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13.（陕西中考）如图，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$.过点$A$作$AE ⊥ BC$，垂足为$E$，延长$EA$至点$D$，使$AD=AC$.在边$AC$上截取$AF=AB$，连结$DF$.求证：$DF=CB$.
答案
在 $△ ABC$ 中,$∠B=50°, ∠C=20°, \therefore ∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. \because AE ⊥ BC, \therefore ∠AEC=90°. \therefore ∠DAF=∠AEC+∠C=110°. \therefore ∠DAF=∠CAB$. 在 $△ DAF$ 和 $△ CAB$ 中, $\because \begin{cases} AD = AC, \\ ∠DAF = ∠CAB, \\ AF = AB, \end{cases} \therefore △ DAF ≌ △ CAB. \therefore DF = CB$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，DF在△DAF中，CB在△CAB中，因此目标是证明△DAF≌△CAB。已知条件给出AD=AC、AF=AB，已经满足两组对应边相等，根据SAS的判定规则，只需再证明两组边的夹角∠DAF=∠CAB即可。接下来先通过三角形内角和计算∠CAB的度数，再结合AE⊥BC的条件推导∠DAF的度数，验证两个角相等后即可证得全等，最终得到对应边相等的结论。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-20°=110°$。
$\because AE⊥ BC$，$\therefore ∠ AEC=90°$，
根据三角形外角的性质，$∠ DAF=∠ AEC+∠ C=90°+20°=110°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CAB$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\begin{cases}AD = AC(\mathrm{已知}) \\∠ DAF = ∠ CAB(\mathrm{已证}) \\AF = AB(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=CB$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和定理；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心是利用SAS判定三角形全等得到对应边相等，解题的关键是推导得出两组对应边的夹角相等，能够有效巩固全等三角形判定与性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，DF在△DAF中，CB在△CAB中，因此目标是证明△DAF≌△CAB。已知条件给出AD=AC、AF=AB，已经满足两组对应边相等，根据SAS的判定规则，只需再证明两组边的夹角∠DAF=∠CAB即可。接下来先通过三角形内角和计算∠CAB的度数，再结合AE⊥BC的条件推导∠DAF的度数，验证两个角相等后即可证得全等，最终得到对应边相等的结论。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-20°=110°$。
$\because AE⊥ BC$，$\therefore ∠ AEC=90°$，
根据三角形外角的性质，$∠ DAF=∠ AEC+∠ C=90°+20°=110°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CAB$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\begin{cases}AD = AC(\mathrm{已知}) \\∠ DAF = ∠ CAB(\mathrm{已证}) \\AF = AB(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=CB$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和定理；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心是利用SAS判定三角形全等得到对应边相等，解题的关键是推导得出两组对应边的夹角相等，能够有效巩固全等三角形判定与性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
14. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，$EA ⊥ AD$，$FD ⊥ AD$，$AE=DF$，$AB=DC$。
求证：$∠ ACE=∠ DBF$。
求证：$∠ ACE=∠ DBF$。
答案
提示:可证明 $△ EAC ≌ △ FDB$
解析
【分析】
要证明∠ACE=∠DBF，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先由垂直的定义可得∠A和∠D均为90°；再结合已知AB=DC，利用线段和的性质可推出AC=DB；此时已知AE=DF，满足全等三角形SAS的判定条件，证得△EAC≌△FDB后，根据全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
证明：
$\because EA⊥ AD$，$FD⊥ AD$，
$\therefore ∠ A=∠ D=90°$，
$\because AB=DC$，
$\therefore AB+BC=DC+BC$，即$AC=DB$，
在$△ EAC$和$△ FDB$中：
$\begin{cases}AE=DF(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ D(\mathrm{已证}),\\AC=DB(\mathrm{已证}),\end{cases}$
$\therefore △ EAC≌△ FDB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF(\mathrm{全等三角形的对应角相等})$。
【答案】
$∠ ACE=∠ DBF$，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是先通过线段和差得到相等的边，结合垂直得到的等角，用SAS证明全等后推导对应角相等，侧重考察对全等判定、性质的基础应用能力和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠ACE=∠DBF，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先由垂直的定义可得∠A和∠D均为90°；再结合已知AB=DC，利用线段和的性质可推出AC=DB；此时已知AE=DF，满足全等三角形SAS的判定条件，证得△EAC≌△FDB后，根据全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
证明：
$\because EA⊥ AD$，$FD⊥ AD$，
$\therefore ∠ A=∠ D=90°$，
$\because AB=DC$，
$\therefore AB+BC=DC+BC$，即$AC=DB$，
在$△ EAC$和$△ FDB$中：
$\begin{cases}AE=DF(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ D(\mathrm{已证}),\\AC=DB(\mathrm{已证}),\end{cases}$
$\therefore △ EAC≌△ FDB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF(\mathrm{全等三角形的对应角相等})$。
【答案】
$∠ ACE=∠ DBF$，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是先通过线段和差得到相等的边，结合垂直得到的等角，用SAS证明全等后推导对应角相等，侧重考察对全等判定、性质的基础应用能力和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
15. 如图,已知点B、C、E在同一条直线上,△ABC和△DCE均为等边三角形,连结AE、BD.
