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9. (2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如图8所示,其中射线OP为∠AOB的平分线的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要判断射线OP是否为∠AOB的平分线，需逐个分析每个图的作图依据，结合全等三角形判定、角平分线判定、等腰三角形性质、平行线性质逐一验证：先回忆标准角平分线尺规作图的原理，再分析非标准作图能否推出∠AOP=∠BOP即可。
【解析】
我们逐个分析4个图形：
1. 第一个图：是标准的角平分线尺规作图。作图步骤为：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于C，交OB于D；②分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P；③作射线OP。由作图可知$OC=OD$，$CP=DP$，又OP为公共边，根据SSS可证$△ OCP ≌ △ ODP$，得$∠ COP=∠ DOP$，故OP是∠AOB的平分线，符合要求。
2. 第二个图：作图痕迹无法推出$∠ AOP=∠ BOP$，无法证明OP是角平分线，不符合要求。
3. 第三个图：由作图痕迹可知$PC// OB$，且$OC=PC$。因为$PC// OB$，所以$∠ CPO=∠ POB$（两直线平行，内错角相等）；又$OC=PC$，所以$∠ COP=∠ CPO$（等边对等角），因此$∠ COP=∠ POB$，故OP平分∠AOB，符合要求。
4. 第四个图：由作图可知$OC=OD$，$CP=DP$，OP为公共边，根据SSS可证$△ OCP ≌ △ ODP$，得$∠ COP=∠ DOP$，故OP是∠AOB的平分线，符合要求。
综上，符合要求的共有3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；平行线与等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查角平分线的判定，既需要掌握标准的角平分线作图原理，也能灵活运用几何性质分析非标准的作图方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断射线OP是否为∠AOB的平分线，需逐个分析每个图的作图依据，结合全等三角形判定、角平分线判定、等腰三角形性质、平行线性质逐一验证：先回忆标准角平分线尺规作图的原理，再分析非标准作图能否推出∠AOP=∠BOP即可。
【解析】
我们逐个分析4个图形：
1. 第一个图：是标准的角平分线尺规作图。作图步骤为：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于C，交OB于D；②分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P；③作射线OP。由作图可知$OC=OD$，$CP=DP$，又OP为公共边，根据SSS可证$△ OCP ≌ △ ODP$，得$∠ COP=∠ DOP$，故OP是∠AOB的平分线，符合要求。
2. 第二个图：作图痕迹无法推出$∠ AOP=∠ BOP$，无法证明OP是角平分线，不符合要求。
3. 第三个图：由作图痕迹可知$PC// OB$，且$OC=PC$。因为$PC// OB$，所以$∠ CPO=∠ POB$（两直线平行，内错角相等）；又$OC=PC$，所以$∠ COP=∠ CPO$（等边对等角），因此$∠ COP=∠ POB$，故OP平分∠AOB，符合要求。
4. 第四个图：由作图可知$OC=OD$，$CP=DP$，OP为公共边，根据SSS可证$△ OCP ≌ △ ODP$，得$∠ COP=∠ DOP$，故OP是∠AOB的平分线，符合要求。
综上，符合要求的共有3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；平行线与等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查角平分线的判定，既需要掌握标准的角平分线作图原理，也能灵活运用几何性质分析非标准的作图方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10. (2024·广州)如图9,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,AB=AC=6,D$为边$BC$的中点,点$E、F$分别在边$AB、AC$上,$AE=CF$,则四边形$AEDF$的面积为 ()
A.18
B.$9\sqrt{2}$
C.9
D.$6\sqrt{2}$
A.18
B.$9\sqrt{2}$
C.9
D.$6\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，优先考虑连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质可得AD=CD，∠EAD=∠C=45°；再结合已知AE=CF，可证明△AED≌△CFD，将四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积即可快速求解，无需单独计算各小部分面积，通过面积转化简化运算。
【解析】
连接AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×6=18$，
∵ D是BC的中点，
∴ AD=CD，∠EAD=∠BAD=45°，
∴ ∠EAD=∠C，
在$△ AED$和$△ CFD$中：
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\∠ EAD=∠ C \\AD=CD\end{array} $
∴ $△ AED ≌ △ CFD$（SAS），
∴ $S_{△ AED}=S_{△ CFD}$，
∴ $S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ACD}$，
∵ D为BC中点，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×18=9$，
