相似三角形的判定一共有四种方法:(1)(定义)三角分别相等、三边的两个三角形相似;(2)两角的两个三角形相似;(3)两边且夹角相等的两个三角形相似;(4)三边的两个三角形相似。
从这四种方法中我们可以看出,第(1)种判定方法比较麻烦,一般不用;如果已知条件只涉及角,就用第种判定方法;如果已知条件只涉及边,就用第种判定方法;如果已知条件既有角又有边,就可以考虑用第种判定方法。

1. 成比例
2. 分别相等
3. 成比例
4. 成比例
5. （2）
6. （4）
7. （3）

【分析】
本题考查相似三角形的判定相关基础内容，解题时首先回忆相似三角形的定义及四个判定定理的具体内容，对应完成前四个空的填写；再分析每个判定定理需要的条件类型，结合题干给出的“仅涉及角、仅涉及边、既有角又有边”三类已知条件，匹配对应的判定方法，完成后三个空的填写即可。
【解析】
1. 根据相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似，因此第一个空填“成比例”；
2. 相似三角形的两角判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，因此第二个空填“分别相等”；
3. 相似三角形的边角边判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此第三个空填“成比例”；
4. 相似三角形的边边边判定定理：三边成比例的两个三角形相似，因此第四个空填“成比例”；
5. 若已知条件只涉及角，仅第(2)种判定方法只需要角相关条件即可证明相似，因此此处填“（2）”；
6. 若已知条件只涉及边，仅第(4)种判定方法只需要边的比例关系即可证明相似，因此此处填“（4）”；
7. 若已知条件既有角又有边，第(3)种判定方法需要边的比例和夹角相等两类条件，匹配该情况，因此此处填“（3）”。
【答案】
1. 成比例；2. 分别相等；3. 成比例；4. 成比例；5. （2）；6. （4）；7. （3）
【知识点】
1. 相似三角形定义；2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是基础识记类题目，主要考查对相似三角形判定内容的记忆以及不同判定方法适用场景的区分，熟练掌握相关定理即可快速得分，是相似三角形模块的核心基础内容。
【难度系数】
0.9

1.要制作两个形状相同的三角形框架,已知其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边的长为2.5 cm,则它的最长边的长为()。

A.3 cm
B.4 cm
C.4.5 cm
D.5 cm

1. C

【分析】
首先，“形状相同的三角形”即相似三角形，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例。解题时先确定已知三角形的最短边、最长边，再设另一个三角形的最长边为未知数，利用“最短边对应最短边，最长边对应最长边”的对应关系列比例式，求解即可得到结果。
【解析】
解：
∵两个三角形形状相同，
∴两个三角形相似，对应边成比例。
已知第一个三角形的三边长为5cm，6cm，9cm，其最短边为5cm，最长边为9cm。
设另一个三角形的最长边长为$ x $ cm，已知它的最短边长为2.5cm。
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{5}{2.5}=\frac{9}{x}$
交叉相乘得：$ 5x = 2.5 × 9 $
计算得：$ 5x = 22.5 $
解得：$ x = 4.5 $
即另一个三角形的最长边长为4.5cm。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是明确形状相同的三角形为相似三角形，准确匹配对应边列比例式即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$DE$与$BC$不平行,添加下列条件之一仍不能判定$△ ADE ∽ △ ACB$的是()。

A.$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$
B.$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$
C.$∠ AED = ∠ B$
D.$∠ ADE = ∠ C$

