登录
1. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的(
A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
D
).A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：质地均匀的三角形卡片能被铅笔支起保持平衡，说明支点位置是三角形的重心，接下来只需要回忆三角形各类特殊交点对应的性质，逐一匹配选项即可：先明确各选项对应的点的属性，再结合重心的定义就能选出正确答案。
【解析】
质地均匀的三角形卡片平衡时，支点即为三角形的重心。
我们逐一分析选项：
A. 三角形三边高的交点是垂心，不是重心，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心（内切圆圆心），不是重心，不符合要求；
C. 三角形三边垂直平分线的交点是外心（外接圆圆心），不是重心，不符合要求；
D. 三角形三边中线的交点是三角形的重心，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心定义；三角形特殊交点性质
【点评】
本题结合生活中的平衡场景考查三角形特殊交点的性质，需要同学们准确区分垂心、内心、外心、重心的定义和对应特征，是对基础几何概念的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确：质地均匀的三角形卡片能被铅笔支起保持平衡，说明支点位置是三角形的重心，接下来只需要回忆三角形各类特殊交点对应的性质，逐一匹配选项即可：先明确各选项对应的点的属性，再结合重心的定义就能选出正确答案。
【解析】
质地均匀的三角形卡片平衡时，支点即为三角形的重心。
我们逐一分析选项：
A. 三角形三边高的交点是垂心，不是重心，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心（内切圆圆心），不是重心，不符合要求；
C. 三角形三边垂直平分线的交点是外心（外接圆圆心），不是重心，不符合要求；
D. 三角形三边中线的交点是三角形的重心，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心定义；三角形特殊交点性质
【点评】
本题结合生活中的平衡场景考查三角形特殊交点的性质，需要同学们准确区分垂心、内心、外心、重心的定义和对应特征，是对基础几何概念的考查。
【难度系数】
0.8
2.如图，点O是△ABC的重心，连接AO，并延长交BC于点D，连接BO，并延长交AC于点E。若BC=6，AC=4，则BD+AE=
5
。答案
2.5
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点。已知点O是△ABC的重心，因此AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，中线会将对边分为长度相等的两段，因此D是BC的中点，E是AC的中点，我们只需要分别求出BD、AE的长度再求和即可。
【解析】
∵ 点O是△ABC的重心
∴ AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，即D为BC中点，E为AC中点
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$AE=\frac{1}{2}AC$
已知BC=6，AC=4，代入得：
$BD=\frac{1}{2}×6=3$，$AE=\frac{1}{2}×4=2$
∴ $BD+AE=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的定义
三角形中线的性质
【点评】
本题主要考查三角形重心的基本定义，解题关键是明确重心是三条中线的交点，中线平分对边，属于基础概念应用题，只要掌握相关定义就能快速求解。
【难度系数】
0.9
哦不对，上述结果和参考答案2.5不一致，所以应该返回：
1
要解决这道题，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点。已知点O是△ABC的重心，因此AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，中线会将对边分为长度相等的两段，因此D是BC的中点，E是AC的中点，我们只需要分别求出BD、AE的长度再求和即可。
【解析】
∵ 点O是△ABC的重心
∴ AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，即D为BC中点，E为AC中点
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$AE=\frac{1}{2}AC$
已知BC=6，AC=4，代入得：
$BD=\frac{1}{2}×6=3$，$AE=\frac{1}{2}×4=2$
∴ $BD+AE=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的定义
三角形中线的性质
【点评】
本题主要考查三角形重心的基本定义，解题关键是明确重心是三条中线的交点，中线平分对边，属于基础概念应用题，只要掌握相关定义就能快速求解。
【难度系数】
0.9
哦不对，上述结果和参考答案2.5不一致，所以应该返回：
1
3. 画出正六边形ABCDEF的重心. 
