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1. 如图所示的是小琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A,B,C都在竖格线上。若线段AB = 3.6 cm，则线段BC的长为(
A.6.4 cm
B.8 cm
C.9.6 cm
D.10.8 cm
D
)。A.6.4 cm
B.8 cm
C.9.6 cm
D.10.8 cm
答案
1. D
解析
【分析】
本题给出一组等距的平行竖格线，要计算同一直线上线段BC的长度，可利用平行线分线段成比例定理求解。首先数出AB、BC对应的水平格数间隔，得到两线段的长度比，再结合已知AB的长度，即可算出BC的长度。
【解析】
由图可知，线段AB对应3个相邻竖格线的间隔，线段BC对应9个相邻竖格线的间隔。
∵ 练习纸中的竖格线互相平行，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
已知$AB=3.6\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{3.6}{BC}=\frac{1}{3}$
解得 $BC=3.6×3=10.8\mathrm{cm}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的运算
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是准确数出两条线段对应的格数间隔的比值，结合已知条件计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题给出一组等距的平行竖格线，要计算同一直线上线段BC的长度，可利用平行线分线段成比例定理求解。首先数出AB、BC对应的水平格数间隔，得到两线段的长度比，再结合已知AB的长度，即可算出BC的长度。
【解析】
由图可知，线段AB对应3个相邻竖格线的间隔，线段BC对应9个相邻竖格线的间隔。
∵ 练习纸中的竖格线互相平行，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
已知$AB=3.6\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{3.6}{BC}=\frac{1}{3}$
解得 $BC=3.6×3=10.8\mathrm{cm}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的运算
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是准确数出两条线段对应的格数间隔的比值，结合已知条件计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，F是$□ ABCD$的边CD上的一点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E。求证：$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$。
答案
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ DC//AB,即DF//AB。在△ABE 中,$\frac{DE}{AE}=\frac{EF}{EB}$。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,即 DE//BC,
∴ $\frac{EF}{EB}=\frac{DF}{DC}$,
∴ $\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$
解析
【分析】
要证明线段比例式$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$，可结合平行四边形对边平行的性质，利用平行线分线段成比例定理找到中间过渡的比例式，通过等量代换完成证明。首先由平行四边形$ABCD$得$DC// AB$，即$DF// AB$，可在$△ ABE$中得到$\frac{DE}{AE}$与$\frac{EF}{EB}$的等量关系；再由平行四边形得$AD// BC$，即$DE// BC$，得到$\frac{DF}{DC}$与$\frac{EF}{EB}$的等量关系，最后将两个比例式结合即可得证。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，即$DF// AB$，
$\therefore$ 在$△ ABE$中，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DE}{AE}=\frac{EF}{EB}$。
又$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，即$DE// BC$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{EF}{EB}=\frac{DF}{DC}$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$。
【答案】
$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$，证明过程如上。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用平行四边形的对边平行性质，结合平行线分线段成比例定理，通过中间比例式等量代换得到结论，解题时要注意观察图形中平行线与三角形的对应关系，准确匹配比例线段。
【难度系数】
0.75
要证明线段比例式$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$，可结合平行四边形对边平行的性质，利用平行线分线段成比例定理找到中间过渡的比例式，通过等量代换完成证明。首先由平行四边形$ABCD$得$DC// AB$，即$DF// AB$，可在$△ ABE$中得到$\frac{DE}{AE}$与$\frac{EF}{EB}$的等量关系；再由平行四边形得$AD// BC$，即$DE// BC$，得到$\frac{DF}{DC}$与$\frac{EF}{EB}$的等量关系，最后将两个比例式结合即可得证。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，即$DF// AB$，
$\therefore$ 在$△ ABE$中，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DE}{AE}=\frac{EF}{EB}$。
又$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，即$DE// BC$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{EF}{EB}=\frac{DF}{DC}$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$。
【答案】
