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1. （2026·徐州期中）如图，从边长为$8\sqrt{3}$cm的等边三角形中剪一个最大的扇形ADE，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（
A.1 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
（第1题）
C
）A.1 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：首先，等边三角形中最大的扇形以A为圆心，弧与BC相切，因此扇形的半径等于等边三角形的高，圆心角等于等边三角形的顶角60°；其次，利用弧长公式计算扇形ADE的弧长，该弧长就是围成圆锥的底面周长；最后根据圆的周长公式反推圆锥底面半径。
【解析】
1. 求等边三角形的高（即扇形半径）：
已知等边三角形边长为$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，等边三角形的高$h = \mathrm{边长} × \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$h = 8\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\ \mathrm{cm}$，即扇形$ADE$的半径$R=12\ \mathrm{cm}$，扇形圆心角$n=60°$。
2. 计算扇形弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据：
$l=\frac{60π × 12}{180}=4π\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥底面半径：
扇形弧长等于圆锥底面周长，设底面半径为$r$，则$2π r = l$，代入得：
$2π r = 4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面展开图
【点评】
本题是圆锥计算的典型题型，解题的核心是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的相等关系，需要熟练掌握等边三角形特征和弧长公式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：首先，等边三角形中最大的扇形以A为圆心，弧与BC相切，因此扇形的半径等于等边三角形的高，圆心角等于等边三角形的顶角60°；其次，利用弧长公式计算扇形ADE的弧长，该弧长就是围成圆锥的底面周长；最后根据圆的周长公式反推圆锥底面半径。
【解析】
1. 求等边三角形的高（即扇形半径）：
已知等边三角形边长为$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，等边三角形的高$h = \mathrm{边长} × \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$h = 8\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\ \mathrm{cm}$，即扇形$ADE$的半径$R=12\ \mathrm{cm}$，扇形圆心角$n=60°$。
2. 计算扇形弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据：
$l=\frac{60π × 12}{180}=4π\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥底面半径：
扇形弧长等于圆锥底面周长，设底面半径为$r$，则$2π r = l$，代入得：
$2π r = 4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面展开图
【点评】
本题是圆锥计算的典型题型，解题的核心是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的相等关系，需要熟练掌握等边三角形特征和弧长公式。
【难度系数】
0.7
2. （2025·乌海期末）如图①，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为2 cm的圆形，使之恰好围成如图②所示的一个圆锥，则圆锥的高是（
A.$2\sqrt{15}$ cm
B.4 cm
C.$2\sqrt{17}$ cm
D.$5\sqrt{3}$ cm
A
）A.$2\sqrt{15}$ cm
B.4 cm
C.$2\sqrt{17}$ cm
D.$5\sqrt{3}$ cm
答案
2. A
解析
【分析】
要计算圆锥的高，需先求出圆锥的母线长，再结合圆锥底面半径用勾股定理求解。首先明确核心关系：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。先根据已知的底面圆半径算出底面周长，再结合正方形内扇形的圆心角为90°的隐含条件，利用弧长公式求出扇形半径（即圆锥母线长），最后用勾股定理计算圆锥的高即可。
【解析】
已知圆锥底面圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，
1. 计算底面圆周长（即扇形的弧长）：
$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$
2. 设扇形半径（即圆锥母线长）为$R$，正方形内扇形的圆心角为$90°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=4π$、$n=90$代入得：
$\frac{90π R}{180}=4π$
化简得$\frac{π R}{2}=4π$，解得$R=8\ \mathrm{cm}$。
3. 圆锥的高$h$、母线长$R$、底面半径$r$构成直角三角形，母线为斜边，根据勾股定理：
$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题关键是掌握圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长的性质，同时能从图形中提取扇形圆心角为90°的隐含条件，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的高，需先求出圆锥的母线长，再结合圆锥底面半径用勾股定理求解。首先明确核心关系：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。先根据已知的底面圆半径算出底面周长，再结合正方形内扇形的圆心角为90°的隐含条件，利用弧长公式求出扇形半径（即圆锥母线长），最后用勾股定理计算圆锥的高即可。
