查了根的判别式与方程实根个数的对应关系，也结合了整数限定条件考查参数求解，难度不大，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，方程有实根则判别式Δ≥0，由此可以建立关于m的不等式，求出m的取值范围；第二步，结合m是正整数的限制条件，筛选出符合要求的m的值；第三步，将求出的m值代入原方程，解一元二次方程即可得到对应的根。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1,b=-2,c=2m-1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (2m - 1) ≥ 0$
化简不等式：
$4 - 4(2m - 1) ≥ 0$
两边同时除以4得：$1 - (2m - 1) ≥ 0$
去括号：$1 - 2m + 1 ≥ 0$
合并同类项：$2 - 2m ≥ 0$
解得：$m ≤ 1$
又
∵ m为正整数
∴ m = 1
将$m=1$代入原方程得：$x^2 - 2x + 2×1 - 1 = 0$，即$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解得：$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$
【答案】
$m$的值为1，此时方程的根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次不等式解法
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，既考查了根的判别式与方程实根个数的对应关系，也结合了整数限定条件考查参数求解，难度不大，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
18.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 2k - 4 = 0$有两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围.
（2）若$k$为正整数，求方程的根.
（1）求$k$的取值范围.
（2）若$k$为正整数，求方程的根.
答案
18. 提示:(1)$\Delta = -8k + 20 ＞ 0$,即$k ＜ \frac{5}{2}$. (2)由$k$为正整数得$k$取1,2. 当$k = 1$时,方程为$x^2 + 2x - 2 = 0$, 解这个方程,得$x_1 = -1+\sqrt{3},x_2 = -1-\sqrt{3}$. 当$k = 2$时,方程为$x^2 + 2x = 0$, 解这个方程,得$x_3 = 0,x_4 = -2$.
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此先确定方程各项系数，代入判别式公式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）结合第一问得到的k的取值范围，筛选出符合正整数条件的k值，再将k的值分别代入原方程，选用合适的方法求解一元二次方程即可得到对应方程的根。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 + 2x + 2k - 4 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=2k-4$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(2k-4) ＞ 0$
计算得：$4 - 8k + 16 ＞ 0$
合并同类项得：$20 - 8k ＞ 0$
移项得：$8k ＜ 20$
两边同时除以8得：$k ＜ \frac{5}{2}$
（2）因为k为正整数，且$k ＜ \frac{5}{2}$，所以k可取的值为1、2。
①当$k=1$时，原方程为$x^2 + 2x - 2 = 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$
即根为$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
②当$k=2$时，原方程为$x^2 + 2x = 0$，
因式分解得$x(x+2)=0$，
解得$x_3=0$，$x_4=-2$。
【答案】
（1）$k ＜ \frac{5}{2}$；
（2）当$k=1$时，方程的根为$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$；当$k=2$时，方程的根为$x_3=0$，$x_4=-2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心是根的判别式的应用，解题时要注意参数的取值限制，代入求解方程时计算要准确，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此先确定方程各项系数，代入判别式公式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）结合第一问得到的k的取值范围，筛选出符合正整数条件的k值，再将k的值分别代入原方程，选用合适的方法求解一元二次方程即可得到对应方程的根。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 + 2x + 2k - 4 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=2k-4$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(2k-4) ＞ 0$
计算得：$4 - 8k + 16 ＞ 0$
合并同类项得：$20 - 8k ＞ 0$
移项得：$8k ＜ 20$
两边同时除以8得：$k ＜ \frac{5}{2}$
（2）因为k为正整数，且$k ＜ \frac{5}{2}$，所以k可取的值为1、2。
①当$k=1$时，原方程为$x^2 + 2x - 2 = 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$
即根为$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
②当$k=2$时，原方程为$x^2 + 2x = 0$，
因式分解得$x(x+2)=0$，
解得$x_3=0$，$x_4=-2$。
【答案】
（1）$k ＜ \frac{5}{2}$；
（2）当$k=1$时，方程的根为$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$；当$k=2$时，方程的根为$x_3=0$，$x_4=-2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心是根的判别式的应用，解题时要注意参数的取值限制，代入求解方程时计算要准确，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
19.已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$.
（1）当$b = a + 2$时，利用根的判别式判断方程根的情况.
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的$a$，$b$的值，并求此时方程的根.
（1）当$b = a + 2$时，利用根的判别式判断方程根的情况.
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的$a$，$b$的值，并求此时方程的根.
答案
19. 解:(1) 根据题意得 $a ≠ 0$,于是有 $\Delta = b^2 - 4a = (a + 2)^2 - 4a = a^2 + 4 ＞ 0$. $\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. (2) 由方程有两个相等的实数根可得 $\Delta = b^2 - 4a = 0$, 可取 $b = 2,a = 1$,则方程为 $x^2 + 2x + 1 = 0$, 解这个方程,得 $x_1 = x_2 = -1$.
解析
【分析】
（1）首先明确一元二次方程的二次项系数不为0，即$a≠0$；再根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，本题中常数项$c=1$，因此$\Delta = b^2-4a$，将$b=a+2$代入判别式化简，通过判断$\Delta$的正负即可确定方程根的情况。
（2）方程有两个相等的实数根说明判别式$\Delta=0$，即$b^2=4a$，且$a≠0$，任选一组满足该等式的$a、b$值，代入原方程求解即可。
【解析】
（1）$\because$ 方程$ax^2+bx+1=0$是一元二次方程，$\therefore a≠0$。
根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$c=1$，因此$\Delta = b^2-4a$，
将$b=a+2$代入得：
$\Delta = (a+2)^2 - 4a = a^2+4a+4-4a = a^2+4$，
$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
（2）$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = b^2-4a = 0$，即$b^2=4a$（$a≠0$），
可取$a=1$，$b=2$（取值不唯一，满足$b^2=4a$且$a≠0$即可），
此时原方程为$x^2+2x+1=0$，
配方得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）示例：$a=1$，$b=2$，此时方程的根为$x_1=x_2=-1$（答案不唯一）。
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问为开放性问题，只要满足判别式等于0即可，侧重对基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确一元二次方程的二次项系数不为0，即$a≠0$；再根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，本题中常数项$c=1$，因此$\Delta = b^2-4a$，将$b=a+2$代入判别式化简，通过判断$\Delta$的正负即可确定方程根的情况。
（2）方程有两个相等的实数根说明判别式$\Delta=0$，即$b^2=4a$，且$a≠0$，任选一组满足该等式的$a、b$值，代入原方程求解即可。
【解析】
（1）$\because$ 方程$ax^2+bx+1=0$是一元二次方程，$\therefore a≠0$。
根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$c=1$，因此$\Delta = b^2-4a$，
将$b=a+2$代入得：
$\Delta = (a+2)^2 - 4a = a^2+4a+4-4a = a^2+4$，
$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
（2）$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = b^2-4a = 0$，即$b^2=4a$（$a≠0$），
可取$a=1$，$b=2$（取值不唯一，满足$b^2=4a$且$a≠0$即可），
此时原方程为$x^2+2x+1=0$，
配方得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）示例：$a=1$，$b=2$，此时方程的根为$x_1=x_2=-1$（答案不唯一）。
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问为开放性问题，只要满足判别式等于0即可，侧重对基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
