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1. (2026·阜阳期中)如图，在正方形内部有半圆弧长$C_1$与扇形弧长$C_2$，则$C_1$和$C_2$的大小关系是 (
A.$C_1=C_2$
B.$C_1＞C_2$
C.$C_1＜C_2$
D.$C_1≥ C_2$
A
)A.$C_1=C_2$
B.$C_1＞C_2$
C.$C_1＜C_2$
D.$C_1≥ C_2$
答案
1. A
解析
【分析】
要比较两段弧长的大小，需用到弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。我们可以先设正方形边长为参数，分别确定两段弧对应的圆心角和半径，代入公式计算出两段弧长后再比较大小即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$。
1. 计算半圆弧长$C_1$：
半圆$C_1$的直径等于正方形边长$a$，因此其半径$r_1=\frac{a}{2}$，对应的圆心角$n_1=180°$。
代入弧长公式得：
$C_1=\frac{n_1π r_1}{180}=\frac{180×π×\frac{a}{2}}{180}=\frac{π a}{2}$
2. 计算扇形弧长$C_2$：
扇形$C_2$的半径等于正方形边长$a$，对应的圆心角$n_2=90°$。
代入弧长公式得：
$C_2=\frac{n_2π r_2}{180}=\frac{90×π× a}{180}=\frac{π a}{2}$
3. 比较大小：
因为$\frac{π a}{2}=\frac{π a}{2}$，所以$C_1=C_2$。
【答案】
A
【知识点】
弧长的计算、正方形的性质
【点评】
本题解题核心是准确找到两段弧对应的圆心角和半径，不要仅凭直观视觉效果判断弧长大小，通过代入参数计算即可得到准确结果。
【难度系数】
0.7
要比较两段弧长的大小，需用到弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。我们可以先设正方形边长为参数，分别确定两段弧对应的圆心角和半径，代入公式计算出两段弧长后再比较大小即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$。
1. 计算半圆弧长$C_1$：
半圆$C_1$的直径等于正方形边长$a$，因此其半径$r_1=\frac{a}{2}$，对应的圆心角$n_1=180°$。
代入弧长公式得：
$C_1=\frac{n_1π r_1}{180}=\frac{180×π×\frac{a}{2}}{180}=\frac{π a}{2}$
2. 计算扇形弧长$C_2$：
扇形$C_2$的半径等于正方形边长$a$，对应的圆心角$n_2=90°$。
代入弧长公式得：
$C_2=\frac{n_2π r_2}{180}=\frac{90×π× a}{180}=\frac{π a}{2}$
3. 比较大小：
因为$\frac{π a}{2}=\frac{π a}{2}$，所以$C_1=C_2$。
【答案】
A
【知识点】
弧长的计算、正方形的性质
【点评】
本题解题核心是准确找到两段弧对应的圆心角和半径，不要仅凭直观视觉效果判断弧长大小，通过代入参数计算即可得到准确结果。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (2026·绍兴期中)如图,在平面直角坐标系中,以点O为旋转中心,将点A(1,1)按逆时针方向旋转到点B的位置,则$\overset{\frown}{AB}$的长为 (
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{2}π$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}π$
D
)A.$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{2}π$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}π$
答案
2. D
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需先明确弧长公式的两个核心条件：弧所在圆的半径（即旋转半径OA的长度）和弧对应的圆心角（即旋转角的度数）。第一步可根据点A的坐标用勾股定理求出OA的长度；第二步结合A的位置判断旋转角的度数；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 求旋转半径OA的长度：
已知点A坐标为$(1,1)$，根据勾股定理可得$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 确定旋转角（圆心角）的度数：
点A在直线$y=x$上，OA与x轴正方向的夹角为$45°$，逆时针旋转到y轴正方向上的B点，旋转角为$90°-45°=45°$，即$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$45°$。
3. 代入弧长公式计算：
弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），将$n=45$，$r=\sqrt{2}$代入得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{45×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{4}π$。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算，勾股定理，旋转的性质
【点评】
