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1. ★★★(2026·驻马店期中)如图,点C,D在半圆O上,CO//BD,∠DAC=α,∠BOC=β,则α,β满足的关系是 (
A.α+β=90°
B.α+β=180°
C.α+2β=180°
D.2α+β=180°
D
)A.α+β=90°
B.α+β=180°
C.α+2β=180°
D.2α+β=180°
答案
1. D
解析
【分析】
解题时可结合圆周角定理、平行线性质、等腰三角形性质逐步推导：首先观察已知圆周角∠DAC=α，它对应弧CD，根据圆周角定理可得到对应圆心角的度数；再利用OC//BD的平行关系得到角的等量关系，结合半径相等推出等腰三角形的等角关系，最后利用平角为180°的性质即可推导出α和β的关系式。
【解析】
1. 作辅助线连接OD。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DAC是弧CD所对的圆周角，∠COD是弧CD所对的圆心角，因此$∠ COD=2∠ DAC=2α$。
3. 因为$OC// BD$，OD为两条平行线的截线，根据平行线内错角相等，可得$∠ ODB=∠ COD=2α$。
4. 因为OD、OB都是$\odot O$的半径，所以$OD=OB$，$△ ODB$为等腰三角形，因此底角相等，即$∠ OBD=∠ ODB=2α$。
5. 又因为$OC// BD$，AB为两条平行线的截线，根据平行线同位角相等，可得$∠ AOC=∠ OBD=2α$。
6. 由于A、O、B三点共线，$∠ AOB$为平角，因此$∠ AOC+∠ BOC=180°$，已知$∠ BOC=β$，代入得$2α+β=180°$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过圆周角定理完成圆周角和圆心角的角度转化，再结合平行线、等腰三角形的等角关系，最终通过平角性质建立两个未知角的关系式，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
解题时可结合圆周角定理、平行线性质、等腰三角形性质逐步推导：首先观察已知圆周角∠DAC=α，它对应弧CD，根据圆周角定理可得到对应圆心角的度数；再利用OC//BD的平行关系得到角的等量关系，结合半径相等推出等腰三角形的等角关系，最后利用平角为180°的性质即可推导出α和β的关系式。
【解析】
1. 作辅助线连接OD。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DAC是弧CD所对的圆周角，∠COD是弧CD所对的圆心角，因此$∠ COD=2∠ DAC=2α$。
3. 因为$OC// BD$，OD为两条平行线的截线，根据平行线内错角相等，可得$∠ ODB=∠ COD=2α$。
4. 因为OD、OB都是$\odot O$的半径，所以$OD=OB$，$△ ODB$为等腰三角形，因此底角相等，即$∠ OBD=∠ ODB=2α$。
5. 又因为$OC// BD$，AB为两条平行线的截线，根据平行线同位角相等，可得$∠ AOC=∠ OBD=2α$。
6. 由于A、O、B三点共线，$∠ AOB$为平角，因此$∠ AOC+∠ BOC=180°$，已知$∠ BOC=β$，代入得$2α+β=180°$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过圆周角定理完成圆周角和圆心角的角度转化，再结合平行线、等腰三角形的等角关系，最终通过平角性质建立两个未知角的关系式，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
2. ★★★ (2026·武汉期中)如图,半径为5和$\sqrt{34}$的两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若$CD=8$,则AB的大小为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
2. C
解析
【分析】
本题是同心圆弦长计算问题，解题核心是利用垂径定理作辅助线。首先过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，该垂线同时平分AB和CD，将问题转化为直角三角形边长计算：先借助小圆半径和CD的半长求出弦心距，再结合大圆半径和弦心距求出AB的半长，最终得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OH⊥AB于点H，连接OC、OA。
根据垂径定理可得：$CH=DH=\frac{1}{2}CD$，$AH=BH=\frac{1}{2}AB$。
已知$CD=8$，因此$CH=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△OCH中，小圆半径$OC=5$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
在Rt△OAH中，大圆半径$OA=\sqrt{34}$，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=\sqrt{34-9}=5$。
