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1. 如图,在边长为2的等边△ABC中,D是BC边上的中点,以点A为圆心,AD的长为半径作圆与AB,AC分别交于E,F两点,求图中阴影部分的面积. 
答案
1. 连结AD.
∵ D是BC边上的中点,
∴ BD=DC=1,AD⊥BC.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠B=60°,BC=AB=AC=2,
∴ AD=√3,
∴ 阴影部分的面积=$\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{1}{2}π$.
∵ D是BC边上的中点,
∴ BD=DC=1,AD⊥BC.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠B=60°,BC=AB=AC=2,
∴ AD=√3,
∴ 阴影部分的面积=$\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{1}{2}π$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是圆心为A的扇形，因此只需确定该扇形的圆心角和半径即可代入扇形面积公式计算。首先等边三角形的内角均为60°，可得扇形的圆心角∠BAC=60°；其次扇形半径为AD，D是等边三角形BC边的中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的高，可通过勾股定理求出AD的长度，最后代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
解：连接AD，
∵ D是等边△ABC中BC边上的中点，
∴ AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=1$，$∠ BAC=60°$，
在$Rt△ ABD$中，$AB=2$，$BD=1$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
即扇形AEF的半径为$\sqrt{3}$，圆心角为$60°$，
∴ 阴影部分面积$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×3}{360}=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}π$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是判断出阴影部分为扇形，结合等边三角形的性质求出扇形对应的圆心角和半径，再代入公式计算即可，是扇形面积计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是圆心为A的扇形，因此只需确定该扇形的圆心角和半径即可代入扇形面积公式计算。首先等边三角形的内角均为60°，可得扇形的圆心角∠BAC=60°；其次扇形半径为AD，D是等边三角形BC边的中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的高，可通过勾股定理求出AD的长度，最后代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
解：连接AD，
∵ D是等边△ABC中BC边上的中点，
∴ AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=1$，$∠ BAC=60°$，
在$Rt△ ABD$中，$AB=2$，$BD=1$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
即扇形AEF的半径为$\sqrt{3}$，圆心角为$60°$，
∴ 阴影部分面积$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×3}{360}=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}π$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是判断出阴影部分为扇形，结合等边三角形的性质求出扇形对应的圆心角和半径，再代入公式计算即可，是扇形面积计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在扇形OAB中,已知∠AOB=90°,OA=2,过$\overset{\frown}{AB}$的中点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,求图中阴影部分的面积.
答案
2. 连结OC,
∵ OA=2,
∴ OC=OA=2.
∵ ∠AOB=90°,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ ∠AOC=∠BOC=45°.
∵ CD⊥OA,CE⊥OB,
∴ ∠CDO=∠CEO=90°,
∴ ∠DCO=∠AOC=∠ECO=∠COE=45°,
∴ CD=OD,CE=OE,
∴ 2CD²=2²,2OE²=2²,即 CD=OD=OE=CE=√2,
∴ 阴影部分的面积S=$S_{扇形AOB}-S_{△CDO}-S_{△CEO}=\frac{90π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=π-2$.
∵ OA=2,
∴ OC=OA=2.
∵ ∠AOB=90°,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ ∠AOC=∠BOC=45°.
∵ CD⊥OA,CE⊥OB,
∴ ∠CDO=∠CEO=90°,
∴ ∠DCO=∠AOC=∠ECO=∠COE=45°,
∴ CD=OD,CE=OE,
∴ 2CD²=2²,2OE²=2²,即 CD=OD=OE=CE=√2,
∴ 阴影部分的面积S=$S_{扇形AOB}-S_{△CDO}-S_{△CEO}=\frac{90π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=π-2$.
