综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地
主题:如何设计比赛场地?
背景
材料
学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所.不同学校的运动场设置不一定相同,如有的学校体育场设置了标准400 m跑道,有的学校因场地限制,只能设置200 m跑道;有的学校设置了标准篮球场,有的学校设置了半场篮球场等等.学校一般会在春季或秋季举行田径运动会,举行运动会前,需要规划不同项目的比赛场地.规划这些运动场地,除了要考虑体育场的大小、不同运动项目的特点,还要用到数学知识
素材1
如图1,某学校操场最内侧的跑道,由两段直道和两段半圆形弯道组成,其中直道的长为a,半圆形弯道的直径为b(a,b均为整数).为了设计比赛场地,兴趣小组通过查阅资料,得知学校操场最内侧跑道的周长为$160+40π$
素材2
如图2,兴趣小组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地,$r=10$
任务1
根据素材1,分别求出a,b的长度
任务2
根据素材2及任务1,先用含a,b,r的代数式表示两项比赛场地的总面积S(阴影部分面积的和),再求S的值($π$取3)

任务1. 解 $2a + π × b = 160 + 40π$, 得 $2a = 160, π × b = 40π$, 得 $a = 80, b = 40$.
所以a的长是80,b的长是40.
任务2. 解 $S = π r^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2} × (b - 2r) × 70 = π r^2 + \frac{1}{2}ab - 35b + 70r$,
将$a=80,b=40,r=10$代入,得 $S \approx 3×10^2 + \frac{1}{2} × 80×40 - 35×40 +70×10 = 1200$.
所以S的值是1200.

【分析】
任务1解题思路：首先明确最内侧跑道的周长由2段直道和2段半圆形弯道组成，2段半圆形弯道可拼接为一个完整的圆，因此跑道周长=2×直道长度+圆的周长，据此列出周长表达式。结合题目给出的周长值，因为a、b均为整数，等式两边不含π的常数项、含π的项分别对应相等，即可分别求解a、b的值。
任务2解题思路：首先明确两项比赛场地的总面积为圆形铁饼场地面积与掷标枪四边形场地面积之和，根据图形面积的计算规则，先列出含a、b、r的代数式，再将任务1求出的a、b值，以及已知的r=10、π=3代入代数式计算，即可得到S的数值。
【解析】
任务1
解：最内侧跑道周长=2段直道长度+整圆周长，因此周长公式为：
$2a + πb$
已知跑道周长为$160+40π$，可得等式：
$2a + πb = 160 + 40π$
因为$a、b$均为整数，等式两边同类项对应相等，即：
$2a=160$，$πb=40π$
解得：$a=80$，$b=40$
任务2
解：两项比赛场地的总面积$S$为圆形场地面积与四边形场地面积之和，根据题意列出代数式：
$S = π r^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2} × (b - 2r) × 70$
整理得：$S = π r^2 + \frac{1}{2}ab - 35b + 70r$
将$a=80、b=40、r=10、π=3$代入上式：
$S = 3×10^2 + \frac{1}{2} × 80×40 - 35×40 +70×10$
$= 3×100 + 1600 - 1400 + 700$
$= 1200$
【答案】
任务1：$a=80$，$b=40$；任务2：$S=1200$
【知识点】
1. 圆的周长与面积计算
2. 列代数式
3. 代数式求值
【点评】
本题结合运动会场地设计的实际场景，考查了几何图形周长、面积公式的应用以及代数式的相关知识，解题的核心是理清图形的组成结构，找到对应的等量关系，能有效提升学生将数学知识应用到实际生活中的能力。
【难度系数】
0.7