因此$AB=2AH=2×5=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，作弦心距构造直角三角形是解决这类问题的常用技巧，需要熟练掌握垂径定理的应用以及勾股定理在直角三角形边长计算中的使用。
【难度系数】
0.7
本题是同心圆弦长计算问题，解题核心是利用垂径定理作辅助线。首先过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，该垂线同时平分AB和CD，将问题转化为直角三角形边长计算：先借助小圆半径和CD的半长求出弦心距，再结合大圆半径和弦心距求出AB的半长，最终得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OH⊥AB于点H，连接OC、OA。
根据垂径定理可得：$CH=DH=\frac{1}{2}CD$，$AH=BH=\frac{1}{2}AB$。
已知$CD=8$，因此$CH=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△OCH中，小圆半径$OC=5$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
在Rt△OAH中，大圆半径$OA=\sqrt{34}$，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=\sqrt{34-9}=5$。
因此$AB=2AH=2×5=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，作弦心距构造直角三角形是解决这类问题的常用技巧，需要熟练掌握垂径定理的应用以及勾股定理在直角三角形边长计算中的使用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$DB=DA$,过点$D$作$BC$的垂线交$BC$的延长线于点$E$.则下列结论:①$CD$平分$∠ ACE$;②若点$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点,则$CD$平行于$△ ABD$的某条角平分线;③若$AC+BC=12,DE=3$,则$DA=7$;④若$AC-BC=4,DE=3$,则$DC=\sqrt{13}$.其中正确的有 (
A.①③
B.①②④
C.②④
D.①②③④
＞＞ 对点专练 P57
B
)A.①③
B.①②④
C.②④
D.①②③④
＞＞ 对点专练 P57
答案
3. B
解析
【分析】
我们逐个验证4个结论：①利用圆内接四边形外角等于内对角、等腰三角形等角性质，证明∠DCE=∠ACD即可判断；②结合弧中点的性质得到等角，再根据平行线判定判断CD与△ABD的角平分线是否平行；③通过作DF⊥AC于F，利用角平分线性质得DE=DF，证明Rt△DFA≌Rt△DEB，推导AC+BC与AF的关系，再用勾股定理计算DA判断正误；④同理推导AC-BC与CE的关系，再用勾股定理计算DC即可判断。
【解析】
1. 判断结论①：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE=∠BAD（圆内接四边形外角等于内对角）。
∵DB=DA，
∴∠BAD=∠ABD。
又
∵∠ABD=∠ACD（同弧AD所对圆周角相等），
∴∠DCE=∠ACD，即CD平分∠ACE，故①正确。
2. 判断结论②：
若C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，则$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAC=∠DAC，∠DBC=∠BDC。
∵∠DBC=∠DAC（同弧DC所对圆周角相等），∠ABD=∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠BDC，
作△ABD中∠ABD的角平分线，可得$\frac{1}{2}∠ABD=∠BDC$，内错角相等，故CD与该角平分线平行，故②正确。
3. 判断结论③：
过D作DF⊥AC于F，
∵CD平分∠ACE，DE⊥BE，
∴DE=DF=3，CE=CF。
在Rt△DFA和Rt△DEB中，$\{\begin{array}{l}DA=DB\\DF=DE\end{array} $，
∴Rt△DFA≌Rt△DEB（HL），
∴AF=BE。
∵AC=AF+CF，BC=BE-CE=AF-CE，
∴AC+BC=AF+CF+AF-CE=2AF=12，得AF=6。
在Rt△DFA中，$DA=\sqrt{AF^2+DF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}≠7$，故③错误。
4. 判断结论④：
同理，AC-BC=(AF+CF)-(AF-CE)=2CE=4，得CE=2。
在Rt△DEC中，$DC=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、全等三角形的应用及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合角平分线性质转化线段关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.6
