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4. 如图3,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B、C到杆脚E的距离相等,且B、E、C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC. 工程人员这种操作方法的依据是 ()
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从题目描述中提取核心条件：①固定绳AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，BC为底边；②固定点B、C到E的距离相等，即BE=CE，说明E是底边BC的中点，AE是等腰△ABC底边BC的中线。题目需要证明AE⊥BC，此时对应等腰三角形的性质回忆，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合（即三线合一），即可匹配到对应依据。再排除错误选项：A选项等边对等角是边相等推导角相等的性质，和垂直无关；B选项垂线段最短是描述线段长度的大小关系，不符合题意；D选项是线段垂直平分线的性质，逻辑是“点在垂直平分线上→到线段两端距离相等”，与本题推导逻辑不符。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为其底边。
又
∵BE=CE，
∴AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合，可得AE⊥BC，即电线杆DE垂直于BC。
因此该操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形“三线合一”
【点评】
本题结合实际工程场景考查几何性质的应用，属于基础应用题，解题关键是能够从生活场景中抽象出等腰三角形、底边中点等几何要素，再匹配对应的性质即可解决问题，需要学会将实际问题转化为几何模型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目描述中提取核心条件：①固定绳AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，BC为底边；②固定点B、C到E的距离相等，即BE=CE，说明E是底边BC的中点，AE是等腰△ABC底边BC的中线。题目需要证明AE⊥BC，此时对应等腰三角形的性质回忆，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合（即三线合一），即可匹配到对应依据。再排除错误选项：A选项等边对等角是边相等推导角相等的性质，和垂直无关；B选项垂线段最短是描述线段长度的大小关系，不符合题意；D选项是线段垂直平分线的性质，逻辑是“点在垂直平分线上→到线段两端距离相等”，与本题推导逻辑不符。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为其底边。
又
∵BE=CE，
∴AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合，可得AE⊥BC，即电线杆DE垂直于BC。
因此该操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形“三线合一”
【点评】
本题结合实际工程场景考查几何性质的应用，属于基础应用题，解题关键是能够从生活场景中抽象出等腰三角形、底边中点等几何要素，再匹配对应的性质即可解决问题，需要学会将实际问题转化为几何模型。
【难度系数】
0.8
5. 如图4,点P在$∠ BAC$的平分线AD上,$PE ⊥ AB$于点E,$PF ⊥ AC$于点F,则下列结论错误的是 ()
A.$PE=PF$
B.$AE=AF$
C.$△ APE ≌ △ APF$
D.$AP=PE+PF$
A.$PE=PF$
B.$AE=AF$
C.$△ APE ≌ △ APF$
D.$AP=PE+PF$
答案
D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AD是∠BAC的平分线，点P在AD上，PE、PF分别是点P到角两边AB、AC的垂线段。首先根据角平分线的性质可直接判断PE和PF的关系；再结合公共边AP，可判定两个直角三角形全等，进而由全等性质判断AE与AF的关系；最后分析D选项，可通过举反例验证该等式不恒成立，从而选出错误结论。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，P在AD上，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：PE=PF，故A选项结论正确，不符合题意；
在Rt△APE和Rt△APF中：
$\{\begin{array}{l}AP=AP\quad(\mathrm{公共边})\\PE=PF\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴Rt△APE≌Rt△APF（HL），故C选项结论正确，不符合题意；
由全等三角形的对应边相等可得：AE=AF，故B选项结论正确，不符合题意；
对于D选项，不存在定理支持AP=PE+PF，可举反例验证：若∠BAC=90°，则∠EAP=45°，此时PE=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}AP$，则$PE+PF=\sqrt{2}AP≠ AP$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线与全等三角形的综合应用，难度较低，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键，做题时注意看清题干要求，是选择错误的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AD是∠BAC的平分线，点P在AD上，PE、PF分别是点P到角两边AB、AC的垂线段。首先根据角平分线的性质可直接判断PE和PF的关系；再结合公共边AP，可判定两个直角三角形全等，进而由全等性质判断AE与AF的关系；最后分析D选项，可通过举反例验证该等式不恒成立，从而选出错误结论。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，P在AD上，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：PE=PF，故A选项结论正确，不符合题意；
在Rt△APE和Rt△APF中：
