典例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF。
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝25°，求证BE//DF。

(2)解 ∵DF//BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，∴∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−36°−34°＝110°。
∵CD平分∠BCA，即∠1＝$\frac{1}{2}$∠ACB＝55°，∴∠2＝180°−∠A−∠1＝180°−36°−55°＝89°。
典例4
(1)解 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠CBD＝130°。
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°。
(2)证明 ∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°−65°＝25°。
∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴BE//DF。

(1)解 $\because$在$△ ABC$中，$∠ACB＝90°$，$∠A＝40°$，$\therefore ∠CBD＝130°$。
$\because BE$平分$∠CBD$，
$\therefore ∠CBE＝\frac{1}{2}∠CBD＝65°$。
(2)证明 $\because ∠ACB＝90°$，$∠CBE＝65°$，$\therefore ∠CEB＝90°−65°＝25°$。
$\because ∠F＝25°$，$\therefore ∠F＝∠CEB＝25°$，
$\therefore BE//DF$。

【分析】
(1)求∠CBE的度数时，首先利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，计算出外角∠CBD的度数，再结合BE是∠CBD的平分线，根据角平分线的定义，即可求出∠CBE的度数。
(2)证明BE//DF时，可利用平行线的判定定理推导。先在Rt△BCE中，根据直角三角形两锐角互余求出∠CEB的度数，再对比已知∠F的度数，发现二者为相等的内错角，即可根据“内错角相等，两直线平行”完成证明。
【解析】
(1)解：
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝40°+90°＝130°。
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝$\frac{1}{2}×130°$＝65°。
(2)证明：
∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°−∠CBE＝90°−65°＝25°。
∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴BE//DF（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)$65°$
(2)BE$\mathbin{/\!/}$DF，证明如上。
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查三角形相关性质和平行线判定的应用，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8