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典例1 在下列选项中，三角形的三边长(单位:厘米)可以是(
A.2,11,13
B.8,12,4
C.5,5,11
D.12,12,12
D
)。A.2,11,13
B.8,12,4
C.5,5,11
D.12,12,12
答案
典例1
答案 D
解析 A. 在2,11,13中，$2+11=13$，不符合题意；B. 在8,12,4中，$8+4=12$，不符合题意；C. 在5,5,11中，$5+5＜11$，不符合题意；D. 在12,12,12中，$12+12＞12$，能组成三角形. 故选 D.
答案 D
解析 A. 在2,11,13中，$2+11=13$，不符合题意；B. 在8,12,4中，$8+4=12$，不符合题意；C. 在5,5,11中，$5+5＜11$，不符合题意；D. 在12,12,12中，$12+12＞12$，能组成三角形. 故选 D.
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路为：判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形任意两边之和大于第三边，为了简化计算，只需验证两条较短边的长度之和是否大于最长边的长度即可，若满足则可构成三角形，若小于或等于均无法构成，接下来逐一验证各选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，验证两短边之和与最长边的大小关系：
A. 三边长为2，11，13，两短边和为$2+11=13$，等于最长边13，无法构成三角形，不符合题意；
B. 三边长为8，12，4，两短边和为$8+4=12$，等于最长边12，无法构成三角形，不符合题意；
C. 三边长为5，5，11，两短边和为$5+5=10$，$10＜11$，小于最长边11，无法构成三角形，不符合题意；
D. 三边长为12，12，12，两短边和为$12+12=24$，$24＞12$，满足三边关系，可以构成三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，掌握“比较两短边之和与最长边大小”的判断技巧，可快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路为：判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形任意两边之和大于第三边，为了简化计算，只需验证两条较短边的长度之和是否大于最长边的长度即可，若满足则可构成三角形，若小于或等于均无法构成，接下来逐一验证各选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，验证两短边之和与最长边的大小关系：
A. 三边长为2，11，13，两短边和为$2+11=13$，等于最长边13，无法构成三角形，不符合题意；
B. 三边长为8，12，4，两短边和为$8+4=12$，等于最长边12，无法构成三角形，不符合题意；
C. 三边长为5，5，11，两短边和为$5+5=10$，$10＜11$，小于最长边11，无法构成三角形，不符合题意；
D. 三边长为12，12，12，两短边和为$12+12=24$，$24＞12$，满足三边关系，可以构成三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，掌握“比较两短边之和与最长边大小”的判断技巧，可快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
典例2 如图，在$△ ABC$中，$CD$，$CE$，$CF$分别是$AB$上的高、角平分线和中线，则
下列选项中，不成立的是(
A.$BA=2BF$
B.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ AB$
下列选项中，不成立的是(
C
).A.$BA=2BF$
B.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ AB$
答案
典例2
答案 C
解析 由题意知，$CD ⊥ AB$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$AB=2BF$，$AE＜BE$. 故选 C.
答案 C
解析 由题意知，$CD ⊥ AB$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$AB=2BF$，$AE＜BE$. 故选 C.
解析
【分析】
解决本题需要先明确三角形的高、角平分线、中线的定义和性质，再逐一核对每个选项是否符合对应线段的性质即可：首先回忆三类线段的定义：①三角形的高是从顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段，性质是与对边垂直；②三角形的角平分线是平分内角且与对边相交的线段，性质是把对应内角分成两个相等的角；③三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，性质是平分对边。随后将每个选项对应到相应线段的性质判断正误即可。
【解析】
根据题意分别分析各选项：
1. 因为CD是AB上的高，根据三角形高的定义，可得$CD⊥AB$，故D选项成立；
2. 因为CE是$△ABC$的角平分线，根据角平分线的定义，CE平分$∠ACB$，即$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$，故B选项成立；
3. 因为CF是AB上的中线，根据中线的定义，F是AB的中点，因此$BA=AB=2BF=2AF$，故A选项成立；
4. CE是角平分线，不是AB边上的中线，因此E不是AB的中点，故$AE≠BE$，C选项不成立。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形三类重要线段的定义和性质的掌握，解题关键是准确区分高、角平分线、中线的不同作用，避免混淆三类线段的性质。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先明确三角形的高、角平分线、中线的定义和性质，再逐一核对每个选项是否符合对应线段的性质即可：首先回忆三类线段的定义：①三角形的高是从顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段，性质是与对边垂直；②三角形的角平分线是平分内角且与对边相交的线段，性质是把对应内角分成两个相等的角；③三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，性质是平分对边。随后将每个选项对应到相应线段的性质判断正误即可。
【解析】
根据题意分别分析各选项：
1. 因为CD是AB上的高，根据三角形高的定义，可得$CD⊥AB$，故D选项成立；
2. 因为CE是$△ABC$的角平分线，根据角平分线的定义，CE平分$∠ACB$，即$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$，故B选项成立；
3. 因为CF是AB上的中线，根据中线的定义，F是AB的中点，因此$BA=AB=2BF=2AF$，故A选项成立；
4. CE是角平分线，不是AB边上的中线，因此E不是AB的中点，故$AE≠BE$，C选项不成立。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形三类重要线段的定义和性质的掌握，解题关键是准确区分高、角平分线、中线的不同作用，避免混淆三类线段的性质。
【难度系数】
0.9
典例3 如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，CD交AB于点E，在AE上取一点F，连接DF，使∠1=∠D。
(1)求证DF//BC；
(2)当∠A=36°，∠DFE=34°时，求∠2的度数。
(1)求证DF//BC；
(2)当∠A=36°，∠DFE=34°时，求∠2的度数。
答案
(1)证明 $\because CD$ 平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ DCB=∠ 1$.