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积的计算问题，可采用割补法求解：阴影部分面积等于扇形OAB的面积减去两个空白直角三角形的面积。首先连接辅助线OC，利用弧中点的性质可得到∠AOC=∠BOC=45°，再结合CD⊥OA、CE⊥OB的条件，可判断△CDO和△CEO均为等腰直角三角形，分别计算出扇形和两个等腰直角三角形的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：连结OC，
∵ OA=2，OC是扇形的半径，
∴ OC=OA=2。
∵ ∠AOB=90°，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ ∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°。
∵ CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ ∠CDO=∠CEO=90°，
∴ ∠DCO=∠AOC=45°，∠ECO=∠COE=45°，
∴ CD=OD，CE=OE，△CDO和△CEO均为等腰直角三角形。
由勾股定理得CD²+OD²=OC²，CE²+OE²=OC²，即$2CD^2=2^2$，$2OE^2=2^2$，
解得$CD=OD=OE=CE=\sqrt{2}$。
∴ 阴影部分的面积：
$S=S_{扇形AOB}-S_{△ CDO}-S_{△ CEO}$
$=\frac{90π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=π - 1 -1$
$=π-2$
【答案】
$π-2$
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形性质；弧中点的性质
【点评】
本题属于阴影面积计算的常规题型，解题核心是利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积和差，通过连接辅助线OC挖掘隐含的等角关系，判定空白三角形的形状是解题的关键，能有效考查对几何基础性质和面积公式的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题是不规则阴影面积的计算问题，可采用割补法求解：阴影部分面积等于扇形OAB的面积减去两个空白直角三角形的面积。首先连接辅助线OC，利用弧中点的性质可得到∠AOC=∠BOC=45°，再结合CD⊥OA、CE⊥OB的条件，可判断△CDO和△CEO均为等腰直角三角形，分别计算出扇形和两个等腰直角三角形的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：连结OC，
∵ OA=2，OC是扇形的半径，
∴ OC=OA=2。
∵ ∠AOB=90°，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ ∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°。
∵ CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ ∠CDO=∠CEO=90°，
∴ ∠DCO=∠AOC=45°，∠ECO=∠COE=45°，
∴ CD=OD，CE=OE，△CDO和△CEO均为等腰直角三角形。
由勾股定理得CD²+OD²=OC²，CE²+OE²=OC²，即$2CD^2=2^2$，$2OE^2=2^2$，
解得$CD=OD=OE=CE=\sqrt{2}$。
∴ 阴影部分的面积：
$S=S_{扇形AOB}-S_{△ CDO}-S_{△ CEO}$
$=\frac{90π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=π - 1 -1$
$=π-2$
【答案】
$π-2$
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形性质；弧中点的性质
【点评】
本题属于阴影面积计算的常规题型，解题核心是利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积和差，通过连接辅助线OC挖掘隐含的等角关系，判定空白三角形的形状是解题的关键，能有效考查对几何基础性质和面积公式的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. （2025·嘉兴期中）如图，已知AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ D=60°$且$AB=6$，过圆心O作$OE ⊥ AC$，垂足为E.
(1) 求OE的长.
(2) 若OE的延长线交$\odot O$于点F，求弦AF，AC和$\overset{\frown}{CF}$所围成的图形（阴影部分）的面积S.
(1) 求OE的长.
(2) 若OE的延长线交$\odot O$于点F，求弦AF，AC和$\overset{\frown}{CF}$所围成的图形（阴影部分）的面积S.
答案
3. (1)
∵ OE⊥AC,
∴ 点E是AC的中点.
∵ O是AB的中点,
∴ OE=$\frac{1}{2}$BC.
∵ AB是直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠B=∠D=60°,
∴ ∠BAC=90°-∠B=30°,
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=3,
∴ OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$.
(2)连结OC,如图,
∵ OA=OF=OC,∠BAC=30°,
∴ ∠AOE=90°-∠BAC=60°,
∴ △OAF是等边三角形.
∵ OE⊥AC,
∴ OE=FE,
∴ $S_{△AEF}=S_{△AEO}$.
∵ OA=OC,OE⊥AC,
∴ AE=CE,∠COF=∠AOE=60°,
∴ $S_{△AEO}=S_{△OCE}$,
∴ $S_{△AEF}=S_{△OCE}$,
∴ $S = S_{△AEF} + S_{扇形OCF} - S_{△OCE}=S_{扇形OCF}$.
