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典例1 如图,有一个厚薄均匀的三角形硬纸板,现在将硬纸板水平放置,并在其上选一点,钻一个小孔,通过小孔系一条线,沿竖直方向将三角形硬纸板吊起,使其保持水平状态,若此时三角形硬纸板处于平衡状态,则这一点可能是(
A.点 N
B.点 M
C.点 P
D.点 Q
举一反三 画出正方形 ABCD 的重心.
A
).A.点 N
B.点 M
C.点 P
D.点 Q
举一反三 画出正方形 ABCD 的重心.
答案
典例1答案A
解析 通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这个点为三角形的重心，由题图可知点N为三角形的重心。故选A.
举一反三 解 如图,点O就是所求作的点。
解析
【分析】
对于典例1：首先明确匀质薄板水平悬挂平衡时，悬挂点就是薄板的重心，三角形的重心是三条中线的交点，找到对应点即可选出答案。对于举一反三：匀质规则几何图形的重心与它的几何中心重合，正方形是规则图形，几何中心为两条对角线的交点，画出该交点就是所求重心。
【解析】
典例1：厚薄均匀的三角形硬纸板是匀质薄板，当通过小孔系线竖直吊起且保持水平平衡时，小孔位置就是三角形的重心，三角形重心为三条中线的交点，结合题图可知点N为该三角形的重心，因此选A。
举一反三：正方形属于匀质规则图形，它的重心和几何中心重合，连接正方形的对角线AC、BD，两条对角线的交点O就是正方形ABCD的重心。
【答案】
典例1：A；举一反三：
【知识点】
重心的性质；三角形重心；规则图形重心
【点评】
本题考查匀质薄板重心的确定方法，悬挂法找重心利用了平衡时重心在悬挂线所在直线上的性质，规则图形可直接找几何中心得到重心，牢记重心相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
对于典例1：首先明确匀质薄板水平悬挂平衡时，悬挂点就是薄板的重心，三角形的重心是三条中线的交点，找到对应点即可选出答案。对于举一反三：匀质规则几何图形的重心与它的几何中心重合，正方形是规则图形，几何中心为两条对角线的交点，画出该交点就是所求重心。
【解析】
典例1：厚薄均匀的三角形硬纸板是匀质薄板，当通过小孔系线竖直吊起且保持水平平衡时，小孔位置就是三角形的重心，三角形重心为三条中线的交点，结合题图可知点N为该三角形的重心，因此选A。
举一反三：正方形属于匀质规则图形，它的重心和几何中心重合，连接正方形的对角线AC、BD，两条对角线的交点O就是正方形ABCD的重心。
【答案】
典例1：A；举一反三：
【知识点】
重心的性质；三角形重心；规则图形重心
【点评】
本题考查匀质薄板重心的确定方法，悬挂法找重心利用了平衡时重心在悬挂线所在直线上的性质，规则图形可直接找几何中心得到重心，牢记重心相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
举一反三 已知在平面直角坐标系上，有一个由直角三角形和长方形组成的组合体，直角三角形的直角边长均为 4，重心坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$，长方形的长为 6，宽为 3，重心坐标为$(5,\frac{7}{2})$，求这个平面组合体的重心坐标。
答案
解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$,直角三角形和长方形的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$,面积分别为$S_1,S_2$,
由题意,得 $x_1=\frac{4}{3},y_1=\frac{4}{3},x_2=5$,$y_2=\frac{7}{2},S_1=\frac{1}{2}×4×4=8,S_2=6×3=18$,
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 =\frac{8}{8+18}×\frac{4}{3}+\frac{18}{8+18}×5=\frac{151}{39}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2} y_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} y_2 =\frac{8}{8+18}×\frac{4}{3}+\frac{18}{8+18}×\frac{7}{2}=\frac{17}{6}$,
故该平面组合体的重心坐标为$G(\frac{151}{39},\frac{17}{6})$.
由题意,得 $x_1=\frac{4}{3},y_1=\frac{4}{3},x_2=5$,$y_2=\frac{7}{2},S_1=\frac{1}{2}×4×4=8,S_2=6×3=18$,
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 =\frac{8}{8+18}×\frac{4}{3}+\frac{18}{8+18}×5=\frac{151}{39}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2} y_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} y_2 =\frac{8}{8+18}×\frac{4}{3}+\frac{18}{8+18}×\frac{7}{2}=\frac{17}{6}$,
故该平面组合体的重心坐标为$G(\frac{151}{39},\frac{17}{6})$.