$\{\begin{array}{l}AP=AP\quad(\mathrm{公共边})\\PE=PF\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴Rt△APE≌Rt△APF（HL），故C选项结论正确，不符合题意；
由全等三角形的对应边相等可得：AE=AF，故B选项结论正确，不符合题意；
对于D选项，不存在定理支持AP=PE+PF，可举反例验证：若∠BAC=90°，则∠EAP=45°，此时PE=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}AP$，则$PE+PF=\sqrt{2}AP≠ AP$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线与全等三角形的综合应用，难度较低，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键，做题时注意看清题干要求，是选择错误的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
6. 如图5，在$△ MPN$中，H是高MQ和NR的交点，且$MQ=NQ$，已知$PQ=5$，$NQ=9$，则$MH$的长为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
要求MH的长度，观察图形可得MH=MQ-HQ，已知MQ=NQ=9，因此只需算出HQ的长度即可求解。首先根据三角形高的性质可得多个直角，再利用同角的余角相等推出一组角相等，结合已知MQ=NQ、一组直角相等，即可证明△MQP和△NQH全等，利用全等三角形对应边相等得到HQ=PQ，最后代入计算即可得出MH的长。
【解析】
∵ MQ、NR是△MPN的高，
∴ ∠MQP=∠NQH=∠NRP=90°，
∴ ∠PMQ + ∠P = 90°，∠HNQ + ∠P = 90°，
∴ ∠PMQ=∠HNQ（同角的余角相等）。
在△MQP和△NQH中：
$\{\begin{array}{l}∠PMQ=∠HNQ \\MQ=NQ \\∠MQP=∠NQH=90°\end{array} $
∴ △MQP≌△NQH（ASA），
∴ PQ=HQ。
∵ PQ=5，
∴ HQ=5，
又
∵ MQ=NQ=9，
∴ MH=MQ - HQ=9 - 5=4。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
3. 三角形高的定义
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题目，解题核心是通过角的互余关系找到相等的角，进而构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
要求MH的长度，观察图形可得MH=MQ-HQ，已知MQ=NQ=9，因此只需算出HQ的长度即可求解。首先根据三角形高的性质可得多个直角，再利用同角的余角相等推出一组角相等，结合已知MQ=NQ、一组直角相等，即可证明△MQP和△NQH全等，利用全等三角形对应边相等得到HQ=PQ，最后代入计算即可得出MH的长。
【解析】
∵ MQ、NR是△MPN的高，
∴ ∠MQP=∠NQH=∠NRP=90°，
∴ ∠PMQ + ∠P = 90°，∠HNQ + ∠P = 90°，
∴ ∠PMQ=∠HNQ（同角的余角相等）。
在△MQP和△NQH中：
$\{\begin{array}{l}∠PMQ=∠HNQ \\MQ=NQ \\∠MQP=∠NQH=90°\end{array} $
∴ △MQP≌△NQH（ASA），
∴ PQ=HQ。
∵ PQ=5，
∴ HQ=5，
又
∵ MQ=NQ=9，
∴ MH=MQ - HQ=9 - 5=4。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
3. 三角形高的定义
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题目，解题核心是通过角的互余关系找到相等的角，进而构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
7. (2024·遂宁)如图6①,△ABC与△A₁B₁C₁满足∠A=∠A₁,AC=A₁C₁,BC=B₁C₁,∠C≠∠C₁,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图6②,在△ABC中,AB=AC,点D、E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形” ()
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
【分析】
首先明确“伪全等三角形”的定义：两个三角形满足一角相等、该角的一条邻边相等、该角的对边相等（即SSA对应相等），但不全等。解题时先由AB=AC推出∠B=∠C，由BE=CD推出BD=CE，先通过SAS判定出全等的三角形对并排除，再逐一排查剩余三角形组合，验证是否符合伪全等的定义即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，因此∠B=∠C；
又
∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE。
第一步，先判定全等三角形并排除：
①在△ABD和△ACE中：$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ B=∠ C\\ BD=CE\end{array} $，
∴△ABD≌△ACE（SAS），不属于伪全等；
②在△ABE和△ACD中：$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ B=∠ C\\ BE=CD\end{array} $，
∴△ABE≌△ACD（SAS），不属于伪全等。
第二步，查找伪全等三角形：
1. △ABD和△ABE：公共角∠B=∠B，公共边AB=AB（∠B的邻边），由△ABD≌△ACE得AD=AE，即∠B的对边AD=AE，且BE=BD+DE≠BD，两三角形不全等，符合伪全等定义，是第1对；
2. △ACE和△ACD：公共角∠C=∠C，公共边AC=AC（∠C的邻边），由△ABD≌△ACE得AD=AE，即∠C的对边AE=AD，且CD=CE+DE≠CE，两三角形不全等，符合伪全等定义，是第2对；
3. △ABD和△ACD：∠B=∠C，AB=AC（∠B、∠C的邻边），公共边AD=AD（∠B、∠C的对边），且BD≠CD，两三角形不全等，符合伪全等定义，是第3对。
综上共有3对伪全等三角形。
【答案】C
【知识点】
新定义理解，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是新定义结合三角形性质的题型，解题核心是先吃透伪全等的判定标准，再结合等腰三角形的边角性质，先排除全等的三角形组合，再逐一验证剩余组合即可，易错点是容易漏数符合条件的三角形对。