(1) 求证:AE=BD.
(2) 若把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度,(1)中的结论还成立吗?请画出图形进行说明.
(1) 求证:AE=BD.
(2) 若把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度,(1)中的结论还成立吗?请画出图形进行说明.
答案
提示:(1) 可证明$△ ACE≌△ BCD$
(2) (1)中的结论仍成立,仍可证明$△ ACE≌△ BCD$,画图略
(2) (1)中的结论仍成立,仍可证明$△ ACE≌△ BCD$,画图略
解析
【分析】
(1) 要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等，本题可通过证△ACE≌△BCD推得结论。首先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等：AC=BC、DC=EC，再通过角的和差关系推导出两组边的夹角∠ACE=∠BCD，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 旋转不改变图形的形状和大小，因此旋转后等边三角形的边长、内角度数均保持不变，依旧能得到AC=BC、DC=EC，且∠ACB=∠DCE=60°，仍然可以通过角的和差得到∠ACE=∠BCD，全等关系依旧成立，因此AE=BD的结论不变。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACE=∠BCD \\EC=DC\end{array} $
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD。
(2) 解：(1)中的结论仍然成立。
理由：将△DCE绕点C旋转任意角度后，△ABC和△DCE仍为等边三角形，因此AC=BC、DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°恒成立，可通过∠ACB ± ∠ACD = ∠DCE ± ∠ACD（符号由旋转位置决定）得到∠BCD=∠ACE，仍可通过SAS证明△ACE≌△BCD，因此AE=BD仍成立。（画图略）
【答案】
(1) 可证明△ACE≌△BCD，故AE=BD成立；(2) (1)中的结论仍成立，仍可证明△ACE≌△BCD，画图略。
【知识点】
等边三角形的性质；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，解题核心是抓住等边三角形边、角的不变性，通过角的和差推导得到全等所需的夹角相等条件，旋转类问题要注意分析图形变化中的不变量，掌握该类模型可快速解决同类证明题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等，本题可通过证△ACE≌△BCD推得结论。首先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等：AC=BC、DC=EC，再通过角的和差关系推导出两组边的夹角∠ACE=∠BCD，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 旋转不改变图形的形状和大小，因此旋转后等边三角形的边长、内角度数均保持不变，依旧能得到AC=BC、DC=EC，且∠ACB=∠DCE=60°，仍然可以通过角的和差得到∠ACE=∠BCD，全等关系依旧成立，因此AE=BD的结论不变。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACE=∠BCD \\EC=DC\end{array} $
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD。
(2) 解：(1)中的结论仍然成立。
理由：将△DCE绕点C旋转任意角度后，△ABC和△DCE仍为等边三角形，因此AC=BC、DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°恒成立，可通过∠ACB ± ∠ACD = ∠DCE ± ∠ACD（符号由旋转位置决定）得到∠BCD=∠ACE，仍可通过SAS证明△ACE≌△BCD，因此AE=BD仍成立。（画图略）
【答案】
(1) 可证明△ACE≌△BCD，故AE=BD成立；(2) (1)中的结论仍成立，仍可证明△ACE≌△BCD，画图略。
【知识点】
等边三角形的性质；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，解题核心是抓住等边三角形边、角的不变性，通过角的和差推导得到全等所需的夹角相等条件，旋转类问题要注意分析图形变化中的不变量，掌握该类模型可快速解决同类证明题。
【难度系数】
0.7
