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5. 下列三角形中，
①与⑥
相似、③、⑤和⑦
相似、②与④
相似。（填序号）答案
5. ①与⑥ ③、⑤和⑦ ②与④
解析
【分析】
解题需用到相似三角形的三类判定定理：1. 两角分别相等的两个三角形相似（AA）；2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；3. 三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。我们先梳理每个三角形的已知条件，再对应判定规则逐一匹配：首先计算已知角的三角形的未知内角，匹配AA判定；再计算两边夹一角的三角形的边长比例，匹配SAS判定；最后化简已知三边的三角形的边长比，匹配SSS判定，即可找出所有相似的三角形。
【解析】
1. 验证AA判定：
①中已知两个内角为30°、105°，根据三角形内角和为180°，第三个角为$180°-30°-105°=45°$，三个内角度数为30°、45°、105°；
⑥中已知两个内角为45°、30°，第三个角为$180°-45°-30°=105°$，三个内角度数为30°、45°、105°；
二者三个内角分别对应相等，故①与⑥相似。
2. 验证SAS判定：
②中夹30°角的两条边长为2.5、4.5；④中夹30°角的两条边长为1.5、2.7；
计算边长比：$\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$，$\frac{2.7}{4.5}=\frac{3}{5}$，两边对应成比例且夹角相等，故②与④相似。
3. 验证SSS判定：
③三边长为2、3、4，边长比为$2:3:4$；
⑤三边长为8、12、16，化简边长比为$8:12:16=2:3:4$；
⑦三边长为3、4.5、6，化简边长比为$3:4.5:6=2:3:4$；
三者三边对应成比例，故③、⑤和⑦相似。
【答案】
①与⑥、③、⑤和⑦、②与④
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、比例化简
【点评】
本题核心是考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题时要先对每个三角形的已知条件分类，再选择对应的判定规则验证，计算角度和边长比例时要仔细，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.7
解题需用到相似三角形的三类判定定理：1. 两角分别相等的两个三角形相似（AA）；2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；3. 三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。我们先梳理每个三角形的已知条件，再对应判定规则逐一匹配：首先计算已知角的三角形的未知内角，匹配AA判定；再计算两边夹一角的三角形的边长比例，匹配SAS判定；最后化简已知三边的三角形的边长比，匹配SSS判定，即可找出所有相似的三角形。
【解析】
1. 验证AA判定：
①中已知两个内角为30°、105°，根据三角形内角和为180°，第三个角为$180°-30°-105°=45°$，三个内角度数为30°、45°、105°；
⑥中已知两个内角为45°、30°，第三个角为$180°-45°-30°=105°$，三个内角度数为30°、45°、105°；
二者三个内角分别对应相等，故①与⑥相似。
2. 验证SAS判定：
②中夹30°角的两条边长为2.5、4.5；④中夹30°角的两条边长为1.5、2.7；
计算边长比：$\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$，$\frac{2.7}{4.5}=\frac{3}{5}$，两边对应成比例且夹角相等，故②与④相似。
3. 验证SSS判定：
③三边长为2、3、4，边长比为$2:3:4$；
⑤三边长为8、12、16，化简边长比为$8:12:16=2:3:4$；
⑦三边长为3、4.5、6，化简边长比为$3:4.5:6=2:3:4$；
三者三边对应成比例，故③、⑤和⑦相似。
【答案】
①与⑥、③、⑤和⑦、②与④
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、比例化简
【点评】
本题核心是考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题时要先对每个三角形的已知条件分类，再选择对应的判定规则验证，计算角度和边长比例时要仔细，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.7
6. 若等腰三角形ABC的腰长为18 cm，底边长为6 cm，在腰AC上取点D，使△ABC∽△BDC，则DC=
2 cm
。答案
6. 2 cm
解析
【分析】
首先明确已知条件：等腰△ABC的腰AB=AC=18cm，底边BC=6cm，且△ABC∽△BDC，要求DC的长度。解题核心是利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。首先根据相似三角形的顶点对应顺序，结合公共角∠C，准确找到两组对应边：△ABC的边AC对应△BDC的边BC，△ABC的边BC对应△BDC的边DC，列出比例式后代入已知边长计算即可求出DC的长度。
【解析】
解：
∵等腰△ABC的腰长为18 cm，底边长为6 cm
∴AC=18 cm，BC=6 cm
∵△ABC∽△BDC
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$
将AC=18 cm，BC=6 cm代入比例式：
$\frac{18}{6}=\frac{6}{DC}$
化简得：$3=\frac{6}{DC}$
解得：$DC=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
2 cm
【知识点】