【难度系数】
0.6
首先明确“伪全等三角形”的定义：两个三角形满足一角相等、该角的一条邻边相等、该角的对边相等（即SSA对应相等），但不全等。解题时先由AB=AC推出∠B=∠C，由BE=CD推出BD=CE，先通过SAS判定出全等的三角形对并排除，再逐一排查剩余三角形组合，验证是否符合伪全等的定义即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，因此∠B=∠C；
又
∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE。
第一步，先判定全等三角形并排除：
①在△ABD和△ACE中：$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ B=∠ C\\ BD=CE\end{array} $，
∴△ABD≌△ACE（SAS），不属于伪全等；
②在△ABE和△ACD中：$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ B=∠ C\\ BE=CD\end{array} $，
∴△ABE≌△ACD（SAS），不属于伪全等。
第二步，查找伪全等三角形：
1. △ABD和△ABE：公共角∠B=∠B，公共边AB=AB（∠B的邻边），由△ABD≌△ACE得AD=AE，即∠B的对边AD=AE，且BE=BD+DE≠BD，两三角形不全等，符合伪全等定义，是第1对；
2. △ACE和△ACD：公共角∠C=∠C，公共边AC=AC（∠C的邻边），由△ABD≌△ACE得AD=AE，即∠C的对边AE=AD，且CD=CE+DE≠CE，两三角形不全等，符合伪全等定义，是第2对；
3. △ABD和△ACD：∠B=∠C，AB=AC（∠B、∠C的邻边），公共边AD=AD（∠B、∠C的对边），且BD≠CD，两三角形不全等，符合伪全等定义，是第3对。
综上共有3对伪全等三角形。
【答案】C
【知识点】
新定义理解，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是新定义结合三角形性质的题型，解题核心是先吃透伪全等的判定标准，再结合等腰三角形的边角性质，先排除全等的三角形组合，再逐一验证剩余组合即可，易错点是容易漏数符合条件的三角形对。
【难度系数】
0.6
8. (2024·福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案. 如图7,其中△OAB与△ODC都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,点E、F分别是底边AB、CD的中点,OE⊥OF. 下列推断错误的是 ()
A.OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF
D.∠BOC+∠AOD=180°
A.OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF
D.∠BOC+∠AOD=180°
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件提取核心性质：①两个等腰三角形全等且关于直线l对称，可得对应角相等、对应线段相等；②等腰三角形三线合一，底边上的中线平分顶角；③已知OE⊥OF可得∠EOF=90°。接下来通过设角表示各角的数量关系，逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
设∠AOE=α，
∵△OAB是等腰三角形，E是AB中点，由等腰三角形三线合一得：OE平分∠AOB，
∴∠BOE=∠AOE=α，∠AOB=2α。
∵△OAB与△ODC全等且关于直线l对称，F是CD中点，同理可得：∠COF=∠DOF=α，且全等三角形对应边上的中线相等，即OE=OF，故C选项正确，不符合题意。
已知OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，即∠BOE + ∠BOC + ∠COF=90°，代入得：α + ∠BOC + α=90°，
∴∠BOC=90°-2α。
A选项：∠BOD=∠BOC + ∠COF + ∠DOF= (90°-2α) + α + α=90°，
∴OB⊥OD，A正确，不符合题意。
B选项：∠AOB=2α，∠BOC=90°-2α，二者仅当α=22.5°时相等，并非恒成立，故B错误，符合题意。
D选项：∠AOD=∠AOB + ∠BOD=2α +90°，则∠BOC + ∠AOD=(90°-2α)+(2α+90°)=180°，D正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查三角形相关性质的应用，解题关键是利用三线合一和轴对称的性质找到角之间的数量关系，通过设参数推导各角关系即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件提取核心性质：①两个等腰三角形全等且关于直线l对称，可得对应角相等、对应线段相等；②等腰三角形三线合一，底边上的中线平分顶角；③已知OE⊥OF可得∠EOF=90°。接下来通过设角表示各角的数量关系，逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
设∠AOE=α，
∵△OAB是等腰三角形，E是AB中点，由等腰三角形三线合一得：OE平分∠AOB，
∴∠BOE=∠AOE=α，∠AOB=2α。
∵△OAB与△ODC全等且关于直线l对称，F是CD中点，同理可得：∠COF=∠DOF=α，且全等三角形对应边上的中线相等，即OE=OF，故C选项正确，不符合题意。
已知OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，即∠BOE + ∠BOC + ∠COF=90°，代入得：α + ∠BOC + α=90°，
∴∠BOC=90°-2α。
A选项：∠BOD=∠BOC + ∠COF + ∠DOF= (90°-2α) + α + α=90°，
∴OB⊥OD，A正确，不符合题意。
B选项：∠AOB=2α，∠BOC=90°-2α，二者仅当α=22.5°时相等，并非恒成立，故B错误，符合题意。
D选项：∠AOD=∠AOB + ∠BOD=2α +90°，则∠BOC + ∠AOD=(90°-2α)+(2α+90°)=180°，D正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查三角形相关性质的应用，解题关键是利用三线合一和轴对称的性质找到角之间的数量关系，通过设参数推导各角关系即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
