典例1 如图，在每个正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体盒，则需要再剪掉的小正方形可能是.(请填写所有可能的小正方形的编号)

解：根据无盖正方体展开图的特征，含有“田”字结构的5个小正方形无法折成无盖正方体。
若剪掉⑤或⑥，余下的小正方形中①②③④构成“田”字结构，不能折成无盖正方体；
若剪掉①、②、③中的任意一个，余下的5个小正方形都符合无盖正方体展开图的特征，可以折成棱长为1的无盖正方体盒。
所以需要再剪掉的小正方形可能是①②③。

【分析】
解题时首先要明确无盖正方体展开图的核心判定规则：由5个正方形组成的展开图中，不能存在“田”字形结构，存在田字结构的无法折叠成无盖正方体。我们的目标是从①~⑥中剪掉1个，剩余5个满足上述规则：首先观察到①②③④四个正方形刚好组成完整的“田”字结构，若这4个全部保留，无论剩余的第5个是⑤还是⑥，整体都含田字结构，不符合要求，因此必须从这4个中剪掉1个；再分别验证各情况：若剪掉⑤或⑥，剩余的图形仍保留①②③④的田字结构，直接排除；若剪掉①、②、③中的任意一个，田字结构被破坏，剩余的5个正方形均符合无盖正方体展开图的要求，可折叠成无盖正方体盒。
【解析】
根据无盖正方体展开图的特征：可折叠成无盖正方体的5个小正方形组成的展开图，不能含有“田”字结构，含有“田”字结构的图形无法折成无盖正方体。
1. 若剪掉⑤或⑥：余下的小正方形中①②③④构成“田”字结构，不符合展开图要求，不能折成无盖正方体；
2. 若剪掉①：剩余的②、③、④、⑤、⑥符合无盖正方体展开图特征，可折成无盖正方体盒；
3. 若剪掉②：剩余的①、③、④、⑤、⑥符合无盖正方体展开图特征，可折成无盖正方体盒；
4. 若剪掉③：剩余的①、②、④、⑤、⑥符合无盖正方体展开图特征，可折成无盖正方体盒。
综上，符合要求的是剪掉①或②或③。
【答案】
①②③
【知识点】
1. 无盖正方体展开图特征
2. 正方体展开图判定
【点评】
本题是正方体展开图的典型应用类题目，核心解题关键是牢记“含田字结构的正方形组合无法折叠成正方体”这一判定规则，可通过排除法快速排除剪掉⑤、⑥的错误情况，降低解题难度。
【难度系数】
0.6

典例2 如图，已知线段AB，CD，线段AB在线段CD上（点C，A在点B的左侧，点D在点C的右侧），M，N分别为AC，BD的中点。

(1)若线段$AB=6$，$CD=14$，求$MN$的长。
(2)试说明$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$。

解：
(1) 由题意可得：
$AC + BD = CD - AB = 14 - 6 = 8$
因为M是AC的中点，N是BD的中点，
所以 $MC = \frac{1}{2}AC$，$BN = \frac{1}{2}BD$，
因此 $MC + BN = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
又因为 $MN = MC + AB + BN$，
所以 $MN = 4 + 6 = 10$。
(2) 因为M是AC的中点，N是BD的中点，
所以 $MC = \frac{1}{2}AC$，$BN = \frac{1}{2}BD$，
可得 $MC + BN = \frac{1}{2}(AC + BD)$。
又因为 $AC + BD = CD - AB$，
所以
$\begin{aligned}MN &= MC + AB + BN \\&= \frac{1}{2}(AC + BD) + AB \\&= \frac{1}{2}(CD - AB) + AB \\&= \frac{1}{2}CD - \frac{1}{2}AB + AB \\&= \frac{1}{2}(AB + CD)\end{aligned}$
即 $MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$。
答：(1) MN的长为10。

【分析】
(1) 求MN的长度时，先观察线段组成：MN可拆分为MC、AB、BN三段，已知AB的长度，只需先求出MC与BN的和即可。首先利用CD和AB的长度算出$AC+BD=CD-AB$；再结合M、N是AC、BD中点的性质，可得MC是AC的一半，BN是BD的一半，因此$MC+BN$为$AC+BD$和的一半，最后代入$MN=MC+AB+BN$即可求出结果。
(2) 证明$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$时，沿用第一问的思路，将具体数值替换为字母推导：先利用中点性质表示MC、BN，再将$AC+BD$替换为$CD-AB$，代入MN的表达式后通过代数式化简，即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 根据线段和差关系可得：
$AC + BD = CD - AB = 14 - 6 = 8$
∵ M是AC的中点，N是BD的中点
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$，$BN = \frac{1}{2}BD$
∴ $MC + BN = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 8 = 4$
又
∵ $MN = MC + AB + BN$
∴ $MN = 4 + 6 = 10$
(2) 证明：
∵ M是AC的中点，N是BD的中点
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$，$BN = \frac{1}{2}BD$
∴ $MC + BN = \frac{1}{2}(AC + BD)$
又
∵ $AC + BD = CD - AB$
∴
$\begin{aligned}MN &= MC + AB + BN \\&= \frac{1}{2}(AC + BD) + AB \\&= \frac{1}{2}(CD - AB) + AB \\&= \frac{1}{2}CD - \frac{1}{2}AB + AB \\&= \frac{1}{2}(AB + CD)\end{aligned}$
即$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) 已证$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，整式化简
【点评】
本题是线段计算与证明的典型题型，核心是将未知线段拆分为已知线段的和差形式，结合线段中点的性质完成等量转化，解题时要注意结合图形梳理线段的组成关系，该思路是解决线段中点相关题型的通用方法。
【难度系数】
0.7