【解析】
已知圆锥底面圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，
1. 计算底面圆周长（即扇形的弧长）：
$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$
2. 设扇形半径（即圆锥母线长）为$R$，正方形内扇形的圆心角为$90°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=4π$、$n=90$代入得：
$\frac{90π R}{180}=4π$
化简得$\frac{π R}{2}=4π$，解得$R=8\ \mathrm{cm}$。
3. 圆锥的高$h$、母线长$R$、底面半径$r$构成直角三角形，母线为斜边，根据勾股定理：
$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题关键是掌握圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长的性质，同时能从图形中提取扇形圆心角为90°的隐含条件，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$72°$的扇形,若扇形的半径$l$是5,则该圆锥的体积是（
A.$\dfrac{3\sqrt{11}}{8}π$
B.$\dfrac{\sqrt{11}}{8}π$
C.$2\sqrt{6}π$
D.$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}π$
D
）A.$\dfrac{3\sqrt{11}}{8}π$
B.$\dfrac{\sqrt{11}}{8}π$
C.$2\sqrt{6}π$
D.$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}π$
答案
3. D
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图和圆锥各量的对应关系，按以下路径思考：1. 扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长；2. 先通过弧长公式计算扇形弧长，进而求出圆锥底面半径；3. 圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理求出圆锥的高；4. 最后代入圆锥体积公式计算出结果。
【解析】
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形圆心角$n=72°$，扇形半径（即圆锥母线长）$l=5$，根据弧长公式可得：
$L_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180}=\frac{72π×5}{180}=2π$
2. 求圆锥底面半径$r$：
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，即$2π r=L_{\mathrm{弧}}$，代入弧长得：
$2π r=2π$，解得$r=1$
3. 求圆锥的高$h$：
圆锥的母线、底面半径、高满足勾股定理，因此：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
4. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入$r=1$、$h=2\sqrt{6}$得：
$V=\frac{1}{3}π×1^2×2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式、圆锥体积公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题关键是抓住侧面展开图弧长等于底面周长这一核心等量关系，再结合勾股定理和体积公式即可顺利求解，需要注意各量的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图和圆锥各量的对应关系，按以下路径思考：1. 扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长；2. 先通过弧长公式计算扇形弧长，进而求出圆锥底面半径；3. 圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理求出圆锥的高；4. 最后代入圆锥体积公式计算出结果。
【解析】
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形圆心角$n=72°$，扇形半径（即圆锥母线长）$l=5$，根据弧长公式可得：
$L_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180}=\frac{72π×5}{180}=2π$
2. 求圆锥底面半径$r$：
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，即$2π r=L_{\mathrm{弧}}$，代入弧长得：
$2π r=2π$，解得$r=1$
3. 求圆锥的高$h$：
圆锥的母线、底面半径、高满足勾股定理，因此：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
4. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入$r=1$、$h=2\sqrt{6}$得：
$V=\frac{1}{3}π×1^2×2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式、圆锥体积公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题关键是抓住侧面展开图弧长等于底面周长这一核心等量关系，再结合勾股定理和体积公式即可顺利求解，需要注意各量的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