$\because ∠ 1=∠ D$，$\therefore ∠ DCB=∠ D$，
$\therefore DF// BC$.
(2)解 $\because DF//BC$，$∠DFE＝34°$，
$\therefore ∠B＝∠DFE＝34°$，$\therefore ∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−36°−34°＝110°$。
$\because CD$平分$∠BCA$，即$∠1＝\frac{1}{2}∠ACB＝55°$，$\therefore ∠2＝180°−∠A−∠1＝180°−36°−55°＝89°$。
$\therefore ∠ DCB=∠ 1$.
$\because ∠ 1=∠ D$，$\therefore ∠ DCB=∠ D$，
$\therefore DF// BC$.
(2)解 $\because DF//BC$，$∠DFE＝34°$，
$\therefore ∠B＝∠DFE＝34°$，$\therefore ∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−36°−34°＝110°$。
$\because CD$平分$∠BCA$，即$∠1＝\frac{1}{2}∠ACB＝55°$，$\therefore ∠2＝180°−∠A−∠1＝180°−36°−55°＝89°$。
解析
【分析】
(1) 要证明$DF// BC$，可通过内错角相等判定两直线平行推导：首先利用角平分线定义得到$∠ DCB=∠ 1$，结合已知$∠ 1=∠ D$，等量代换得到内错角$∠ DCB=∠ D$，即可推出平行。
(2) 求$∠ 2$的度数：先利用(1)的平行结论，由平行线性质得到$∠ B=∠ DFE$，再在$△ ABC$中用三角形内角和算出$∠ ACB$的度数，接着通过角平分线定义求出$∠ 1$的度数，最后在$△ AEC$中用三角形内角和即可算出$∠ 2$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ DCB=∠ 1$（角平分线的定义），
又$\because ∠ 1=∠ D$，
$\therefore ∠ DCB=∠ D$（等量代换），
$\therefore DF// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because DF// BC$，$∠ DFE=34°$，
$\therefore ∠ B=∠ DFE=34°$（两直线平行，同位角相等），
在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-34°=110°$，
$\because CD$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×110°=55°$，
在$△ AEC$中，
$∠ 2=180°-∠ A-∠ 1=180°-36°-55°=89°$。
【答案】
(1) 已证$DF// BC$；
(2) $∠ 2=89°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是理顺角之间的等量关系，侧重考查基础逻辑推理能力，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$DF// BC$，可通过内错角相等判定两直线平行推导：首先利用角平分线定义得到$∠ DCB=∠ 1$，结合已知$∠ 1=∠ D$，等量代换得到内错角$∠ DCB=∠ D$，即可推出平行。
(2) 求$∠ 2$的度数：先利用(1)的平行结论，由平行线性质得到$∠ B=∠ DFE$，再在$△ ABC$中用三角形内角和算出$∠ ACB$的度数，接着通过角平分线定义求出$∠ 1$的度数，最后在$△ AEC$中用三角形内角和即可算出$∠ 2$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ DCB=∠ 1$（角平分线的定义），
又$\because ∠ 1=∠ D$，
$\therefore ∠ DCB=∠ D$（等量代换），
$\therefore DF// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because DF// BC$，$∠ DFE=34°$，
$\therefore ∠ B=∠ DFE=34°$（两直线平行，同位角相等），
在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-34°=110°$，
$\because CD$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×110°=55°$，
在$△ AEC$中，
$∠ 2=180°-∠ A-∠ 1=180°-36°-55°=89°$。
【答案】
(1) 已证$DF// BC$；
(2) $∠ 2=89°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是理顺角之间的等量关系，侧重考查基础逻辑推理能力，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