我们逐个验证4个结论：①利用圆内接四边形外角等于内对角、等腰三角形等角性质，证明∠DCE=∠ACD即可判断；②结合弧中点的性质得到等角，再根据平行线判定判断CD与△ABD的角平分线是否平行；③通过作DF⊥AC于F，利用角平分线性质得DE=DF，证明Rt△DFA≌Rt△DEB，推导AC+BC与AF的关系，再用勾股定理计算DA判断正误；④同理推导AC-BC与CE的关系，再用勾股定理计算DC即可判断。
【解析】
1. 判断结论①：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE=∠BAD（圆内接四边形外角等于内对角）。
∵DB=DA，
∴∠BAD=∠ABD。
又
∵∠ABD=∠ACD（同弧AD所对圆周角相等），
∴∠DCE=∠ACD，即CD平分∠ACE，故①正确。
2. 判断结论②：
若C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，则$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAC=∠DAC，∠DBC=∠BDC。
∵∠DBC=∠DAC（同弧DC所对圆周角相等），∠ABD=∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠BDC，
作△ABD中∠ABD的角平分线，可得$\frac{1}{2}∠ABD=∠BDC$，内错角相等，故CD与该角平分线平行，故②正确。
3. 判断结论③：
过D作DF⊥AC于F，
∵CD平分∠ACE，DE⊥BE，
∴DE=DF=3，CE=CF。
在Rt△DFA和Rt△DEB中，$\{\begin{array}{l}DA=DB\\DF=DE\end{array} $，
∴Rt△DFA≌Rt△DEB（HL），
∴AF=BE。
∵AC=AF+CF，BC=BE-CE=AF-CE，
∴AC+BC=AF+CF+AF-CE=2AF=12，得AF=6。
在Rt△DFA中，$DA=\sqrt{AF^2+DF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}≠7$，故③错误。
4. 判断结论④：
同理，AC-BC=(AF+CF)-(AF-CE)=2CE=4，得CE=2。
在Rt△DEC中，$DC=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、全等三角形的应用及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合角平分线性质转化线段关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.6
4. ★★★ (2025·上海中考)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是
＞＞对点专练 P59
36°或108°
。＞＞对点专练 P59
答案
4. 36°或108°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先结合正多边形的性质，求出正五边形每条边对应的劣弧度数，这是计算角度的基础；第二步，考虑角的顶点与圆的位置关系：因为圆和角的两边各有两个公共点，所以顶点既可能在圆外，也可能在圆内（顶点在圆上时也符合两边各两个公共点的要求），两种情况分别对应不同的角度计算规则，分别计算即可得到全部解，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算正五边形边对应的劣弧度数
正n边形每条边所对的劣弧（中心角）度数为$\frac{360°}{n}$，代入$n=5$得，正五边形每条边对应的劣弧度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
2. 分情况讨论角的度数
情况1：角的顶点在圆外
设该角为$∠ P$，两边分别交圆于$A、B$和$C、D$（$A、C$为靠近$P$的交点），其中弦$AB、CD$都是正五边形的边，即劣弧$AB=劣弧CD=72°$。根据圆外角性质（可由三角形外角+圆周角定理推导）：圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半，此时两段弧的度数差为$72°$，因此$∠ P=\frac{1}{2}×72°=36°$。
情况2：角的顶点在圆内或圆上
若顶点在圆内，根据圆内角性质：圆内角的度数等于它所夹两段弧度数和的一半，此时两段弧的度数和为$3×72°=216°$，因此$∠ P=\frac{1}{2}×216°=108°$；若顶点在圆上，$∠ P$为圆周角，根据圆周角定理，圆周角度数等于所对弧度数的一半，其所对的弧为$3×72°=216°$，因此$∠ P=\frac{1}{2}×216°=108°$，两种情况结果一致。
综上，这个角的大小为$36°$或$108°$。
【答案】
$36°$或$108°$
【知识点】
正多边形与圆；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题是正多边形与圆的综合应用题，解题核心是先求出正五边形边对应的劣弧度数，再对顶点位置分类讨论，易错点是容易遗漏其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.5