相似三角形的性质，等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查相似三角形性质的应用，解题的易错点是相似三角形对应边匹配错误，做题时要结合顶点顺序和公共角找准对应边，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：等腰△ABC的腰AB=AC=18cm，底边BC=6cm，且△ABC∽△BDC，要求DC的长度。解题核心是利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。首先根据相似三角形的顶点对应顺序，结合公共角∠C，准确找到两组对应边：△ABC的边AC对应△BDC的边BC，△ABC的边BC对应△BDC的边DC，列出比例式后代入已知边长计算即可求出DC的长度。
【解析】
解：
∵等腰△ABC的腰长为18 cm，底边长为6 cm
∴AC=18 cm，BC=6 cm
∵△ABC∽△BDC
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$
将AC=18 cm，BC=6 cm代入比例式：
$\frac{18}{6}=\frac{6}{DC}$
化简得：$3=\frac{6}{DC}$
解得：$DC=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
2 cm
【知识点】
相似三角形的性质，等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查相似三角形性质的应用，解题的易错点是相似三角形对应边匹配错误，做题时要结合顶点顺序和公共角找准对应边，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
7. 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且DE//BC，∠DCB = ∠A，如果把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有
四
组相似三角形。答案
7. 四
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，先梳理图中所有的三角形，再逐步推导相似组合：首先利用平行线的性质找到第一组相似三角形；再结合已知的等角条件，通过找公共角判定第二组相似三角形；接着利用相似的传递性得到第三组相似；最后梳理剩余三角形的角的等量关系，判定第四组相似，过程中要逐一排查所有三角形组合，避免遗漏。
【解析】
我们逐一判定相似三角形：
1. 因为$DE// BC$，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 在$△ ABC$和$△ CBD$中，$∠ A = ∠ DCB$，$∠ B = ∠ B$（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ CBD$；
3. 由$△ ADE ∽ △ ABC$，$△ ABC ∽ △ CBD$，根据相似三角形的传递性，可得$△ ADE ∽ △ CBD$；
4. 因为$DE// BC$，所以$∠ EDC = ∠ DCB$（两直线平行，内错角相等），又因为$∠ DCB = ∠ A$，所以$∠ EDC = ∠ A$，在$△ CDE$和$△ CAD$中，$∠ EDC = ∠ A$，$∠ DCE = ∠ ACD$（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ CDE ∽ △ CAD$。
综上，共有4组相似三角形。
【答案】
四
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，相似的传递性
【点评】
本题需要结合已知条件逐一排查图形中的三角形组合，找相等角时要注意公共角、平行线所得等角的应用，解题时要细心避免漏算相似组合。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手，先梳理图中所有的三角形，再逐步推导相似组合：首先利用平行线的性质找到第一组相似三角形；再结合已知的等角条件，通过找公共角判定第二组相似三角形；接着利用相似的传递性得到第三组相似；最后梳理剩余三角形的角的等量关系，判定第四组相似，过程中要逐一排查所有三角形组合，避免遗漏。
【解析】
我们逐一判定相似三角形：
1. 因为$DE// BC$，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 在$△ ABC$和$△ CBD$中，$∠ A = ∠ DCB$，$∠ B = ∠ B$（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ CBD$；
3. 由$△ ADE ∽ △ ABC$，$△ ABC ∽ △ CBD$，根据相似三角形的传递性，可得$△ ADE ∽ △ CBD$；
4. 因为$DE// BC$，所以$∠ EDC = ∠ DCB$（两直线平行，内错角相等），又因为$∠ DCB = ∠ A$，所以$∠ EDC = ∠ A$，在$△ CDE$和$△ CAD$中，$∠ EDC = ∠ A$，$∠ DCE = ∠ ACD$（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ CDE ∽ △ CAD$。
综上，共有4组相似三角形。
【答案】
四
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，相似的传递性
【点评】
本题需要结合已知条件逐一排查图形中的三角形组合，找相等角时要注意公共角、平行线所得等角的应用，解题时要细心避免漏算相似组合。
【难度系数】
0.6
8. 如图，AD是$△ ABC$的边BC上的中线，P为AD上的一点，且$BD^2 = PD · AD$，求证：$△ ADC ∽ △ CDP$。
答案
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 边 $BC$ 上的中线, $\therefore BD = CD$。
$\because BD^2 = PD · AD, \therefore CD^2 = PD · AD, 即 \dfrac{CD}{PD} = \dfrac{AD}{CD}$。
