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4. 如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1 cm为半径画圆，当n=100时，求图中阴影部分的面积之和. 
答案
4.
∵ 100边形的外角和=360°,
∴ 图中阴影部分的面积之和=$\frac{360π×1^2}{360}=π(\mathrm{cm}^2)$.
∵ 100边形的外角和=360°,
∴ 图中阴影部分的面积之和=$\frac{360π×1^2}{360}=π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①观察阴影部分的形状，发现所有阴影都是半径为1cm的扇形，扇形面积由半径和圆心角决定，半径已知相等，因此只需计算所有阴影扇形的圆心角之和；②回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和恒为360°，图中每个阴影扇形的圆心角恰好对应n边形的一个外角，因此所有阴影的圆心角总和为360°；③圆心角总和为360°的同半径扇形，面积之和等于对应半径的整圆面积，即可直接求出结果。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，
∴100边形的外角和为360°，即图中所有阴影扇形的圆心角之和为360°。
已知所有扇形的半径$r=1\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式可得阴影部分面积之和为：
$S=\frac{360π r^2}{360}=\frac{360π×1^2}{360}=π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
多边形外角和定理、扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用多边形外角和为定值的特点，将多个分散的扇形面积求和转化为单个整圆的面积计算，简化了运算过程，体现了整体转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①观察阴影部分的形状，发现所有阴影都是半径为1cm的扇形，扇形面积由半径和圆心角决定，半径已知相等，因此只需计算所有阴影扇形的圆心角之和；②回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和恒为360°，图中每个阴影扇形的圆心角恰好对应n边形的一个外角，因此所有阴影的圆心角总和为360°；③圆心角总和为360°的同半径扇形，面积之和等于对应半径的整圆面积，即可直接求出结果。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，
∴100边形的外角和为360°，即图中所有阴影扇形的圆心角之和为360°。
已知所有扇形的半径$r=1\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式可得阴影部分面积之和为：
$S=\frac{360π r^2}{360}=\frac{360π×1^2}{360}=π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
多边形外角和定理、扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用多边形外角和为定值的特点，将多个分散的扇形面积求和转化为单个整圆的面积计算，简化了运算过程，体现了整体转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
5. 如图,圆心角为$90°$的扇形ACB内,以BC为直径作半圆,连结AB.若阴影部分的面积为$(2π -2)$,求AC的长. 
答案
5. 将题图区域划分为四部分,两块阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$,两块空白部分的面积分别为$S_3,S_4$,连结DC,如图所示.
由已知得,三角形ABC为等腰直角三角形,$S_1+S_2=2π-2$.∵ 以BC为直径作半圆,
∴ ∠CDB=90°,即 CD⊥AB,故 CD=DB=DA,
∴ 点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,由对称性可知$\overset{\frown}{CD}$与弦CD围成的图形面积与$S_3$相等.设$AC=BC=x$,则$S_{扇形ACB}-S_3-S_4=S_1+S_2$,其中$S_{扇形ACB}=\frac{90·π·x^2}{360}=\frac{πx^2}{4}$,$S_4=S_{△ACB}-S_{△BCD}-S_3=\frac{1}{2}·x^2-\frac{1}{2}·x·\frac{x}{2}-S_3=\frac{x^2}{4}-S_3$,故$\frac{πx^2}{4}-S_3-(\frac{x^2}{4}-S_3)=2π-2$,
∴ $x_1=2\sqrt{2}$,$x_2=-2\sqrt{2}$(舍去),故AC的长为$2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题为不规则阴影面积的计算问题，解题核心是利用割补法转化面积。首先观察图形特征：扇形ACB圆心角为90°，故△ACB是等腰直角三角形；BC是半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可连接CD得到CD⊥AB，再结合等腰直角三角形的性质和图形对称性，发现未知的空白面积$S_3$可相互抵消，无需单独计算，只需根据阴影面积建立关于AC长度的方程即可求解。