解题思路如下：第一步，先结合正多边形的性质，求出正五边形每条边对应的劣弧度数，这是计算角度的基础；第二步，考虑角的顶点与圆的位置关系：因为圆和角的两边各有两个公共点，所以顶点既可能在圆外，也可能在圆内（顶点在圆上时也符合两边各两个公共点的要求），两种情况分别对应不同的角度计算规则，分别计算即可得到全部解，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算正五边形边对应的劣弧度数
正n边形每条边所对的劣弧（中心角）度数为$\frac{360°}{n}$，代入$n=5$得，正五边形每条边对应的劣弧度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
2. 分情况讨论角的度数
情况1：角的顶点在圆外
设该角为$∠ P$，两边分别交圆于$A、B$和$C、D$（$A、C$为靠近$P$的交点），其中弦$AB、CD$都是正五边形的边，即劣弧$AB=劣弧CD=72°$。根据圆外角性质（可由三角形外角+圆周角定理推导）：圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半，此时两段弧的度数差为$72°$，因此$∠ P=\frac{1}{2}×72°=36°$。
情况2：角的顶点在圆内或圆上
若顶点在圆内，根据圆内角性质：圆内角的度数等于它所夹两段弧度数和的一半，此时两段弧的度数和为$3×72°=216°$，因此$∠ P=\frac{1}{2}×216°=108°$；若顶点在圆上，$∠ P$为圆周角，根据圆周角定理，圆周角度数等于所对弧度数的一半，其所对的弧为$3×72°=216°$，因此$∠ P=\frac{1}{2}×216°=108°$，两种情况结果一致。
综上，这个角的大小为$36°$或$108°$。
【答案】
$36°$或$108°$
【知识点】
正多边形与圆；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题是正多边形与圆的综合应用题，解题核心是先求出正五边形边对应的劣弧度数，再对顶点位置分类讨论，易错点是容易遗漏其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.5
5. (2026·盐城期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A坐标为(6,1),点B坐标为(4,1),点C坐标为(2,3),则能完全覆盖△ABC的最小圆的半径为
$\sqrt{10}$
.答案
5. $\sqrt{10}$
解析
【分析】
要找到完全覆盖△ABC的最小圆，初中阶段可优先考虑三角形的外接圆（外接圆是经过三角形三个顶点的圆，是覆盖三角形的典型圆）。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），半径为外心到任意顶点的距离。解题步骤为：先求其中两条边的垂直平分线，联立方程得到外心坐标，再用两点间距离公式计算外心到顶点的距离即可得到半径。
【解析】
1. 求AB边的垂直平分线：
已知点A(6,1)，点B(4,1)，AB边平行于x轴，其中点坐标为$(\frac{6+4}{2},\frac{1+1}{2})=(5,1)$，因此AB的垂直平分线为竖直线$x=5$。
2. 求BC边的垂直平分线：
已知点B(4,1)，点C(2,3)，BC的中点坐标为$(\frac{4+2}{2},\frac{1+3}{2})=(3,2)$；
BC边的斜率$k_{BC}=\frac{3-1}{2-4}=-1$，由于互相垂直的直线斜率乘积为-1，因此BC垂直平分线的斜率为1；
由点斜式可得BC的垂直平分线方程：$y-2=1×(x-3)$，化简得$y=x-1$。
3. 求外心坐标与半径：
联立两条垂直平分线方程$\begin{cases}x=5\\y=x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$，即外心坐标为$(5,4)$。
根据两点间距离公式，外接圆半径$r=\sqrt{(6-5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线的求法；两点间距离公式
【点评】
本题考查三角形外接圆的相关计算，需要同学们熟练掌握垂直平分线的求解、一次方程联立求交点、两点距离公式的应用，解题核心是准确找到外接圆的圆心坐标。
【难度系数】
0.65
要找到完全覆盖△ABC的最小圆，初中阶段可优先考虑三角形的外接圆（外接圆是经过三角形三个顶点的圆，是覆盖三角形的典型圆）。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），半径为外心到任意顶点的距离。解题步骤为：先求其中两条边的垂直平分线，联立方程得到外心坐标，再用两点间距离公式计算外心到顶点的距离即可得到半径。
【解析】
1. 求AB边的垂直平分线：
已知点A(6,1)，点B(4,1)，AB边平行于x轴，其中点坐标为$(\frac{6+4}{2},\frac{1+1}{2})=(5,1)$，因此AB的垂直平分线为竖直线$x=5$。
2. 求BC边的垂直平分线：
已知点B(4,1)，点C(2,3)，BC的中点坐标为$(\frac{4+2}{2},\frac{1+3}{2})=(3,2)$；
BC边的斜率$k_{BC}=\frac{3-1}{2-4}=-1$，由于互相垂直的直线斜率乘积为-1，因此BC垂直平分线的斜率为1；
由点斜式可得BC的垂直平分线方程：$y-2=1×(x-3)$，化简得$y=x-1$。