2. B

【分析】
要判定$△ ADE ∽ △ ACB$，首先观察到两个三角形有公共角$∠ A$，即$∠ A=∠ A$。根据相似三角形的判定定理，此时只需满足两个条件之一即可判定相似：①再找到一组对应角相等；②夹公共角$∠ A$的两组对应边成比例，也就是$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。接下来逐一验证每个选项是否满足上述条件，判断能否判定相似即可。
【解析】
已知$∠ A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠ A=∠ A$：
选项A：若$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$，结合$∠ A=∠ A$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，不符合题意。
选项B：若$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$，此时相等的$∠ A$并不是成比例的两组边的夹角，属于“边边角”的情况，不符合相似三角形的判定规则，不能判定$△ ADE ∽ △ ACB$，符合题意。
选项C：若$∠ AED = ∠ B$，结合$∠ A=∠ A$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，不符合题意。
选项D：若$∠ ADE = ∠ C$，结合$∠ A=∠ A$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定定理，对应边与对应角识别
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，需要特别注意：当两个三角形存在公共角时，若添加边成比例的条件，必须是夹公共角的两组对应边成比例，“边边角”无法判定两个三角形相似，做题时要准确匹配对应边和对应角，避免混淆判定规则。
【难度系数】
0.7

3. 下列两个三角形不相似的是()。

A.一个三角形的两个角分别是40°,80°;另一个三角形的两个角分别是60°,80°
B.一个三角形的三边长分别是4 cm,6 cm,8 cm;另一个三角形的三边长分别是12 cm,18 cm,21 cm
C.一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm,夹角是40°;另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm,夹角是40°
D.各有一个角是120°的两个等腰三角形

3. B

【分析】
要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理逐一验证每个选项：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似。我们只需找到不满足上述任意一个判定定理的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：第一个三角形第三个角为$180°-40°-80°=60°$，第二个三角形已知两个角为$60°$、$80°$，两个三角形有两组角对应相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
B选项：计算两组三角形对应边的比值：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{8}{21}≠\frac{1}{3}$，三组边比值不相等，不满足“三边对应成比例的两个三角形相似”，故两三角形不相似，符合题意。
C选项：计算两边的比值：$\frac{2}{3}=\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3}$，且两边的夹角均为$40°$，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
D选项：等腰三角形的$120°$角只能为顶角（若为底角，内角和将超过$180°$），因此两个等腰三角形的底角均为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，有两组角对应相等，满足相似判定，故两三角形相似，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其要注意SAS判定中“夹角相等”的要求，SSS判定需三组边对应比例完全一致，避免因计算失误或概念混淆出错。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,则下列结论不成立的是()。

A.$△ FDE ∽ △ ABC$
B.$DE=\frac{1}{2}AB$
C.$BE=\frac{1}{2}CE$
D.$\frac{AB}{FD}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{3}$

4. B

【分析】首先利用等边三角形ABC三个内角均为60°的性质，结合题目给出的三个垂直关系，先推导△FDE的三个内角都是60°，判断它是等边三角形，即可验证A选项；再利用含30°角的直角三角形的边长关系，设未知数表示出各边的长度，逐一验证B、C、D选项即可。
【解析】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，
∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°。
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°，同理可得∠CEF=∠AFD=30°。
∴∠EDF=180°-∠ADF-∠BDE=180°-90°-30°=60°，同理可得∠DEF=∠DFE=60°，即△FDE是等边三角形，因此△FDE∽△ABC，A选项结论成立，不符合题意。
设BE=x，在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2x，由勾股定理得DE=√(BD²-BE²)=√3 x。
∵△FDE是等边三角形，
∴FD=DE=√3 x。
在Rt△ADF中，∠A=60°，∠AFD=30°，
∴AD=FD÷tan60°=√3 x ÷√3 =x，因此AB=BD+AD=2x+x=3x。
对剩余选项逐一判断：
B选项：DE=√3 x，AB=3x，可得DE=√3 x = (√3/3)AB ≠ 1/2 AB，该结论不成立，符合题意；
C选项：BC=AB=3x，BE=x，因此CE=BC-BE=3x-x=2x，即BE=1/2 CE，该结论成立，不符合题意；
D选项：$\frac{AB}{FD}=\frac{3x}{\sqrt{3}x}=\sqrt{3}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{3x}{\sqrt{3}x}=\sqrt{3}$，因此$\frac{AB}{FD}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{3}$，该结论成立，不符合题意。
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质，相似三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题综合考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定以及特殊直角三角形的边长关系，解题的关键是先推导出△DEF为等边三角形，再通过设参数表示各边长度逐一判断选项。
【难度系数】0.6