本题属于弧长计算的基础应用题型，解题关键是结合坐标和旋转的性质准确得到弧长公式需要的半径和圆心角两个参数，计算时注意约分即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需先明确弧长公式的两个核心条件：弧所在圆的半径（即旋转半径OA的长度）和弧对应的圆心角（即旋转角的度数）。第一步可根据点A的坐标用勾股定理求出OA的长度；第二步结合A的位置判断旋转角的度数；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 求旋转半径OA的长度：
已知点A坐标为$(1,1)$，根据勾股定理可得$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 确定旋转角（圆心角）的度数：
点A在直线$y=x$上，OA与x轴正方向的夹角为$45°$，逆时针旋转到y轴正方向上的B点，旋转角为$90°-45°=45°$，即$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$45°$。
3. 代入弧长公式计算：
弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），将$n=45$，$r=\sqrt{2}$代入得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{45×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{4}π$。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算，勾股定理，旋转的性质
【点评】
本题属于弧长计算的基础应用题型，解题关键是结合坐标和旋转的性质准确得到弧长公式需要的半径和圆心角两个参数，计算时注意约分即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ (2026·南京期中)如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中$AB=8$ cm,量角器的刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第35秒时,点E在量角器上对应划过的$\overset{\frown}{AE}$的长度是
$\frac{28π}{9}$
cm.(结果保留π)答案
3. $\frac{28π}{9}$
解析
【分析】
首先由∠ACB=90°、AB为量角器的直径，可判定点C在以AB为直径的圆上，O为圆心。先计算35秒时CP旋转的角度得到∠ACP的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角度数，最后代入弧长公式计算即可得到弧长。
【解析】
1. 求圆的半径：已知量角器直径AB=8cm，因此圆O的半径$r=\frac{1}{2}AB=4$cm。
2. 求∠ACE的度数：射线CP的旋转速度为每秒2度，35秒转过的角度为$2°×35=70°$，即$∠ ACE=70°$。
3. 求$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角：因为点C、E均在以AB为直径的圆上，$∠ ACE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，$∠ AOE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角，根据圆周角定理可得$∠ AOE=2∠ ACE=2×70°=140°$。
4. 计算弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=140，r=4得：
$l_{\overset{\frown}{AE}}=\frac{140×π×4}{180}=\frac{28π}{9}$cm。
【答案】
$\frac{28π}{9}$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，旋转的性质
【点评】
本题结合旋转、量角器场景考查圆的相关计算，解题关键是判断点C在圆上，找到旋转角与弧对应圆心角的关系，需熟练掌握圆周角定理和弧长公式，能结合图形分析角度的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先由∠ACB=90°、AB为量角器的直径，可判定点C在以AB为直径的圆上，O为圆心。先计算35秒时CP旋转的角度得到∠ACP的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角度数，最后代入弧长公式计算即可得到弧长。
【解析】
1. 求圆的半径：已知量角器直径AB=8cm，因此圆O的半径$r=\frac{1}{2}AB=4$cm。
2. 求∠ACE的度数：射线CP的旋转速度为每秒2度，35秒转过的角度为$2°×35=70°$，即$∠ ACE=70°$。
3. 求$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角：因为点C、E均在以AB为直径的圆上，$∠ ACE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，$∠ AOE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角，根据圆周角定理可得$∠ AOE=2∠ ACE=2×70°=140°$。
4. 计算弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=140，r=4得：
$l_{\overset{\frown}{AE}}=\frac{140×π×4}{180}=\frac{28π}{9}$cm。
【答案】
$\frac{28π}{9}$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，旋转的性质
【点评】
本题结合旋转、量角器场景考查圆的相关计算，解题关键是判断点C在圆上，找到旋转角与弧对应圆心角的关系，需熟练掌握圆周角定理和弧长公式，能结合图形分析角度的对应关系。
【难度系数】
0.6