$\because ∠ CDP = ∠ ADC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP$
$\because BD^2 = PD · AD, \therefore CD^2 = PD · AD, 即 \dfrac{CD}{PD} = \dfrac{AD}{CD}$。
$\because ∠ CDP = ∠ ADC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP$
解析
【分析】
要证明△ADC∽△CDP，可结合相似三角形的判定定理推导：首先观察两个三角形的角，可发现∠ADC和∠CDP是公共角，已满足一组角相等，接下来只需证明夹该公共角的两组边对应成比例即可。已知AD是△ABC的BC边上的中线，根据中线定义可得BD=CD，结合已知条件BD²=PD·AD，将BD替换为CD后可得到CD与PD、AD的乘积关系，将乘积式转化为比例式即可得到两组边的比例关系，最后结合公共角相等，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BD = CD。
∵ BD² = PD · AD，
∴ CD² = PD · AD，即 $\dfrac{CD}{PD} = \dfrac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠CDP = ∠ADC，
∴ △ADC ∽ △CDP。
【答案】
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 边 $BC$ 上的中线, $\therefore BD = CD$。
$\because BD^2 = PD · AD, \therefore CD^2 = PD · AD, 即 \dfrac{CD}{PD} = \dfrac{AD}{CD}$。
$\because ∠ CDP = ∠ ADC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP$
【知识点】
1. 三角形中线定义
2. 相似三角形SAS判定
3. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础的相似三角形证明题，解题的关键是利用三角形中线的性质完成线段的等量代换，将乘积式转化为比例式，结合公共角即可利用相似判定定理完成证明，能帮助学生巩固相似三角形判定的基础应用。
【难度系数】
0.8
要证明△ADC∽△CDP，可结合相似三角形的判定定理推导：首先观察两个三角形的角，可发现∠ADC和∠CDP是公共角，已满足一组角相等，接下来只需证明夹该公共角的两组边对应成比例即可。已知AD是△ABC的BC边上的中线，根据中线定义可得BD=CD，结合已知条件BD²=PD·AD，将BD替换为CD后可得到CD与PD、AD的乘积关系，将乘积式转化为比例式即可得到两组边的比例关系，最后结合公共角相等，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BD = CD。
∵ BD² = PD · AD，
∴ CD² = PD · AD，即 $\dfrac{CD}{PD} = \dfrac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠CDP = ∠ADC，
∴ △ADC ∽ △CDP。
【答案】
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 边 $BC$ 上的中线, $\therefore BD = CD$。
$\because BD^2 = PD · AD, \therefore CD^2 = PD · AD, 即 \dfrac{CD}{PD} = \dfrac{AD}{CD}$。
$\because ∠ CDP = ∠ ADC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP$
【知识点】
1. 三角形中线定义
2. 相似三角形SAS判定
3. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础的相似三角形证明题，解题的关键是利用三角形中线的性质完成线段的等量代换，将乘积式转化为比例式，结合公共角即可利用相似判定定理完成证明，能帮助学生巩固相似三角形判定的基础应用。
【难度系数】
0.8
(2026·上海中考)如图,在菱形ABCD中,E为CD上一点,且满足∠EBC=∠CAB,BE交AC于点F。
(1)若AF=2CF,求证:E是CD的中点;
(2)若∠ABE的平分线BH交AC于点G,交AD于点H,求证:CD·BG=BH·BF。
(1)若AF=2CF,求证:E是CD的中点;
(2)若∠ABE的平分线BH交AC于点G,交AD于点H,求证:CD·BG=BH·BF。
答案
1.
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ AB = CD,AB // CD。
∵ CE//AB,
∴ △CEF∽△ABF。
∴ CE/AB = CF/AF = CF/(2CF) = 1/2。
∴ CE = 1/2 AB = 1/2 CD。
∴ E是CD的中点
2.
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ ∠CAB = ∠HAG = ∠ACB。
∵ ∠EBC = ∠CAB,
∴ ∠CAB = ∠HAG = ∠ACB = ∠EBC。
∵ ∠AFB = ∠EBC + ∠ACB,∠BAH = ∠CAB + ∠HAG,
∴ ∠BAH = ∠AFB。
∵ BH平分∠ABE,
∴ ∠ABH = ∠FBG。
∴ △ABH ∽ △FBG。
∴ AB: BF = BH: BG,
∴ AB · BG = BH · BF。
∵ AB = CD,
∴ CD · BG = BH · BF
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ AB = CD,AB // CD。
∵ CE//AB,
∴ △CEF∽△ABF。
∴ CE/AB = CF/AF = CF/(2CF) = 1/2。
∴ CE = 1/2 AB = 1/2 CD。
∴ E是CD的中点
2.