答案
3.解 如图,点O就是所求作的点。
解析
【分析】
要确定匀质正六边形的重心，首先明确规则匀质平面图形的重心与它的几何中心重合。正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形，它的几何中心是其对角线的交点，因此只需要作出正六边形两条不共线的对角线，两条对角线的交点就是正六边形的重心。
【解析】
步骤1：连接正六边形的顶点A和顶点D，得到对角线AD；
步骤2：连接正六边形的顶点C和顶点F，得到对角线CF；
步骤3：AD与CF的交点记为O，点O即为正六边形ABCDEF的重心。
【答案】
如图,点O就是所求作的点。
【知识点】
正六边形的性质，中心对称图形，规则图形重心确定
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是理解规则匀质薄板的重心与自身几何中心重合的特点，掌握正六边形几何中心的找法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定匀质正六边形的重心，首先明确规则匀质平面图形的重心与它的几何中心重合。正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形，它的几何中心是其对角线的交点，因此只需要作出正六边形两条不共线的对角线，两条对角线的交点就是正六边形的重心。
【解析】
步骤1：连接正六边形的顶点A和顶点D，得到对角线AD；
步骤2：连接正六边形的顶点C和顶点F，得到对角线CF；
步骤3：AD与CF的交点记为O，点O即为正六边形ABCDEF的重心。
【答案】
如图,点O就是所求作的点。
【知识点】
正六边形的性质，中心对称图形，规则图形重心确定
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是理解规则匀质薄板的重心与自身几何中心重合的特点，掌握正六边形几何中心的找法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.已知在平面直角坐标系上，有一个L形组合体是由长方形①和长方形②组成，长方形①的四个顶点坐标分别为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$；长方形②的四个顶点坐标分别为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$。求该L形组合体的重心坐标。
答案
4.解 设该L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$,长方形①和长方形②的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$,面积分别为$S_1,S_2$,
由题意,得 $x_1=2,y_1=1,x_2=5.5$,$y_2=3,S_1=4×2=8,S_2=3×2=6$,
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 =\frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2} y_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} y_2 =\frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,
故该L形组合体的重心坐标为$G(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$.
由题意,得 $x_1=2,y_1=1,x_2=5.5$,$y_2=3,S_1=4×2=8,S_2=3×2=6$,
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 =\frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2} y_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} y_2 =\frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,
故该L形组合体的重心坐标为$G(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$.
解析
【分析】
要计算该L形组合体的重心坐标，我们可以采用分割法，将不规则的L形拆分为两个规则的长方形：①先分别求出两个长方形各自的重心坐标，长方形的重心是其几何中心（对角线交点），横、纵坐标分别为长方形对应顶点横、纵坐标的平均值；②再计算两个长方形的面积，匀质薄板的重心可通过各部分重心按面积加权平均得到，即整体重心的横、纵坐标分别等于两个长方形对应坐标乘自身面积占总面积的比例之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
设该L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$，长方形①的重心为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形②的重心为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
1. 计算单个长方形的重心和面积：
长方形①的顶点为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$，其几何中心坐标为：
$x_1=\frac{0+4}{2}=2$，$y_1=\frac{0+2}{2}=1$
面积$S_1=4×2=8$
长方形②的顶点为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$，其几何中心坐标为：
$x_2=\frac{4+7}{2}=5.5$，$y_2=\frac{2+4}{2}=3$
面积$S_2=(7-4)×(4-2)=3×2=6$
2. 计算组合体重心坐标：
总面积$S_1+S_2=8+6=14$，根据面积加权平均计算重心：
$x=\frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2}=\frac{8×2 + 6×5.5}{14}=\frac{16+33}{14}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$
$y=\frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2}=\frac{8×1 + 6×3}{14}=\frac{8+18}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{7}{2},\frac{13}{7})}$
【知识点】
1. 组合图形重心计算
2. 矩形中心坐标求解
3. 加权平均运算
【点评】
本题是不规则图形重心求解的典型题型，核心解题思路是用割补法将不规则图形拆分为多个规则图形，利用规则图形的重心性质，结合加权平均的方法求解整体重心，既考查了矩形的基本性质，也体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
要计算该L形组合体的重心坐标，我们可以采用分割法，将不规则的L形拆分为两个规则的长方形：①先分别求出两个长方形各自的重心坐标，长方形的重心是其几何中心（对角线交点），横、纵坐标分别为长方形对应顶点横、纵坐标的平均值；②再计算两个长方形的面积，匀质薄板的重心可通过各部分重心按面积加权平均得到，即整体重心的横、纵坐标分别等于两个长方形对应坐标乘自身面积占总面积的比例之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
设该L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$，长方形①的重心为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形②的重心为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
1. 计算单个长方形的重心和面积：
长方形①的顶点为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$，其几何中心坐标为：
$x_1=\frac{0+4}{2}=2$，$y_1=\frac{0+2}{2}=1$
面积$S_1=4×2=8$
长方形②的顶点为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$，其几何中心坐标为：
$x_2=\frac{4+7}{2}=5.5$，$y_2=\frac{2+4}{2}=3$
面积$S_2=(7-4)×(4-2)=3×2=6$
2. 计算组合体重心坐标：
总面积$S_1+S_2=8+6=14$，根据面积加权平均计算重心：
$x=\frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2}=\frac{8×2 + 6×5.5}{14}=\frac{16+33}{14}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$
$y=\frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2}=\frac{8×1 + 6×3}{14}=\frac{8+18}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{7}{2},\frac{13}{7})}$
【知识点】
1. 组合图形重心计算
2. 矩形中心坐标求解
3. 加权平均运算
【点评】
本题是不规则图形重心求解的典型题型，核心解题思路是用割补法将不规则图形拆分为多个规则图形，利用规则图形的重心性质，结合加权平均的方法求解整体重心，既考查了矩形的基本性质，也体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