$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$，证明过程如上。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用平行四边形的对边平行性质，结合平行线分线段成比例定理，通过中间比例式等量代换得到结论，解题时要注意观察图形中平行线与三角形的对应关系，准确匹配比例线段。
【难度系数】
0.75
3. 请阅读以下材料,并完成相应的问题。
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明:如图②,过点C作CE//DA,交BA的延长线于点E……
问题:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm。求BD的长。
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明:如图②,过点C作CE//DA,交BA的延长线于点E……
问题:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm。求BD的长。
答案
(1) 如题图②,过点 C 作 CE//DA,交 BA 的延长线于点 E。
∵ CE//DA,
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$, ∠CAD = ∠ACE, ∠BAD = ∠E。
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∴ ∠ACE = ∠E。
∴ AE = AC。
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
(2)
∵ AD 是角平分线,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
∵ AB = 5 cm,AC = 4 cm,BC = 7 cm,
∴ $\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$。解得 $BD=\frac{35}{9}$ cm
∵ CE//DA,
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$, ∠CAD = ∠ACE, ∠BAD = ∠E。
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∴ ∠ACE = ∠E。
∴ AE = AC。
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
(2)
∵ AD 是角平分线,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
∵ AB = 5 cm,AC = 4 cm,BC = 7 cm,
∴ $\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$。解得 $BD=\frac{35}{9}$ cm
解析
【分析】
(1) 要完成角平分线分线段成比例定理的证明，首先结合所作平行线CE//DA，利用平行线分线段成比例先得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，再结合平行线的角的性质和角平分线的条件，证明∠ACE=∠E，通过等角对等边得到AE=AC，将AE替换为AC即可得到要证的结论。
(2) 第二问直接应用已证明的角平分线分线段成比例定理，把CD转化为BC-BD，代入已知边长列方程求解BD即可。
【解析】
(1) 如题图②，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E。
∵ CE//DA，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，∠CAD = ∠ACE，∠BAD = ∠E。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∴ ∠ACE = ∠E。
∴ AE = AC。
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2)
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
∵ AB = 5 cm，AC = 4 cm，BC = 7 cm，CD=BC-BD=7-BD，
∴ $\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$，
交叉相乘得$5(7-BD)=4BD$，
整理得$35=9BD$，
解得 $BD=\frac{35}{9}$ cm。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析；
(2) $BD=\frac{35}{9}$ cm
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形判定，角平分线分线段成比例
【点评】
本题包含定理推导和定理应用两个模块，推导过程中通过构造平行线完成比例和角的转化，应用部分结合比例关系列方程求解线段长度，解题时注意线段和差关系的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要完成角平分线分线段成比例定理的证明，首先结合所作平行线CE//DA，利用平行线分线段成比例先得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，再结合平行线的角的性质和角平分线的条件，证明∠ACE=∠E，通过等角对等边得到AE=AC，将AE替换为AC即可得到要证的结论。
(2) 第二问直接应用已证明的角平分线分线段成比例定理，把CD转化为BC-BD，代入已知边长列方程求解BD即可。
【解析】
(1) 如题图②，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E。
∵ CE//DA，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，∠CAD = ∠ACE，∠BAD = ∠E。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∴ ∠ACE = ∠E。
∴ AE = AC。
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2)
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
∵ AB = 5 cm，AC = 4 cm，BC = 7 cm，CD=BC-BD=7-BD，
∴ $\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$，
交叉相乘得$5(7-BD)=4BD$，
整理得$35=9BD$，
解得 $BD=\frac{35}{9}$ cm。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析；
(2) $BD=\frac{35}{9}$ cm
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形判定，角平分线分线段成比例
【点评】
本题包含定理推导和定理应用两个模块，推导过程中通过构造平行线完成比例和角的转化，应用部分结合比例关系列方程求解线段长度，解题时注意线段和差关系的灵活运用。
【难度系数】
0.7