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ ∠CAB = ∠HAG = ∠ACB。
∵ ∠EBC = ∠CAB,
∴ ∠CAB = ∠HAG = ∠ACB = ∠EBC。
∵ ∠AFB = ∠EBC + ∠ACB,∠BAH = ∠CAB + ∠HAG,
∴ ∠BAH = ∠AFB。
∵ BH平分∠ABE,
∴ ∠ABH = ∠FBG。
∴ △ABH ∽ △FBG。
∴ AB: BF = BH: BG,
∴ AB · BG = BH · BF。
∵ AB = CD,
∴ CD · BG = BH · BF
解析
【分析】
(1) 要证E是CD的中点，即证$CE=\frac{1}{2}CD$。结合菱形对边平行且相等的性质，可得$AB// CD$、$AB=CD$，由此可证$△ CEF ∽ △ ABF$，再结合$AF=2CF$的条件，利用相似三角形对应边成比例即可推出$CE$与$CD$的数量关系，完成证明。
(2) 要证等积式$CD· BG=BH· BF$，通常先将等积式转化为比例式，结合菱形$AB=CD$的性质，可将问题转化为证$AB· BG=BH· BF$，即证$\frac{AB}{BF}=\frac{BH}{BG}$，只需证明$△ ABH ∽ △ FBG$即可。通过菱形的角的性质、已知$∠ EBC=∠ CAB$的条件，结合角平分线的定义推导两组对应角相等，即可证明三角形相似，得到比例式后替换相等的边即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，
∴ $CE// AB$，
∴ $△ CEF ∽ △ ABF$，
∴ $\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{AF}$，
又
∵ $AF=2CF$，
∴ $\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，
∴ E是CD的中点。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $∠ CAB = ∠ HAG = ∠ ACB$，$AB=CD$，
∵ $∠ EBC = ∠ CAB$，
∴ $∠ CAB = ∠ HAG = ∠ ACB = ∠ EBC$，
∵ $∠ AFB = ∠ EBC + ∠ ACB$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），$∠ BAH = ∠ CAB + ∠ HAG$，
∴ $∠ BAH = ∠ AFB$，
∵ BH平分$∠ ABE$，
∴ $∠ ABH = ∠ FBG$，
∴ $△ ABH ∽ △ FBG$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $AB: BF = BH: BG$，
∴ $AB · BG = BH · BF$，
又
∵ $AB = CD$，
∴ $CD · BG = BH · BF$。
【答案】
(1) 已证E是CD的中点；
(2) 已证$CD· BG=BH· BF$。
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，围绕菱形的性质展开，结合相似三角形的相关知识考查逻辑推理能力。解题的关键是熟练掌握特殊四边形的边、角性质，能灵活将待证等积式转化为比例式，通过证明三角形相似完成推导，是巩固几何核心知识的典型中档题。
【难度系数】
0.6
(1) 要证E是CD的中点，即证$CE=\frac{1}{2}CD$。结合菱形对边平行且相等的性质，可得$AB// CD$、$AB=CD$，由此可证$△ CEF ∽ △ ABF$，再结合$AF=2CF$的条件，利用相似三角形对应边成比例即可推出$CE$与$CD$的数量关系，完成证明。
(2) 要证等积式$CD· BG=BH· BF$，通常先将等积式转化为比例式，结合菱形$AB=CD$的性质，可将问题转化为证$AB· BG=BH· BF$，即证$\frac{AB}{BF}=\frac{BH}{BG}$，只需证明$△ ABH ∽ △ FBG$即可。通过菱形的角的性质、已知$∠ EBC=∠ CAB$的条件，结合角平分线的定义推导两组对应角相等，即可证明三角形相似，得到比例式后替换相等的边即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，
∴ $CE// AB$，
∴ $△ CEF ∽ △ ABF$，
∴ $\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{AF}$，
又
∵ $AF=2CF$，
∴ $\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，
∴ E是CD的中点。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $∠ CAB = ∠ HAG = ∠ ACB$，$AB=CD$，
∵ $∠ EBC = ∠ CAB$，
∴ $∠ CAB = ∠ HAG = ∠ ACB = ∠ EBC$，
∵ $∠ AFB = ∠ EBC + ∠ ACB$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），$∠ BAH = ∠ CAB + ∠ HAG$，
∴ $∠ BAH = ∠ AFB$，
∵ BH平分$∠ ABE$，
∴ $∠ ABH = ∠ FBG$，
∴ $△ ABH ∽ △ FBG$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $AB: BF = BH: BG$，
∴ $AB · BG = BH · BF$，
又
∵ $AB = CD$，
∴ $CD · BG = BH · BF$。
【答案】
(1) 已证E是CD的中点；
(2) 已证$CD· BG=BH· BF$。
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，围绕菱形的性质展开，结合相似三角形的相关知识考查逻辑推理能力。解题的关键是熟练掌握特殊四边形的边、角性质，能灵活将待证等积式转化为比例式，通过证明三角形相似完成推导，是巩固几何核心知识的典型中档题。
【难度系数】
0.6