即四边形AEDF的面积为9。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何中面积计算的常见题型，核心解题思路是通过构造全等三角形实现面积转化，省略了单独计算各部分面积的繁琐步骤，重点考查对等腰直角三角形性质和全等判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形和已知条件，△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，优先考虑连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质可得AD=CD，∠EAD=∠C=45°；再结合已知AE=CF，可证明△AED≌△CFD，将四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积即可快速求解，无需单独计算各小部分面积，通过面积转化简化运算。
【解析】
连接AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×6=18$，
∵ D是BC的中点，
∴ AD=CD，∠EAD=∠BAD=45°，
∴ ∠EAD=∠C，
在$△ AED$和$△ CFD$中：
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\∠ EAD=∠ C \\AD=CD\end{array} $
∴ $△ AED ≌ △ CFD$（SAS），
∴ $S_{△ AED}=S_{△ CFD}$，
∴ $S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ACD}$，
∵ D为BC中点，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×18=9$，
即四边形AEDF的面积为9。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何中面积计算的常见题型，核心解题思路是通过构造全等三角形实现面积转化，省略了单独计算各部分面积的繁琐步骤，重点考查对等腰直角三角形性质和全等判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是.
11. 将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是.
答案
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
解析
【分析】
要将命题改写成“如果……，那么……”的形式，首先要明确命题由条件和结论两部分组成，“如果”后面接命题的条件，“那么”后面接命题的结论。对于本题，先拆分原命题：原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”，将两部分分别对应填入“如果”和“那么”之后，保证语句通顺即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的条件和结论：
条件：一个三角形是等腰三角形；
结论：这个三角形的两个底角相等。
第二步：将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，整理得到规范表述。
【答案】
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
【知识点】
1.命题的构成 2.命题改写
【点评】
本题属于基础题型，考查命题改写的基本方法，解题核心是准确区分命题中的条件和结论，掌握方法后不易出错。
【难度系数】
0.9
要将命题改写成“如果……，那么……”的形式，首先要明确命题由条件和结论两部分组成，“如果”后面接命题的条件，“那么”后面接命题的结论。对于本题，先拆分原命题：原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”，将两部分分别对应填入“如果”和“那么”之后，保证语句通顺即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的条件和结论：
条件：一个三角形是等腰三角形；
结论：这个三角形的两个底角相等。
第二步：将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，整理得到规范表述。
【答案】
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
【知识点】
1.命题的构成 2.命题改写
【点评】
本题属于基础题型，考查命题改写的基本方法，解题核心是准确区分命题中的条件和结论，掌握方法后不易出错。
【难度系数】
0.9
12. (2024·湖南)等腰三角形一个底角的度数是40°,则其顶角的度数为.
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角度数相等，再结合三角形内角和为180°的定理推导即可。已知一个底角为40°，可先确定另一个底角的度数，再用内角和减去两个底角的度数，就能求出顶角的度数。
【解析】解：
∵ 等腰三角形的两个底角度数相等，已知一个底角是40°，
∴ 该等腰三角形的另一个底角也为40°，
又
∵ 任意三角形的内角和为180°，
∴ 顶角的度数 = 180° - 40° - 40° = 100°。
【答案】$\boldsymbol{100°}$
【知识点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是基础类题型，主要考察基础几何性质的直接应用，熟记相关定理和性质即可快速求解，得分率较高。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵ 等腰三角形的两个底角度数相等，已知一个底角是40°，
∴ 该等腰三角形的另一个底角也为40°，
又
∵ 任意三角形的内角和为180°，
∴ 顶角的度数 = 180° - 40° - 40° = 100°。
【答案】$\boldsymbol{100°}$
【知识点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是基础类题型，主要考察基础几何性质的直接应用，熟记相关定理和性质即可快速求解，得分率较高。
【难度系数】0.9
13. (2024·镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.