解析
【分析】
要求匀质平面组合体的重心，可采用加权平均的方法求解：匀质薄板的重心权重和各部分面积成正比，组合体的横、纵坐标分别等于各组成部分的重心横、纵坐标乘对应面积占总面积的比例，再相加得到。解题时第一步先计算直角三角形、长方形的面积，第二步分别代入加权公式计算组合体重心的x、y坐标即可。
【解析】
解：设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，直角三角形的重心坐标为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形的重心坐标为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
由题意得：$x_1=\frac{4}{3},y_1=\frac{4}{3},x_2=5,y_2=\frac{7}{2}$
计算两部分面积：
$S_1=\frac{1}{2}×4×4=8$
$S_2=6×3=18$
总面积为$S_1+S_2=8+18=26$
根据组合体重心的加权计算规则：
$x = \frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2} = \frac{8×\frac{4}{3} + 18×5}{26} = \frac{151}{39}$
$y = \frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2} = \frac{8×\frac{4}{3} + 18×\frac{7}{2}}{26} = \frac{17}{6}$
【答案】
$(\frac{151}{39},\frac{17}{6})$
【知识点】
1. 组合体重心计算
2. 三角形面积计算
3. 矩形面积计算
【点评】
本题考查匀质平面组合体重心的求解方法，解题核心是理解重心计算的加权逻辑，只要准确计算各部分面积，细心完成分数运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要求匀质平面组合体的重心，可采用加权平均的方法求解：匀质薄板的重心权重和各部分面积成正比，组合体的横、纵坐标分别等于各组成部分的重心横、纵坐标乘对应面积占总面积的比例，再相加得到。解题时第一步先计算直角三角形、长方形的面积，第二步分别代入加权公式计算组合体重心的x、y坐标即可。
【解析】
解：设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，直角三角形的重心坐标为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形的重心坐标为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
由题意得：$x_1=\frac{4}{3},y_1=\frac{4}{3},x_2=5,y_2=\frac{7}{2}$
计算两部分面积：
$S_1=\frac{1}{2}×4×4=8$
$S_2=6×3=18$
总面积为$S_1+S_2=8+18=26$
根据组合体重心的加权计算规则：
$x = \frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2} = \frac{8×\frac{4}{3} + 18×5}{26} = \frac{151}{39}$
$y = \frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2} = \frac{8×\frac{4}{3} + 18×\frac{7}{2}}{26} = \frac{17}{6}$
【答案】
$(\frac{151}{39},\frac{17}{6})$
【知识点】
1. 组合体重心计算
2. 三角形面积计算
3. 矩形面积计算
【点评】
本题考查匀质平面组合体重心的求解方法，解题核心是理解重心计算的加权逻辑，只要准确计算各部分面积，细心完成分数运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
典例2
解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π$，
则$x=\dfrac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\dfrac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\dfrac{4}{4+π}×1+\dfrac{π}{4+π}×3=\dfrac{4+3π}{4+π},y=\dfrac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\dfrac{S_2}{S_1+S_2}y_2=$
解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π$，
则$x=\dfrac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\dfrac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\dfrac{4}{4+π}×1+\dfrac{π}{4+π}×3=\dfrac{4+3π}{4+π},y=\dfrac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\dfrac{S_2}{S_1+S_2}y_2=$
答案
解：设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，
由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π$，
则
$\begin{aligned}x&=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3\\&=\frac{4+3π}{4+π},\end{aligned}$
$\begin{aligned}y&=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×2\\&=\frac{4+2π}{4+π},\end{aligned}$
该匀质组合薄板的重心坐标为$G(\dfrac{4+3π}{4+π},\dfrac{4+2π}{4+π})$。
由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π$，
则
$\begin{aligned}x&=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3\\&=\frac{4+3π}{4+π},\end{aligned}$
$\begin{aligned}y&=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×2\\&=\frac{4+2π}{4+π},\end{aligned}$
该匀质组合薄板的重心坐标为$G(\dfrac{4+3π}{4+π},\dfrac{4+2π}{4+π})$。
解析
【分析】
本题是求匀质组合薄板的重心问题，首先要明确：匀质平面组合体的重心可通过各基本组成图形的重心按面积加权平均计算。解题思路为：第一步先分别确定正方形、圆形两个基本图形各自的重心坐标和对应面积，再分别对x坐标、y坐标按照“(各部分面积×对应重心坐标)之和除以总面积”的规则计算，最终得到组合体的重心坐标。
【解析】
解：设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，
由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π$，
则
$\begin{aligned}x&=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3\\&=\frac{4+3π}{4+π},\end{aligned}$
$\begin{aligned}y&=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×2\\&=\frac{4+2π}{4+π},\end{aligned}$
所以该匀质组合薄板的重心坐标为$G(\dfrac{4+3π}{4+π},\dfrac{4+2π}{4+π})$。
【答案】
$G(\dfrac{4+3π}{4+π},\dfrac{4+2π}{4+π})$
【知识点】
1. 组合图形重心计算
2. 加权平均数应用
3. 基本图形面积计算
【点评】
本题属于组合图形重心计算的基础题型，核心是掌握匀质平面组合体按面积加权求重心的方法，解题时需先准确提取各基本图形的重心坐标、面积等已知量，再代入公式进行代数运算即可，侧重考查对基础公式的理解应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是求匀质组合薄板的重心问题，首先要明确：匀质平面组合体的重心可通过各基本组成图形的重心按面积加权平均计算。解题思路为：第一步先分别确定正方形、圆形两个基本图形各自的重心坐标和对应面积，再分别对x坐标、y坐标按照“(各部分面积×对应重心坐标)之和除以总面积”的规则计算，最终得到组合体的重心坐标。
【解析】
解：设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，
由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π$，
则
$\begin{aligned}x&=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3\\&=\frac{4+3π}{4+π},\end{aligned}$
$\begin{aligned}y&=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2\\&=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×2\\&=\frac{4+2π}{4+π},\end{aligned}$
所以该匀质组合薄板的重心坐标为$G(\dfrac{4+3π}{4+π},\dfrac{4+2π}{4+π})$。
【答案】
$G(\dfrac{4+3π}{4+π},\dfrac{4+2π}{4+π})$
【知识点】
1. 组合图形重心计算
2. 加权平均数应用
3. 基本图形面积计算
【点评】
本题属于组合图形重心计算的基础题型，核心是掌握匀质平面组合体按面积加权求重心的方法，解题时需先准确提取各基本图形的重心坐标、面积等已知量，再代入公式进行代数运算即可，侧重考查对基础公式的理解应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
