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16.若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的两个实数根，求$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$的值。
答案
16. 提示:由根与系数的关系,得
$x_1 + x_2 = 2,\ x_1x_2 = -2.$
$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2(x_1 + x_2)}{x_1x_2}=\frac{2× 2}{-2}=-2.$
$x_1 + x_2 = 2,\ x_1x_2 = -2.$
$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2(x_1 + x_2)}{x_1x_2}=\frac{2× 2}{-2}=-2.$
解析
【分析】
遇到求一元二次方程两根的代数式值的问题时，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）简化计算，避免直接求根带来的复杂运算。解题思路分两步：第一步先将所求的分式代数式通分，变形为仅含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式；第二步根据给定的一元二次方程，用韦达定理求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的两个实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-2$
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2$
对所求代数式通分化简：
$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2x_2 + 2x_1}{x_1x_2}=\frac{2(x_1 + x_2)}{x_1x_2}$
将$x_1 + x_2=2$，$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$=\frac{2×2}{-2}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式的变形方法，无需解出方程的具体根即可快速计算结果，能有效降低运算量、提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
遇到求一元二次方程两根的代数式值的问题时，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）简化计算，避免直接求根带来的复杂运算。解题思路分两步：第一步先将所求的分式代数式通分，变形为仅含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式；第二步根据给定的一元二次方程，用韦达定理求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的两个实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-2$
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2$
对所求代数式通分化简：
$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2x_2 + 2x_1}{x_1x_2}=\frac{2(x_1 + x_2)}{x_1x_2}$
将$x_1 + x_2=2$，$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$=\frac{2×2}{-2}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式的变形方法，无需解出方程的具体根即可快速计算结果，能有效降低运算量、提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
17. 关于$ x $的方程$ x^2 + 4x + a = 0 $有两个实数根$ x_1, x_2 $，且$ 2x_1 - x_2 = 7 $，求实数$ a $的值。
答案
17. 提示:由根与系数的关系,得
$x_1 + x_2 = -4,\ x_1x_2 = a.$
可得 $\begin{cases}2x_1 - x_2 = 7,\\x_1 + x_2 = -4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1 = 1,\\x_2 = -5.\end{cases}$
所以 $a = x_1x_2 = -5.$
$x_1 + x_2 = -4,\ x_1x_2 = a.$
可得 $\begin{cases}2x_1 - x_2 = 7,\\x_1 + x_2 = -4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1 = 1,\\x_2 = -5.\end{cases}$
所以 $a = x_1x_2 = -5.$
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个实数根，可先利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和$x_1+x_2=-4$、两根之积$x_1x_2=a$；再结合题目给出的$2x_1-x_2=7$，将两个关于$x_1$、$x_2$的关系式联立为二元一次方程组，解出两个根的取值，最后代入两根之积的表达式即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + 4x + a = 0$有两个实数根$x_1, x_2$
∴ 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -4$，$x_1x_2 = a$
结合已知条件$2x_1 - x_2 = 7$，联立得到方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = -4 \\2x_1 - x_2 = 7 \end{cases}$
将两个方程左右两边相加，得$3x_1=3$，解得$x_1=1$
把$x_1=1$代入$x_1 + x_2 = -4$，得$1 + x_2 = -4$，解得$x_2=-5$
∴ $a = x_1x_2 = 1×(-5) = -5$
【答案】
$a=-5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握韦达定理的内容，通过联立方程求出两根后代入计算即可，解题时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
已知一元二次方程有两个实数根，可先利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和$x_1+x_2=-4$、两根之积$x_1x_2=a$；再结合题目给出的$2x_1-x_2=7$，将两个关于$x_1$、$x_2$的关系式联立为二元一次方程组，解出两个根的取值，最后代入两根之积的表达式即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + 4x + a = 0$有两个实数根$x_1, x_2$
∴ 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -4$，$x_1x_2 = a$
结合已知条件$2x_1 - x_2 = 7$，联立得到方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = -4 \\2x_1 - x_2 = 7 \end{cases}$
将两个方程左右两边相加，得$3x_1=3$，解得$x_1=1$
把$x_1=1$代入$x_1 + x_2 = -4$，得$1 + x_2 = -4$，解得$x_2=-5$
∴ $a = x_1x_2 = 1×(-5) = -5$
【答案】
$a=-5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握韦达定理的内容，通过联立方程求出两根后代入计算即可，解题时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
18. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + (2k + 1)x + k^2 + k - 2 = 0 $。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）已知方程的两个实数根分别为$ x_1 $，$ x_2 $，且$ x_1 = 2x_2 $，求$ k $的值。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）已知方程的两个实数根分别为$ x_1 $，$ x_2 $，且$ x_1 = 2x_2 $，求$ k $的值。
答案
18. 提示:(1)$\Delta = (2k + 1)^2 - 4× 1× (k^2 + k - 2)$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k + 8 = 9 ＞ 0,$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) 由根与系数的关系,得
$x_1 + x_2 = -(2k + 1),\ x_1x_2 = k^2 + k - 2.$
由 $x_1 = 2x_2$ 可得
$x_2 = -\frac{2k + 1}{3},\ x_2^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}.$
$\therefore (-\frac{2k + 1}{3})^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}.$
整理,得 $k^2 + k - 20 = 0.$
解这个方程,得 $k = 4$ 或 $k = -5.$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k + 8 = 9 ＞ 0,$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) 由根与系数的关系,得
$x_1 + x_2 = -(2k + 1),\ x_1x_2 = k^2 + k - 2.$
由 $x_1 = 2x_2$ 可得
$x_2 = -\frac{2k + 1}{3},\ x_2^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}.$
$\therefore (-\frac{2k + 1}{3})^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}.$
整理,得 $k^2 + k - 20 = 0.$
解这个方程,得 $k = 4$ 或 $k = -5.$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心方法是计算根的判别式$\Delta$，若$\Delta＞0$即可得证。首先确定方程各项系数$a、b、c$，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，再判断结果的正负性即可。
（2）已知两根满足$x_1=2x_2$，结合一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于$k$的表达式，将$x_1=2x_2$代入两根之和的式子，用$k$表示出$x_2$，再代入两根之积的式子，得到关于$k$的一元二次方程，解方程即可求出$k$的值，第一问已证$\Delta$恒大于0，无需额外验证根的存在性。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + k - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+k-2$，
根的判别式：
$\Delta = (2k + 1)^2 - 4× 1× (k^2 + k - 2)$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k + 8 = 9$
$\because 9＞0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
（2）解：由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -(2k + 1)$，$x_1x_2 = k^2 + k - 2$
$\because x_1 = 2x_2$，代入两根之和的式得：
$2x_2 + x_2 = -(2k+1)$，解得$x_2 = -\frac{2k + 1}{3}$
代入两根之积的式子得：$2x_2^2 = k^2 + k - 2$，即$x_2^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}$
将$x_2 = -\frac{2k + 1}{3}$代入上式：
$(-\frac{2k + 1}{3})^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}$
整理得：$k^2 + k - 20 = 0$
因式分解得$(k-4)(k+5)=0$
解得$k = 4$ 或 $k = -5$
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根得证；
（2）$k$的值为$4$或$-5$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，第一问直接考察根的判别式的计算与应用，难度较低；第二问需要结合两根的数量关系和韦达定理构造关于参数的方程，解题思路清晰，熟练掌握核心公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心方法是计算根的判别式$\Delta$，若$\Delta＞0$即可得证。首先确定方程各项系数$a、b、c$，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，再判断结果的正负性即可。
（2）已知两根满足$x_1=2x_2$，结合一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于$k$的表达式，将$x_1=2x_2$代入两根之和的式子，用$k$表示出$x_2$，再代入两根之积的式子，得到关于$k$的一元二次方程，解方程即可求出$k$的值，第一问已证$\Delta$恒大于0，无需额外验证根的存在性。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + k - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+k-2$，
根的判别式：
$\Delta = (2k + 1)^2 - 4× 1× (k^2 + k - 2)$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k + 8 = 9$
$\because 9＞0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
（2）解：由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -(2k + 1)$，$x_1x_2 = k^2 + k - 2$
$\because x_1 = 2x_2$，代入两根之和的式得：
$2x_2 + x_2 = -(2k+1)$，解得$x_2 = -\frac{2k + 1}{3}$
代入两根之积的式子得：$2x_2^2 = k^2 + k - 2$，即$x_2^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}$
将$x_2 = -\frac{2k + 1}{3}$代入上式：
$(-\frac{2k + 1}{3})^2 = \frac{k^2 + k - 2}{2}$
整理得：$k^2 + k - 20 = 0$
因式分解得$(k-4)(k+5)=0$
解得$k = 4$ 或 $k = -5$
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根得证；
（2）$k$的值为$4$或$-5$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，第一问直接考察根的判别式的计算与应用，难度较低；第二问需要结合两根的数量关系和韦达定理构造关于参数的方程，解题思路清晰，熟练掌握核心公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
19.已知关于 x 的方程：
$mx^2 - (m^2 + 2)x + 2m = 0.$
（1）证明：无论 m 为何值，这个方程总有实数根.
（2）若这个方程的一个根是 2，求它的另一个根及 m 的值.
$mx^2 - (m^2 + 2)x + 2m = 0.$
（1）证明：无论 m 为何值，这个方程总有实数根.