答案
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为6，则三边长为2，2，6。
因为2+2=4＜6，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为6，底边长为2，则三边长为6，6，2。
因为2+6＞6，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，第三边长为6。
① 若腰长为2，底边长为6，则三边长为2，2，6。
因为2+2=4＜6，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为6，底边长为2，则三边长为6，6，2。
因为2+6＞6，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，第三边长为6。
解析
【分析】
已知等腰三角形给出两条边长求第三边，首先要明确等腰三角形的腰和底未明确说明，因此需要分两种情况分类讨论：①假设2为腰长，6为底边长；②假设6为腰长，2为底边长。再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”对两种情况逐一验证，不符合三边关系的情况舍去，最终得到符合条件的第三边长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为6，则三边长为2，2，6。
因为2+2=4＜6，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为6，底边长为2，则三边长为6，6，2。
因为2+6＞6，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，第三边长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的基础易错题，解题核心是当等腰三角形未明确腰和底边时，必须先分类讨论，且所有情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免忽略构成三角形的前提条件导致错解。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形给出两条边长求第三边，首先要明确等腰三角形的腰和底未明确说明，因此需要分两种情况分类讨论：①假设2为腰长，6为底边长；②假设6为腰长，2为底边长。再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”对两种情况逐一验证，不符合三边关系的情况舍去，最终得到符合条件的第三边长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为6，则三边长为2，2，6。
因为2+2=4＜6，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为6，底边长为2，则三边长为6，6，2。
因为2+6＞6，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，第三边长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的基础易错题，解题核心是当等腰三角形未明确腰和底边时，必须先分类讨论，且所有情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免忽略构成三角形的前提条件导致错解。
【难度系数】
0.7
14. (2024·宿迁)如图10,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=30°$,AD是高,以点A为圆心、AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B、E为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在$∠ BAC$的内部交于点F,作射线AF,则$∠ DAF=$°.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合题中的尺规作图特征，判断出AF是∠BAC的角平分线，由此求出∠BAF的度数；接着根据AD是高，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后通过角度的和差关系，用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 30° = 100°$
由尺规作图的步骤可知，AF是∠BAC的角平分线，因此：
$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB = 90°$
在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 50° = 40°$
∴$∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 50° - 40° = 10°$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是正确识别尺规作图得到的角平分线，再结合三角形的基本性质进行角度和差运算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合题中的尺规作图特征，判断出AF是∠BAC的角平分线，由此求出∠BAF的度数；接着根据AD是高，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后通过角度的和差关系，用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 30° = 100°$
由尺规作图的步骤可知，AF是∠BAC的角平分线，因此：
$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB = 90°$
在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 50° = 40°$
∴$∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 50° - 40° = 10°$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是正确识别尺规作图得到的角平分线，再结合三角形的基本性质进行角度和差运算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
15. 如图11,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$∠ BAC=∠ DAE=40°$,将$△ ADE$绕点A顺时针旋转一定角度,当$AD ⊥ BC$时,$∠ BAE$的度数是.
答案
$\boldsymbol{20°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，当AD⊥BC时，结合等腰三角形三线合一的性质，可求出∠BAD的度数；再根据旋转的性质可知∠DAE的度数始终为40°，最后通过角的和差关系即可求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴△ABC为等腰三角形，
当AD⊥BC时，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵△ADE绕点A旋转过程中∠DAE大小不变，即$∠ DAE=40°$，
∴$∠ BAE=∠ DAE-∠ BAD=40°-20°=20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查等腰三角形三线合一的应用，结合旋转前后对应角相等的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据已知AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，当AD⊥BC时，结合等腰三角形三线合一的性质，可求出∠BAD的度数；再根据旋转的性质可知∠DAE的度数始终为40°，最后通过角的和差关系即可求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴△ABC为等腰三角形，
当AD⊥BC时，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵△ADE绕点A旋转过程中∠DAE大小不变，即$∠ DAE=40°$，
∴$∠ BAE=∠ DAE-∠ BAD=40°-20°=20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查等腰三角形三线合一的应用，结合旋转前后对应角相等的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
