8. (长沙中考)如图,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1) 求证:△ABC≌△ADE;
(2) 若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.

(1) 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中, $\because \begin{cases} BC = DE, \\ ∠B = ∠D, \\ AB = AD, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ ADE$
(2) 由(1)知,$△ ABC ≌ △ ADE, \therefore AC=AE, ∠BAC=∠DAE=60°. \therefore ∠AEC=∠ACE. \because ∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°, \therefore ∠ACE=60°$

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，刚好符合全等三角形边角边（SAS）的判定要求，即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，因此可直接用SAS判定完成证明。
(2) 求∠ACE的度数时，先利用第一问全等的结论，得到对应边AC=AE、对应角∠DAE=∠BAC=60°，可知△ACE是顶角为60°的等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等、三角形内角和为180°的性质，即可计算出∠ACE的度数。
【解析】
(1) 在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\because \begin{cases} BC = DE, \\ ∠B = ∠D, \\ AB = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE \ (\mathrm{SAS})$
(2) 由(1)知$△ ABC ≌ △ ADE$，
$\therefore AC=AE$，$∠BAC=∠DAE=60°$，
$\therefore ∠AEC=∠ACE$，
$\because ∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°$，
$\therefore ∠ACE=60°$
【答案】
(1) 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中, $\because \begin{cases} BC = DE, \\ ∠B = ∠D, \\ AB = AD, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ ADE$
(2) $∠ ACE=60°$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质的应用，解题关键是准确匹配全等三角形的对应边、对应角，结合内角和公式完成角度计算，属于几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7

9. 如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD,则图中的全等三角形共有 【 】

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AC平分∠BAD，可得∠BAC=∠DAC，结合已知AB=AD，先找含公共边AC的△ADC和△ABC，可通过SAS判定二者全等；得到这对全等后，可推出对应边DC=BC、对应角∠DCA=∠BCA，再结合公共边CE可判定△DCE和△BCE全等；另外结合公共边AE，还可判定△ADE和△ABE全等，最后统计全等三角形的总对数即可。
【解析】
我们依次证明全等三角形：
1. 证明$△ ADC ≌ △ ABC$：
∵AC平分$∠ BAD$，
∴$∠ DAC = ∠ BAC$，
在$△ ADC$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}AD = AB（已知）\\∠ DAC = ∠ BAC（角平分线定义）\\AC = AC（公共边）\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ ABC（SAS）$，可得$DC=BC$，$∠ DCA=∠ BCA$。
2. 证明$△ ADE ≌ △ ABE$：
在$△ ADE$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}AD = AB（已知）\\∠ DAE = ∠ BAE（角平分线定义）\\AE = AE（公共边）\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ ABE（SAS）$，可得$DE=BE$。
3. 证明$△ DCE ≌ △ BCE$：
在$△ DCE$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}DC = BC（已证）\\∠ DCE = ∠ BCE（已证）\\CE = CE（公共边）\end{cases}$
∴$△ DCE ≌ △ BCE（SAS）$。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要先利用已知条件证明第一对全等，再将全等得到的边、角相等作为后续证明的条件，结合公共边这一隐含条件逐步推导，注意不要漏数全等三角形。
【难度系数】
0.7

10. 如图，AD是$△ ABC$的高，$AD=BD$，$DE=DC$，$∠ BAC=75°$，则$∠ DBE$的度数是
【 】

A.$45°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$10°$

B

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先根据AD是△ABC的高可得∠ADB=∠ADC=90°，结合AD=BD可判断△ABD是等腰直角三角形，求出∠BAD的度数；②用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数；③再根据BD=AD、∠BDE=∠ADC、DE=DC，利用“SAS”证明△BDE和△ADC全等；④根据全等三角形对应角相等，可得∠DBE=∠DAC，即可求出结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=75°-45°=30°，
在△BDE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BD=AD（已知）\\∠BDE=∠ADC=90°（已证）\\DE=DC（已知）\end{array} $
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴∠DBE=∠DAC=30°。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过全等三角形实现未知角和已知角的转化，同时需要结合等腰直角三角形的角度特征计算相关角的度数，能够很好地考察学生对边角边判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.7

11. 如图，CA平分∠DCB，BC=DC，DA的延长线交BC于点E.若∠CAE=49°，则∠BAE的度数为.

11. $82°$

【分析】
首先根据角平分线的定义可得一组相等的角，结合题中给出的BC=DC以及公共边AC，可利用SAS判定定理证明△ABC和△ADC全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再结合已知∠CAE的度数，利用邻补角的性质先求出∠DAC的度数，最后通过角度的和差关系计算出∠BAE的度数即可。
【解析】
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠BCA。
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l} BC=DC\\ ∠BCA=∠DCA\\ AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠BAC=∠DAC。
∵∠CAE=49°，∠DAC与∠CAE互为邻补角，
∴∠DAC=180°-∠CAE=180°-49°=131°，
∴∠BAC=131°，
∴∠BAE=∠BAC - ∠CAE=131°-49°=82°。
【答案】
$82°$
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础的几何计算题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是找准全等三角形的对应边和对应角，结合角度的基本性质完成计算，是对全等三角形基础应用的典型考查。
【难度系数】
0.7

12. 如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$∠ BAC = ∠ DAE$，$∠ 1 = 25°$，$∠ 2 = 30°$，则$∠ 3 =$ 。

12. $55°$

【分析】
解题时首先观察已知条件：已知∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共部分∠DAC即可得到∠1=∠CAE，结合给出的两组边相等AB=AC、AD=AE，可通过“SAS”判定△BAD与△CAE全等；再利用全等三角形对应角相等得到∠ABD=∠2，最后根据三角形外角的性质，∠3是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠1与∠ABD之和，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1 = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠1 = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴△BAD ≌ △CAE（SAS），
∴∠ABD = ∠2 = 30°。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3 = ∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°。
【答案】
$55°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是先推导角相等证明三角形全等，再结合外角性质求解角度，属于全等三角形应用的常规题型，熟练掌握全等判定和外角性质是解题关键。
【难度系数】
0.7