（2）若这个方程的一个根是 2，求它的另一个根及 m 的值.
答案
19. 提示:(1) 若 $m = 0$,方程为 $-2x = 0$,根为 0；
若 $m ≠ 0$,$\Delta = (m^2 - 2)^2 ≥ 0$,有实数根.
$\therefore$ 无论 $m$ 为何值,方程总有实数根.
(2) 设方程另一个根为 $t$. 由根与系数关系得
$2t = 2,\quad$ 即 $t = 1.$
$\therefore m^2 - 3m + 2 = 0.\quad$ 解得 $m_1 = 1,m_2 = 2.$
若 $m ≠ 0$,$\Delta = (m^2 - 2)^2 ≥ 0$,有实数根.
$\therefore$ 无论 $m$ 为何值,方程总有实数根.
(2) 设方程另一个根为 $t$. 由根与系数关系得
$2t = 2,\quad$ 即 $t = 1.$
$\therefore m^2 - 3m + 2 = 0.\quad$ 解得 $m_1 = 1,m_2 = 2.$
解析
【分析】
（1）要证明含参数的方程总有实数根，需按二次项系数是否为0分类讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断有实根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ，判断Δ的符号即可证明总有实根。
（2）已知方程的一个根求另一根和参数m，可利用一元二次方程根与系数的关系，先通过两根之积求出另一根，再通过两根之和建立关于m的方程求解即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
① 当$m=0$时，原方程化简为：$-2x=0$，解得$x=0$，此时方程有实数根；
② 当$m≠0$时，原方程是关于$x$的一元二次方程，
根的判别式$\Delta = [-(m^2+2)]^2 - 4 · m · 2m$
$= m^4 +4m^2 +4 -8m^2$
$= m^4 -4m^2 +4$
$=(m^2 -2)^2$
∵ 任何数的平方均为非负数，即$(m^2 -2)^2 ≥ 0$，
∴ 此时一元二次方程总有实数根。
综上，无论$m$为何值，这个方程总有实数根。
（2）设方程的另一个根为$t$，
∵ $x=2$是方程的根，当$m=0$时方程根为$0$，不符合题意，故$m≠0$，
由一元二次方程根与系数的关系可得：两根之积$x_1x_2 = \frac{2m}{m} = 2$，
即$2t = 2$，解得$t=1$，即方程的另一个根为1；
再由两根之和$x_1+x_2 = \frac{m^2 + 2}{m} = 2+1=3$，
整理得：$m^2 +2 =3m$，即$m^2 -3m +2=0$，
因式分解得$(m-1)(m-2)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=2$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）方程的另一个根为$\boldsymbol{1}$，$m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题重点考查含参数方程根的判定及根与系数关系的应用，解题时要注意分类讨论二次项系数是否为0，避免直接默认方程是一元二次方程导致漏解；合理运用根与系数的关系可大幅简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
（1）要证明含参数的方程总有实数根，需按二次项系数是否为0分类讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断有实根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ，判断Δ的符号即可证明总有实根。
（2）已知方程的一个根求另一根和参数m，可利用一元二次方程根与系数的关系，先通过两根之积求出另一根，再通过两根之和建立关于m的方程求解即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
① 当$m=0$时，原方程化简为：$-2x=0$，解得$x=0$，此时方程有实数根；
② 当$m≠0$时，原方程是关于$x$的一元二次方程，
根的判别式$\Delta = [-(m^2+2)]^2 - 4 · m · 2m$
$= m^4 +4m^2 +4 -8m^2$
$= m^4 -4m^2 +4$
$=(m^2 -2)^2$
∵ 任何数的平方均为非负数，即$(m^2 -2)^2 ≥ 0$，
∴ 此时一元二次方程总有实数根。
综上，无论$m$为何值，这个方程总有实数根。
（2）设方程的另一个根为$t$，
∵ $x=2$是方程的根，当$m=0$时方程根为$0$，不符合题意，故$m≠0$，
由一元二次方程根与系数的关系可得：两根之积$x_1x_2 = \frac{2m}{m} = 2$，
即$2t = 2$，解得$t=1$，即方程的另一个根为1；
再由两根之和$x_1+x_2 = \frac{m^2 + 2}{m} = 2+1=3$，
整理得：$m^2 +2 =3m$，即$m^2 -3m +2=0$，
因式分解得$(m-1)(m-2)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=2$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）方程的另一个根为$\boldsymbol{1}$，$m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题重点考查含参数方程根的判定及根与系数关系的应用，解题时要注意分类讨论二次项系数是否为0，避免直接默认方程是一元二次方程导致漏解；合理运用根与系数的关系可大幅简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