3. 求外心坐标与半径：
联立两条垂直平分线方程$\begin{cases}x=5\\y=x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$，即外心坐标为$(5,4)$。
根据两点间距离公式，外接圆半径$r=\sqrt{(6-5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线的求法；两点间距离公式
【点评】
本题考查三角形外接圆的相关计算，需要同学们熟练掌握垂直平分线的求解、一次方程联立求交点、两点距离公式的应用，解题核心是准确找到外接圆的圆心坐标。
【难度系数】
0.65
6. ★★ (2025·杭州期中)如图,在平面直角坐标系中,点A,C,N的坐标分别为(-2,0),(3,0),(4,4),以点C为圆心,2为半径画$\odot C$,点P在$\odot C$上运动,连结AP,交$\odot C$于点Q,点M为线段QP的中点,连结MN,则线段MN的最小值为
$\frac{\sqrt{113}-5}{2}$
.答案
6. $\frac{\sqrt{113}-5}{2}$
解析
【分析】
首先根据垂径定理的推论，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，可得$CM⊥ AP$，即$∠ AMC=90°$，由此确定点$M$的运动轨迹是以$AC$为直径的圆；再计算该轨迹圆的圆心坐标和半径，最后根据圆外一点到圆上点的最小距离等于该点到圆心的距离减去半径，即可求出$MN$的最小值。
【解析】
1. 连接$CM$：
$\because$点$M$是$\odot C$的弦$QP$的中点，$C$为$\odot C$的圆心，根据垂径定理得$CM⊥ AP$，即$∠ AMC=90°$，
$\therefore$点$M$的轨迹是以线段$AC$为直径的圆。
2. 求轨迹圆的圆心和半径：
已知$A(-2,0)$，$C(3,0)$，则$AC$的中点（即轨迹圆的圆心）$D$的坐标为$(\frac{-2+3}{2},\frac{0+0}{2})=(\frac{1}{2},0)$，
$AC$的长度为$3-(-2)=5$，因此轨迹圆的半径$r=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。
3. 计算点$N$到轨迹圆圆心$D$的距离：
已知$N(4,4)$，根据两点间距离公式：
$DN=\sqrt{(4-\frac{1}{2})^2+(4-0)^2}=\sqrt{(\frac{7}{2})^2+4^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+16}=\sqrt{\frac{113}{4}}=\frac{\sqrt{113}}{2}$。
4. 求$MN$的最小值：
圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心距离减去半径，因此$MN_{\mathrm{min}}=DN-r=\frac{\sqrt{113}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{113}-5}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{113}-5}{2}$
【知识点】
垂径定理，动点轨迹问题，两点间距离公式
【点评】
本题核心是通过垂径定理挖掘动点的运动轨迹，将未知的线段最值问题转化为熟悉的圆外一点到圆上点的最短距离问题，较好地考察了转化思想和对圆的性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.4
首先根据垂径定理的推论，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，可得$CM⊥ AP$，即$∠ AMC=90°$，由此确定点$M$的运动轨迹是以$AC$为直径的圆；再计算该轨迹圆的圆心坐标和半径，最后根据圆外一点到圆上点的最小距离等于该点到圆心的距离减去半径，即可求出$MN$的最小值。
【解析】
1. 连接$CM$：
$\because$点$M$是$\odot C$的弦$QP$的中点，$C$为$\odot C$的圆心，根据垂径定理得$CM⊥ AP$，即$∠ AMC=90°$，
$\therefore$点$M$的轨迹是以线段$AC$为直径的圆。
2. 求轨迹圆的圆心和半径：
已知$A(-2,0)$，$C(3,0)$，则$AC$的中点（即轨迹圆的圆心）$D$的坐标为$(\frac{-2+3}{2},\frac{0+0}{2})=(\frac{1}{2},0)$，
$AC$的长度为$3-(-2)=5$，因此轨迹圆的半径$r=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。
3. 计算点$N$到轨迹圆圆心$D$的距离：
已知$N(4,4)$，根据两点间距离公式：
$DN=\sqrt{(4-\frac{1}{2})^2+(4-0)^2}=\sqrt{(\frac{7}{2})^2+4^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+16}=\sqrt{\frac{113}{4}}=\frac{\sqrt{113}}{2}$。
4. 求$MN$的最小值：
圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心距离减去半径，因此$MN_{\mathrm{min}}=DN-r=\frac{\sqrt{113}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{113}-5}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{113}-5}{2}$
【知识点】
垂径定理，动点轨迹问题，两点间距离公式
【点评】
本题核心是通过垂径定理挖掘动点的运动轨迹，将未知的线段最值问题转化为熟悉的圆外一点到圆上点的最短距离问题，较好地考察了转化思想和对圆的性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.4
7. 如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，将纸片沿BC，AD折叠，交于点O，图中阴影部分的面积为
$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
。 ＞＞ 对点专练 P61答案
7. $\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：①先确定圆的半径，直径AB长为2，因此圆O半径r=1。②利用折叠性质推导圆心角：沿BC折叠后弧BC过圆心O，可知圆心O到弦BC的弦心距为半径的一半，结合三角函数可求出∠BOC的度数，同理得∠AOD的度数。③利用割补法转化阴影面积：观察图形可知，阴影部分面积等于两个圆心角为120°的扇形面积之和，减去△AOD和△BOC的面积之和，代入数据计算即可。
【解析】
解：
∵AB是圆O的直径，且AB=2，
∴圆O的半径OA=OB=OC=OD=1。
过点O作OE⊥BC于点E，由折叠的性质可得，弦心距OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$。
在Rt△OCE中，$\cos∠ COE=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴∠COE=60°，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOC=2∠COE=120°，同理可得∠AOD=120°。
计算两个扇形的面积和：
$S_{扇BOC}+S_{扇AOD}=2×\frac{120°}{360°}×π×1^2=\frac{2π}{3}$
计算两个三角形的面积和：
$S_{△ BOC}+S_{△ AOD}=2×\frac{1}{2}×1×1×\sin120°=2×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
阴影部分面积为两个扇形面积和减去两个三角形面积和，即：
$S_{阴影}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
折叠的性质；扇形面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题的关键是通过折叠性质求出扇形圆心角，将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：①先确定圆的半径，直径AB长为2，因此圆O半径r=1。②利用折叠性质推导圆心角：沿BC折叠后弧BC过圆心O，可知圆心O到弦BC的弦心距为半径的一半，结合三角函数可求出∠BOC的度数，同理得∠AOD的度数。③利用割补法转化阴影面积：观察图形可知，阴影部分面积等于两个圆心角为120°的扇形面积之和，减去△AOD和△BOC的面积之和，代入数据计算即可。
【解析】
解：
∵AB是圆O的直径，且AB=2，
∴圆O的半径OA=OB=OC=OD=1。
过点O作OE⊥BC于点E，由折叠的性质可得，弦心距OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$。
在Rt△OCE中，$\cos∠ COE=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴∠COE=60°，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOC=2∠COE=120°，同理可得∠AOD=120°。
计算两个扇形的面积和：
$S_{扇BOC}+S_{扇AOD}=2×\frac{120°}{360°}×π×1^2=\frac{2π}{3}$
计算两个三角形的面积和：
$S_{△ BOC}+S_{△ AOD}=2×\frac{1}{2}×1×1×\sin120°=2×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
阴影部分面积为两个扇形面积和减去两个三角形面积和，即：
$S_{阴影}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
折叠的性质；扇形面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题的关键是通过折叠性质求出扇形圆心角，将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