4. 如图,弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1,则弧三角形的周长等于 (
A.$\frac{π}{2}$
B.$π$
C.$\frac{3}{2}π$
D.$2π$
B
)A.$\frac{π}{2}$
B.$π$
C.$\frac{3}{2}π$
D.$2π$
答案
4. B
解析
【分析】
要求弧三角形的周长，首先观察图形明确其周长是三段等长圆弧的长度之和，不需要计算正三角形的边长。接下来确定单段弧的参数：每段弧以正三角形的顶点为圆心，正三角形边长为半径，正三角形每个内角为60°，因此每段弧的圆心角是60°，半径等于正三角形边长1。最后结合弧长公式算出单段弧长，再乘3即可得到总周长。
【解析】
1. 正三角形的每个内角均为$ 60° $，由题意可知，每段弧的圆心角$ n=60° $，半径$ r=1 $。
2. 根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为弧所对圆心角度数，$ r $为半径），可计算单段弧的长度：$ l=\frac{60π × 1}{180}=\frac{π}{3} $。
3. 弧三角形的周长为三段等弧的长度之和，因此总周长$ C=3×\frac{π}{3}=π $。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；正三角形的性质；组合图形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是明确弧三角形的周长仅为三段圆弧的长度和，不要错误加入正三角形的边长，结合正三角形内角确定弧的圆心角后套用公式即可求解。
【难度系数】
0.8
要求弧三角形的周长，首先观察图形明确其周长是三段等长圆弧的长度之和，不需要计算正三角形的边长。接下来确定单段弧的参数：每段弧以正三角形的顶点为圆心，正三角形边长为半径，正三角形每个内角为60°，因此每段弧的圆心角是60°，半径等于正三角形边长1。最后结合弧长公式算出单段弧长，再乘3即可得到总周长。
【解析】
1. 正三角形的每个内角均为$ 60° $，由题意可知，每段弧的圆心角$ n=60° $，半径$ r=1 $。
2. 根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为弧所对圆心角度数，$ r $为半径），可计算单段弧的长度：$ l=\frac{60π × 1}{180}=\frac{π}{3} $。
3. 弧三角形的周长为三段等弧的长度之和，因此总周长$ C=3×\frac{π}{3}=π $。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；正三角形的性质；组合图形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是明确弧三角形的周长仅为三段圆弧的长度和，不要错误加入正三角形的边长，结合正三角形内角确定弧的圆心角后套用公式即可求解。
【难度系数】
0.8
5. ★★★（2026·四平月考）如图是一个半径为3 cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是$\overset{\frown}{AB}$上的两点，∠ADC=130°，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是
$(\frac{5}{3}π+6)$
cm（结果保留π）。答案
5. $(\frac{5}{3}π+6)$
解析
【分析】
要求阴影扇形的周长，需明确扇形周长=对应弧长+2条半径的长度，因此解题思路为：第一步先求阴影扇形的圆心角∠AOC的度数；第二步根据弧长公式计算弧AC的长度；第三步将弧长与两条半径长度相加得到最终周长。求圆心角时，可先利用圆内接四边形对角互补求出∠ABC的度数，再结合等腰三角形性质推导得到∠COB，进而求出∠AOC。
【解析】
1. 求扇形圆心角度数：
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ ADC=130°$，代入得$∠ ABC=180°-130°=50°$
∵OC、OB均为⊙O的半径，
∴OC=OB，△OBC为等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC=50°$
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ COB=180°-50°×2=80°$
∵AB是半圆直径，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ COB=100°$
2. 计算弧AC的长度：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=100°，r=3cm：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{100π×3}{180}=\frac{5π}{3}\ \mathrm{cm}$
3. 计算扇形周长：
扇形周长=弧长+2条半径长度，即$\frac{5π}{3}+3×2=(\frac{5}{3}π+6)\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(\frac{5}{3}π+6)$
【知识点】
圆内接四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于弧长计算的常规题型，解题的核心是准确推出扇形的圆心角，需要注意的是扇形周长不仅包含弧长，还需加上两条半径的长度，避免漏算导致错误。
【难度系数】
0.65
要求阴影扇形的周长，需明确扇形周长=对应弧长+2条半径的长度，因此解题思路为：第一步先求阴影扇形的圆心角∠AOC的度数；第二步根据弧长公式计算弧AC的长度；第三步将弧长与两条半径长度相加得到最终周长。求圆心角时，可先利用圆内接四边形对角互补求出∠ABC的度数，再结合等腰三角形性质推导得到∠COB，进而求出∠AOC。
【解析】
