典例3 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系.
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中$∠ CPD = 90°$，$∠ APB = 45°$，作$PM$平分$∠ APC$，$PN$平分$∠ BPD$.
当$∠ APC$分别为$20°$和$30°$时，求$∠ MPN$的度数.

解：
当∠APC=20°时，
∵ ∠CPD=90°，∠APB=45°，
∴ ∠BPD = ∠CPD - ∠APC - ∠APB = 90° - 20° - 45° = 25°，
∵ PM平分∠APC，PN平分∠BPD，
∴ ∠MPC = $\frac{1}{2}$∠APC = 10°，∠NPD = $\frac{1}{2}$∠BPD = 12.5°，
∴ ∠MPN = ∠CPD - ∠MPC - ∠NPD = 90° - 10° - 12.5° = 67.5°。
当∠APC=30°时，
∠BPD = ∠CPD - ∠APC - ∠APB = 90° - 30° - 45° = 15°，
∵ PM平分∠APC，PN平分∠BPD，
∴ ∠MPC = $\frac{1}{2}$∠APC = 15°，∠NPD = $\frac{1}{2}$∠BPD = 7.5°，
∴ ∠MPN = ∠CPD - ∠MPC - ∠NPD = 90° - 15° - 7.5° = 67.5°。
综上，当∠APC为20°时，∠MPN=67.5°；当∠APC为30°时，∠MPN=67.5°。

【分析】
解题时先明确已知的固定角度：∠CPD=90°，∠APB=45°。要求∠MPN，首先根据∠APC、∠APB、∠BPD三个角的和等于∠CPD，先算出对应情况下∠BPD的度数；再利用角平分线的定义，分别求出∠MPC和∠NPD的度数；最后用∠CPD减去∠MPC和∠NPD的度数，即可得到∠MPN的数值，分别代入∠APC=20°和30°两种情况计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当∠APC=20°时：
∵ ∠CPD=90°，∠APB=45°，
∴ $∠ BPD = ∠ CPD - ∠ APC - ∠ APB = 90° - 20° - 45° = 25°$，
∵ PM平分∠APC，PN平分∠BPD，
∴ $∠ MPC = \frac{1}{2}∠ APC = \frac{1}{2}×20° = 10°$，$∠ NPD = \frac{1}{2}∠ BPD = \frac{1}{2}×25° = 12.5°$，
∴ $∠ MPN = ∠ CPD - ∠ MPC - ∠ NPD = 90° - 10° - 12.5° = 67.5°$。
2. 当∠APC=30°时：
∵ ∠CPD=90°，∠APB=45°，
∴ $∠ BPD = ∠ CPD - ∠ APC - ∠ APB = 90° - 30° - 45° = 15°$，
∵ PM平分∠APC，PN平分∠BPD，
∴ $∠ MPC = \frac{1}{2}∠ APC = \frac{1}{2}×30° = 15°$，$∠ NPD = \frac{1}{2}∠ BPD = \frac{1}{2}×15° = 7.5°$，
∴ $∠ MPN = ∠ CPD - ∠ MPC - ∠ NPD = 90° - 15° - 7.5° = 67.5°$。
【答案】
当∠APC为20°时，∠MPN=67.5°；当∠APC为30°时，∠MPN=67.5°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度运算的典型基础题，解题关键是理清图中各角的数量关系和位置关系，结合角平分线的性质分步计算即可。本题中两种不同的∠APC取值得到的∠MPN结果相同，可进一步推导得出∠MPN为固定值的规律，帮助理解角度运算中的不变性。
【难度系数】
0.7