【解析】
设$AC=BC=x$，将图形划分为四部分：两块阴影面积为$S_1,S_2$，两块空白面积为$S_3,S_4$，连接$DC$，如图。
1. 由扇形ACB圆心角为$90°$，得$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，故$△ ABC$为等腰直角三角形，已知$S_1+S_2=2π-2$。
2. 因为BC为半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ CDB=90°$，即$CD⊥ AB$。在等腰直角$△ ABC$中，斜边上的高CD同时为斜边中线，故$CD=DB=DA$，即点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，由对称性可知$\overset{\frown}{CD}$与弦CD围成的图形面积与$S_3$相等。
3. 计算各部分面积：
扇形ACB的面积：$S_{扇形ACB}=\frac{90·π· x^2}{360}=\frac{π x^2}{4}$
$△ ACB$的面积：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}x· x=\frac{x^2}{2}$
$△ BCD$的面积：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{x^2}{4}$
空白部分$S_4=S_{△ ACB}-S_{△ BCD}-S_3=\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}-S_3=\frac{x^2}{4}-S_3$
4. 阴影面积可表示为：$S_{扇形ACB}-S_3-S_4=S_1+S_2$，代入$S_4$得：
$\frac{π x^2}{4}-S_3-(\frac{x^2}{4}-S_3)=2π-2$
化简后$S_3$抵消，得$\frac{π x^2}{4}-\frac{x^2}{4}=2π-2$
整理得$\frac{(π-1)x^2}{4}=2(π-1)$，两边约去$π-1$，解得$x^2=8$，$x=2\sqrt{2}$（$x=-2\sqrt{2}$不符合长度要求，舍去）。
【答案】
AC的长为$2\sqrt{2}$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题属于阴影面积计算的典型题型，核心技巧是通过作辅助线、利用图形对称性抵消未知的空白面积，避免了无意义的复杂计算，侧重考查对图形的观察能力和面积转化的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题为不规则阴影面积的计算问题，解题核心是利用割补法转化面积。首先观察图形特征：扇形ACB圆心角为90°，故△ACB是等腰直角三角形；BC是半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可连接CD得到CD⊥AB，再结合等腰直角三角形的性质和图形对称性，发现未知的空白面积$S_3$可相互抵消，无需单独计算，只需根据阴影面积建立关于AC长度的方程即可求解。
【解析】
设$AC=BC=x$，将图形划分为四部分：两块阴影面积为$S_1,S_2$，两块空白面积为$S_3,S_4$，连接$DC$，如图
。1. 由扇形ACB圆心角为$90°$，得$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，故$△ ABC$为等腰直角三角形，已知$S_1+S_2=2π-2$。
2. 因为BC为半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ CDB=90°$，即$CD⊥ AB$。在等腰直角$△ ABC$中，斜边上的高CD同时为斜边中线，故$CD=DB=DA$，即点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，由对称性可知$\overset{\frown}{CD}$与弦CD围成的图形面积与$S_3$相等。
3. 计算各部分面积：
扇形ACB的面积：$S_{扇形ACB}=\frac{90·π· x^2}{360}=\frac{π x^2}{4}$
$△ ACB$的面积：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}x· x=\frac{x^2}{2}$
$△ BCD$的面积：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{x^2}{4}$
空白部分$S_4=S_{△ ACB}-S_{△ BCD}-S_3=\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}-S_3=\frac{x^2}{4}-S_3$
4. 阴影面积可表示为：$S_{扇形ACB}-S_3-S_4=S_1+S_2$，代入$S_4$得：
$\frac{π x^2}{4}-S_3-(\frac{x^2}{4}-S_3)=2π-2$
化简后$S_3$抵消，得$\frac{π x^2}{4}-\frac{x^2}{4}=2π-2$
整理得$\frac{(π-1)x^2}{4}=2(π-1)$，两边约去$π-1$，解得$x^2=8$，$x=2\sqrt{2}$（$x=-2\sqrt{2}$不符合长度要求，舍去）。
【答案】
AC的长为$2\sqrt{2}$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题属于阴影面积计算的典型题型，核心技巧是通过作辅助线、利用图形对称性抵消未知的空白面积，避免了无意义的复杂计算，侧重考查对图形的观察能力和面积转化的应用能力。
【难度系数】
0.6