1. 求扇形圆心角度数：
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ ADC=130°$，代入得$∠ ABC=180°-130°=50°$
∵OC、OB均为⊙O的半径，
∴OC=OB，△OBC为等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC=50°$
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ COB=180°-50°×2=80°$
∵AB是半圆直径，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ COB=100°$
2. 计算弧AC的长度：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=100°，r=3cm：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{100π×3}{180}=\frac{5π}{3}\ \mathrm{cm}$
3. 计算扇形周长：
扇形周长=弧长+2条半径长度，即$\frac{5π}{3}+3×2=(\frac{5}{3}π+6)\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(\frac{5}{3}π+6)$
【知识点】
圆内接四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于弧长计算的常规题型，解题的核心是准确推出扇形的圆心角，需要注意的是扇形周长不仅包含弧长，还需加上两条半径的长度，避免漏算导致错误。
【难度系数】
0.65
6. ★★★ (2025·松原模拟)如图,在$□ ABCD$中,$∠ D=120°$,$CD=2$,以点A为圆心,AB的长为半径画弧交AD边于点E,以点B为圆心,BE的长为半径画弧交BC边于点F,则阴影部分图形的周长为
$\frac{4}{3}π+2$
(结果保留π).答案
6. $\frac{4}{3}π+2$
解析
【分析】
要计算阴影部分的周长，首先明确其由三部分组成：以A为圆心的弧BE的长、以B为圆心的弧EF的长、线段BF的长。解题步骤如下：①利用平行四边形邻角互补、对边相等的性质，求出∠A的度数和AB的长度；②结合AE=AB的条件，判定△ABE为等边三角形，得到BE的长度和∠ABE的度数；③利用平行线的内错角相等，求出弧EF对应的圆心角∠EBF的度数；④分别用弧长公式计算两段弧的长度，再加上线段BF的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A + ∠D = 180°，AB = CD = 2，AD//BC，
∵∠D = 120°，
∴∠A = 180° - 120° = 60°，
又
∵AE = AB = 2，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE = AB = 2，∠ABE = 60°，
∵AD//BC，
∴∠EBF = ∠AEB = 60°（两直线平行，内错角相等），
由题意可知BF = BE = 2，
弧BE的长：$l_{BE}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$，
弧EF的长：$l_{EF}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$，
∴阴影部分的周长 = $l_{BE} + l_{EF} + BF = \frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}+2=\frac{4}{3}π+2$。
【答案】
$\frac{4}{3}π+2$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是准确梳理阴影周长的组成部分，结合特殊图形的性质求出弧对应的圆心角和半径，计算时要注意不要漏加线段BF的长度。
【难度系数】
0.65
要计算阴影部分的周长，首先明确其由三部分组成：以A为圆心的弧BE的长、以B为圆心的弧EF的长、线段BF的长。解题步骤如下：①利用平行四边形邻角互补、对边相等的性质，求出∠A的度数和AB的长度；②结合AE=AB的条件，判定△ABE为等边三角形，得到BE的长度和∠ABE的度数；③利用平行线的内错角相等，求出弧EF对应的圆心角∠EBF的度数；④分别用弧长公式计算两段弧的长度，再加上线段BF的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A + ∠D = 180°，AB = CD = 2，AD//BC，
∵∠D = 120°，
∴∠A = 180° - 120° = 60°，
又
∵AE = AB = 2，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE = AB = 2，∠ABE = 60°，
∵AD//BC，
∴∠EBF = ∠AEB = 60°（两直线平行，内错角相等），
由题意可知BF = BE = 2，
弧BE的长：$l_{BE}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$，
弧EF的长：$l_{EF}=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$，
∴阴影部分的周长 = $l_{BE} + l_{EF} + BF = \frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}+2=\frac{4}{3}π+2$。
【答案】
$\frac{4}{3}π+2$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是准确梳理阴影周长的组成部分，结合特殊图形的性质求出弧对应的圆心角和半径，计算时要注意不要漏加线段BF的长度。
【难度系数】
0.65