典例4【观察思考】
在表中空白处画出图形；

| 线段AB上的点数n(包括A，B两点) | 图例 | 线段总条数N |
| ---- | ---- | ---- |
| 3 | | $3=2+1$ |
| 4 | | $6=3+2+1$ |
| 5 | | $10=4+3+2+1$ |
| 6 | | $15=5+4+3+2+1$ |
| 7 | | $21=6+5+4+3+2+1$ |
【模型构建】
如果线段上有$n(n＞1$，且$n$是正整数$)$个点(包括线段的两个端点)，那么该线段上共有多少条线段？
【拓展应用】
请将下面问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题：
海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站6个站之间运行，那么该趟列车需要安排种不同的车票，有种票价。
典例解析
典例1
答案 ①或②或③
典例2
解 (1)因为$AB=6$，$CD=14$，
所以$AC+BD=CD-AB=8$.
因为$M$，$N$分别为$AC$，$BD$的中点，
所以$AM=\dfrac{1}{2}AC$，$BN=\dfrac{1}{2}BD$.
所以$MN = AM + AB + BN = \dfrac{1}{2}(AC+BD)+AB=\dfrac{1}{2}×8+6=10$.
(2)因为点$M$，$N$分别为$AC$，$BD$的中点，
所以$AM=\dfrac{1}{2}AC$，$BN=\dfrac{1}{2}BD$.
因为$AC+BD=CD-AB$，
所以$AM + BN = \dfrac{1}{2}(AC+BD)=\dfrac{1}{2}(CD-AB)$.
所以$MN = AM + AB + BN = \dfrac{1}{2}(CD-AB)+AB=\dfrac{1}{2}(AB+CD)$.
典例3
解 因为$∠ CPD=90°$，$∠ APB=45°$，
所以$∠ APC + ∠ BPD = 90°-45°=45°$.
因为$PM$ 平分$∠ APC$，$PN$ 平分$∠ BPD$，
所以$∠ APM = \dfrac{1}{2} ∠ APC$，$∠ BPN = \dfrac{1}{2}∠ BPD$.
当$∠ APC = 20°$时，$∠ BPD = 45°-20°=25°$,
则 $∠ APM = \dfrac{1}{2} ∠ APC = 10°$,
$∠ BPN=\dfrac{1}{2}∠ BPD=12.5°$.
所以$∠ MPN=∠ APB+(∠ APM+∠ BPN)=45°+(10°+12.5°)=67.5°$.
当$∠ APC = 30°$时，$∠ BPD = 45°-30°=15°$,
则$∠ APM=\dfrac{1}{2}∠ APC=15°$，$∠ BPN=\dfrac{1}{2}∠ BPD=7.5°$.
所以$∠ MPN=∠ APB+(∠ APM+∠ BPN)=45°+(15°+7.5°)=67.5°$.
典例4
解【观察思考】$A \ C \ B$；
$A \ C \ D \ B$；$A \ C \ D \ E \ B$；
$A \ C \ D \ E \ F \ B$；
$A \ C \ D \ E \ F \ G \ B$.
【模型构建】$1+2+3+4+\dots+(n-2)+(n-1)=\dfrac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$，所以该线段上共有$\dfrac{n(n-1)}{2}$条线段.
【拓展应用】$30$ $15$
因为$6×(6-1)=30$，$30÷2=15$，所以该趟列车需要安排$30$种不同的车票，有$15$种票价.

解：
【观察思考】
n=3对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ B}$；
n=4对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ B}$；
n=5对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ E \ B}$；
n=6对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ E \ F \ B}$；
n=7对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ E \ F \ G \ B}$。
【模型构建】
线段总条数为从1到$n-1$的正整数之和：
$1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)=\dfrac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$
所以该线段上共有$\dfrac{n(n-1)}{2}$条线段。
【拓展应用】
将6个站点看作线段上的6个点，不同票价对应不同线段的数量，代入公式得线段总条数为$\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$，即共有15种票价；
由于车票区分出发站和到达站，往返车票不相同，因此不同车票总数为$15×2=30$。
所以该趟列车需要安排$\boldsymbol{30}$种不同的车票，有$\boldsymbol{15}$种票价。

【分析】
首先处理观察思考部分：线段上的点数n包含A、B两个端点，n=3时除端点外有1个中间点，标注为C依次排列，每增加1个点数就按字母顺序新增1个中间点，依次画在A、B之间即可。
接着模型构建部分：观察表格规律，线段总条数是从1到n-1的连续正整数之和，用等差数列求和公式（高斯求和公式）即可推导出通用的线段计数公式。
最后拓展应用部分：将6个站点等价为线段上的6个点，票价仅和两站之间的距离有关，往返票价一致，对应线段的总数量；车票需要区分出发站和到达站，往返车票不同，因此车票总数是线段数的2倍，代入公式计算即可。
【解析】
【观察思考】
n=3对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ B}$；
n=4对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ B}$；
n=5对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ E \ B}$；
n=6对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ E \ F \ B}$；
n=7对应的图例：$\boldsymbol{A \ C \ D \ E \ F \ G \ B}$。
【模型构建】
线段总条数为从1到$n-1$的正整数之和：
$1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)=\dfrac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$
所以该线段上共有$\dfrac{n(n-1)}{2}$条线段。
【拓展应用】
将6个站点看作线段上的6个点，不同票价对应不同线段的数量，代入公式得线段总条数为$\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$，即共有15种票价；
由于车票区分出发站和到达站，往返车票不相同，因此不同车票总数为$15×2=30$。
【答案】
【观察思考】图例依次为：$A \ C \ B$；$A \ C \ D \ B$；$A \ C \ D \ E \ B$；$A \ C \ D \ E \ F \ B$；$A \ C \ D \ E \ F \ G \ B$
【模型构建】共有$\boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}}$条线段
【拓展应用】$\boldsymbol{30}$；$\boldsymbol{15}$
【知识点】
线段计数、规律探究、模型应用
【点评】
本题从基础的线段计数入手，引导学生通过观察特殊案例归纳通用规律，再将规律迁移到实际票务问题中，能有效锻炼学生的归纳推理能力和知识应用能力，帮助学生体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7