∵ AB=6,
∴ OC=$\frac{1}{2}$AB=3,
∴ S=$\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解OE的长：首先由OE⊥AC结合垂径定理可得E是AC中点，已知O是AB中点，可判断OE是△ABC的中位线，即OE=$\frac{1}{2}$BC；再根据直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，同弧所对圆周角相等得∠B=∠D=60°，进而在Rt△ABC中求出BC的长，即可得到OE的长度。
(2) 求解阴影部分面积：阴影为不规则图形，直接计算难度大，考虑用割补法转化。连接OC，先推出∠COF=60°，再结合垂直平分线、等边三角形的性质，证明△AEF和△OCE面积相等，可将阴影面积转化为扇形OCF的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ OE⊥AC，
∴ 点E是AC的中点。
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，即OE=$\frac{1}{2}$BC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB=90°。
∵ ∠B和∠D同对弧AC，
∴∠B=∠D=60°，
∴ ∠BAC=90°-∠B=30°，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×6=3$，
∴ OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$。
(2) 连结OC，如图，
∵ OA=OF=OC，∠BAC=30°，
∴ ∠AOE=90°-∠BAC=60°，
∴ △OAF是等边三角形。
∵ OE⊥AC，
∴ OE=FE，
∴ $S_{△AEF}=S_{△AEO}$。
∵ OA=OC，OE⊥AC，
∴ AE=CE，∠COF=∠AOE=60°，
∴ $S_{△AEO}=S_{△OCE}$，
∴ $S_{△AEF}=S_{△OCE}$，
∴ 阴影面积$S = S_{△AEF} + S_{扇形OCF} - S_{△OCE}=S_{扇形OCF}$。
∵ AB=6，
∴ OC=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ S=$\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$。
【答案】
(1) OE的长为$\frac{3}{2}$；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{3π}{2}$。
连结OC如图：
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，考查了中位线性质、圆的基本性质以及不规则图形面积的计算，解题核心是通过割补法将难以直接计算的阴影面积转化为规则的扇形面积，这类转化思想是求解圆中阴影面积问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解OE的长：首先由OE⊥AC结合垂径定理可得E是AC中点，已知O是AB中点，可判断OE是△ABC的中位线，即OE=$\frac{1}{2}$BC；再根据直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，同弧所对圆周角相等得∠B=∠D=60°，进而在Rt△ABC中求出BC的长，即可得到OE的长度。
(2) 求解阴影部分面积：阴影为不规则图形，直接计算难度大，考虑用割补法转化。连接OC，先推出∠COF=60°，再结合垂直平分线、等边三角形的性质，证明△AEF和△OCE面积相等，可将阴影面积转化为扇形OCF的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ OE⊥AC，
∴ 点E是AC的中点。
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，即OE=$\frac{1}{2}$BC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB=90°。
∵ ∠B和∠D同对弧AC，
∴∠B=∠D=60°，
∴ ∠BAC=90°-∠B=30°，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×6=3$，
∴ OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$。
(2) 连结OC，如图，
∵ OA=OF=OC，∠BAC=30°，
∴ ∠AOE=90°-∠BAC=60°，
∴ △OAF是等边三角形。
∵ OE⊥AC，
∴ OE=FE，
∴ $S_{△AEF}=S_{△AEO}$。
∵ OA=OC，OE⊥AC，
∴ AE=CE，∠COF=∠AOE=60°，
∴ $S_{△AEO}=S_{△OCE}$，
∴ $S_{△AEF}=S_{△OCE}$，
∴ 阴影面积$S = S_{△AEF} + S_{扇形OCF} - S_{△OCE}=S_{扇形OCF}$。
∵ AB=6，
∴ OC=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ S=$\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$。
【答案】
(1) OE的长为$\frac{3}{2}$；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{3π}{2}$。
连结OC如图：
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，考查了中位线性质、圆的基本性质以及不规则图形面积的计算，解题核心是通过割补法将难以直接计算的阴影面积转化为规则的扇形面积，这类转化思想是求解圆中阴影面积问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