4. ★★★ (2025·杭州模拟)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $AB=2$, $BC=1$, 把 $△ ABC$ 绕 $AB$ 所在直线旋转一周,所得几何体的侧面积为 (
A.$π$
B.$\sqrt{5}π$
C.$2\sqrt{5}π$
D.$4π$
(第4题)
B
)A.$π$
B.$\sqrt{5}π$
C.$2\sqrt{5}π$
D.$4π$
(第4题)答案
4. B
解析
【分析】
首先判断Rt△ABC绕AB旋转一周所得的几何体为圆锥，要计算圆锥侧面积，需先确定圆锥的底面半径和母线长：底面半径是BC的长度，母线长是Rt△ABC的斜边AC的长度。先通过勾股定理计算AC的长度，再代入圆锥侧面积公式$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）即可求出结果。
【解析】
将Rt△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体是圆锥：
1. 确定圆锥的底面半径$r=BC=1$；
2. 计算母线长$l=AC$，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
3. 圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入$r=1$，$l=\sqrt{5}$得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 1 × \sqrt{5}=\sqrt{5}π$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的形成、勾股定理、圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于立体图形基础计算类题目，解题的关键是明确旋转后得到的圆锥的各参数与原直角三角形边长的对应关系，牢记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先判断Rt△ABC绕AB旋转一周所得的几何体为圆锥，要计算圆锥侧面积，需先确定圆锥的底面半径和母线长：底面半径是BC的长度，母线长是Rt△ABC的斜边AC的长度。先通过勾股定理计算AC的长度，再代入圆锥侧面积公式$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）即可求出结果。
【解析】
将Rt△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体是圆锥：
1. 确定圆锥的底面半径$r=BC=1$；
2. 计算母线长$l=AC$，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
3. 圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入$r=1$，$l=\sqrt{5}$得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 1 × \sqrt{5}=\sqrt{5}π$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的形成、勾股定理、圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于立体图形基础计算类题目，解题的关键是明确旋转后得到的圆锥的各参数与原直角三角形边长的对应关系，牢记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. (2025·南京模拟)如图,圆锥的母线AB长为6,底面直径BC长为4,M为AB的中点.将圆锥侧面沿母线剪开并展平,在展开图中M,C之间的距离为 (
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$
D
)A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
5. D
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图中M、C两点的距离，按以下思路推导：①首先明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长，弧长等于圆锥底面周长；②通过底面周长计算出展开扇形的总圆心角；③由于BC是底面直径，B、C对应底面半周长，因此展开后AC与AB的夹角为总圆心角的一半；④最后在展开图的△AMC中，利用解直角三角形的知识求出MC的长度。
【解析】
1. 计算扇形圆心角
已知底面直径$BC=4$，因此底面周长$C_{底}=π d=4π$，即侧面展开扇形的弧长$l=4π$。
圆锥母线长$AB=6$，即扇形半径$R=6$，设扇形圆心角为$n°$，由弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$可得：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=120$，即展开扇形的总圆心角为$120°$。
2. 确定展开图中夹角
BC是底面直径，因此B、C在底面圆周上的弧长为半周长，对应展开图的圆心角为总圆心角的一半，即$∠ MAC=\frac{120°}{2}=60°$。
3. 计算MC长度
M是AB中点，故$AM=\frac{1}{2}AB=3$，且$AC=AB=6$。
过M作$MD⊥ AC$于点D：
在Rt△AMD中，$AD=AM·\cos60°=3×\frac{1}{2}=1.5$，$MD=AM·\sin60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
则$DC=AC-AD=6-1.5=4.5$。
在Rt△MDC中，由勾股定理得：
$MC=\sqrt{MD^2+DC^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{9}{2})^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、解直角三角形
【点评】
本题核心是建立圆锥和其侧面展开图的对应关系，易错点是误将点C对应扇形的端点，错算两点的夹角，解题时需明确底面圆周上的点对应展开图中弧上的位置，结合几何关系求解即可。
【难度系数】
0.6
要计算圆锥侧面展开图中M、C两点的距离，按以下思路推导：①首先明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长，弧长等于圆锥底面周长；②通过底面周长计算出展开扇形的总圆心角；③由于BC是底面直径，B、C对应底面半周长，因此展开后AC与AB的夹角为总圆心角的一半；④最后在展开图的△AMC中，利用解直角三角形的知识求出MC的长度。
【解析】
1. 计算扇形圆心角
已知底面直径$BC=4$，因此底面周长$C_{底}=π d=4π$，即侧面展开扇形的弧长$l=4π$。
圆锥母线长$AB=6$，即扇形半径$R=6$，设扇形圆心角为$n°$，由弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$可得：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=120$，即展开扇形的总圆心角为$120°$。
2. 确定展开图中夹角
BC是底面直径，因此B、C在底面圆周上的弧长为半周长，对应展开图的圆心角为总圆心角的一半，即$∠ MAC=\frac{120°}{2}=60°$。
3. 计算MC长度
M是AB中点，故$AM=\frac{1}{2}AB=3$，且$AC=AB=6$。
过M作$MD⊥ AC$于点D：
在Rt△AMD中，$AD=AM·\cos60°=3×\frac{1}{2}=1.5$，$MD=AM·\sin60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
则$DC=AC-AD=6-1.5=4.5$。
在Rt△MDC中，由勾股定理得：
$MC=\sqrt{MD^2+DC^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{9}{2})^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、解直角三角形
【点评】
本题核心是建立圆锥和其侧面展开图的对应关系，易错点是误将点C对应扇形的端点，错算两点的夹角，解题时需明确底面圆周上的点对应展开图中弧上的位置，结合几何关系求解即可。
【难度系数】
0.6
6. ★★★ (2025·沧州模拟)已知某建筑物的顶端为圆锥形(如图),为了美观,要在圆锥形建筑上装饰一条灯带,灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B,若这个圆锥形建筑物的底面周长为$40π$ cm,母线AB的长为60 cm,则这条灯带的最短长度是 (
A.40 cm
B.60 cm
C.$30\sqrt{3}$ cm
D.$60\sqrt{3}$ cm
D
)A.40 cm
B.60 cm
C.$30\sqrt{3}$ cm
D.$60\sqrt{3}$ cm
答案
6. D
解析
【分析】
要计算圆锥侧面上绕一周回到起点的最短灯带长度，需将立体问题转化为平面问题解决：① 首先将圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间线段最短”，灯带最短长度为展开图中两个对应起点的线段长度；② 利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出扇形的圆心角；③ 最后在展开得到的等腰三角形中，计算所求线段的长度即可。
【解析】
将圆锥侧面沿AB剪开，展开得到圆心角为n°的扇形：
1. 求扇形圆心角：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，已知底面周长为40π cm，扇形半径（母线长）为60 cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$40π=\frac{nπ×60}{180}$，
约去π后解得$n=120$，即扇形圆心角∠BAB'=120°。
2. 计算最短路径长度：展开后原B点对应扇形的两个端点B、B'，线段BB'的长即为灯带的最短长度。
过A作AD⊥BB'于点D，
∵AB=AB'=60 cm，AD平分∠BAB'，
∴∠BAD=60°。
在Rt△ABD中，$BD=AB·\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$BB'=2BD=60\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式应用；解直角三角形
【点评】
本题是圆锥最短路径类的典型题型，核心解题思想是将立体图形转化为平面图形求解，解题的关键点是找准圆锥底面周长和展开扇形弧长的对应关系，再结合等腰三角形的性质和解直角三角形的知识计算线段长度。
【难度系数】
0.6
要计算圆锥侧面上绕一周回到起点的最短灯带长度，需将立体问题转化为平面问题解决：① 首先将圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间线段最短”，灯带最短长度为展开图中两个对应起点的线段长度；② 利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出扇形的圆心角；③ 最后在展开得到的等腰三角形中，计算所求线段的长度即可。
【解析】
将圆锥侧面沿AB剪开，展开得到圆心角为n°的扇形：
1. 求扇形圆心角：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，已知底面周长为40π cm，扇形半径（母线长）为60 cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$40π=\frac{nπ×60}{180}$，
约去π后解得$n=120$，即扇形圆心角∠BAB'=120°。
2. 计算最短路径长度：展开后原B点对应扇形的两个端点B、B'，线段BB'的长即为灯带的最短长度。
过A作AD⊥BB'于点D，
∵AB=AB'=60 cm，AD平分∠BAB'，
∴∠BAD=60°。
在Rt△ABD中，$BD=AB·\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$BB'=2BD=60\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式应用；解直角三角形
【点评】
本题是圆锥最短路径类的典型题型，核心解题思想是将立体图形转化为平面图形求解，解题的关键点是找准圆锥底面周长和展开扇形弧长的对应关系，再结合等腰三角形的性质和解直角三角形的知识计算线段长度。
【难度系数】
0.6
