三、解答题
8. ★★★(2025·杭州月考)阅读下列材料：
平面上两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$之间的距离表示为$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设$P(x,y)$是圆心坐标为$C(a,b)$，半径为$r$的圆上任意一点，则点$P$适合的条件可表示为$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$，变形可得$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，我们称其为圆心为$C(a,b)$，半径为$r$的圆的标准方程。根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题。
(1)圆的标准方程为$(x-1)^2+(y-2)^2=25$，则它的圆心坐标是________，半径是________。
(2)圆心为$C(-3,4)$，半径为2的圆的标准方程为________；
(3)若已知$\odot C$的标准方程为$(x-2)^2+y^2=2^2$，圆心为$C$，请判断点$A(3,-1)$与$\odot C$的位置关系并说明理由。

8. (1) $(1,2)$ 5
(2) $(x+3)^2+(y-4)^2=4$
(3) $\because \odot C$ 的标准方程为 $(x-2)^2+y^2=2^2,\therefore$ 圆心坐标为 $C(2,0)$, $r=2.\because$ 点 $A(3,-1),\therefore AC=\sqrt{(2-3)^2+(0+1)^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}＜2$, $\therefore$ 点 $A$ 在 $\odot C$ 的内部.

【分析】
本题是材料阅读类题型，解题前首先要读懂材料给出的圆的标准方程定义：圆心为$C(a,b)$、半径为$r$的圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，同时明确点与圆的位置关系判断逻辑：计算点到圆心的距离，距离大于半径则点在圆外，等于半径则点在圆上，小于半径则点在圆内。
第(1)问直接对照圆的标准方程形式，提取对应参数即可得到圆心坐标和半径；
第(2)问将已知的圆心坐标、半径代入标准方程形式整理即可；
第(3)问先从圆的标准方程中得到圆心坐标和半径，再用两点间距离公式计算点A到圆心的距离，和半径比较大小即可判断位置关系。
【解析】
(1) 根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$对应圆心$(a,b)$、半径$r$，对比方程$(x-1)^2+(y-2)^2=25$，可得$a=1$，$b=2$，$r^2=25$，因为半径为正数，所以$r=5$。
(2) 已知圆心$C(-3,4)$，半径为2，即$a=-3$，$b=4$，$r=2$，代入标准方程得：$(x-(-3))^2+(y-4)^2=2^2$，整理得$(x+3)^2+(y-4)^2=4$。
(3) 理由如下：
由$\odot C$的标准方程为$(x-2)^2+y^2=2^2$，可得圆心坐标为$C(2,0)$，半径$r=2$。
根据两点间距离公式，点$A(3,-1)$到圆心$C$的距离为：
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2}＜2$，即点A到圆心的距离小于半径，因此点A在$\odot C$内部。
【答案】
(1) $(1,2)$，$5$
(2) $(x+3)^2+(y-4)^2=4$
(3) 点$A$在$\odot C$的内部，理由见解析
【知识点】
圆的标准方程，两点间距离公式，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于新定义阅读类基础题，主要考查对材料信息的提取与应用能力，解题关键是准确掌握圆的标准方程中各参数的含义，熟练运用两点间距离公式计算距离，再通过距离与半径的大小关系判断点和圆的位置。
【难度系数】
0.7

9. 新定义 如图①,C,D是半圆ACB上的两点,若直径AB上存在一点P,满足∠APC=∠BPD,则称∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”.
(1)如图②,AB是$\odot O$的直径,弦$CE ⊥ AB$,D是$\overset{\frown}{BC}$上一点,连结ED交AB于点P,连结CP,∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”吗?请说明理由.
(2)设$\overset{\frown}{CD}$的度数为n,请用含n的式子表示$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”度数.
(3)在(1)的条件下,直径AB=20,$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”为$90°$.
①如图③,连结CD,求弦CD的长;
②当$DE=14\sqrt{2}$时,求CE的长.

根据诊断结果,请完成对应的练习

9. (1) $∠CPD$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 的“幸运角”. 理由: $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $CE ⊥ AB,\therefore AB$ 平分 $EC$, 即 $AB$ 为 $EC$ 的垂直平分线, $\therefore PC = PE$. $\because AB ⊥ EC,\therefore ∠CPA = ∠EPA.\because ∠BPD = ∠EPA,\therefore ∠CPA = ∠BPD$, $\therefore ∠CPD$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 的“幸运角”.
(2) $\because \overset{\frown}{CD}$ 的度数为 $n,\therefore ∠CED = \frac{n}{2}.\because CE ⊥ AB,\therefore ∠APE = 90°-∠CED = 90°-\frac{n}{2},\therefore ∠BPD = ∠APE = 90°-\frac{n}{2},\therefore ∠APC = ∠BPD = 90°-\frac{n}{2},\therefore \overset{\frown}{CD}$ 的“幸运角”度数 $= ∠CPD = 180°-∠APC-∠BPD = n$, $\therefore \overset{\frown}{CD}$ 的“幸运角”度数为 $n$.
(3) ①连结 $OC,OD,\because \overset{\frown}{CD}$ 的“幸运角”为 $90°,\therefore ∠APC = ∠BPD = \frac{180°-90°}{2}=45°,\therefore ∠APE = ∠BPD = 45°.\because CE ⊥ AB,\therefore ∠E = ∠APE = 45°,\therefore ∠COD = 2∠E = 90°.\because AB = 20,\therefore OC = OD = 10,\therefore CD = \sqrt{2}OC = 10\sqrt{2}$.
②$\because ∠CPD = 90°,∠E = 45°,\therefore △CPE$ 为等腰直角三角形, $\therefore PC = PE$. 设 $PC = PE = x$, 则 $PD = DE - PE = 14\sqrt{2}-x$, 在 $Rt△PCD$ 中, $\because PC^2 + PD^2 = CD^2,\therefore x^2 + (14\sqrt{2}-x)^2 = (10\sqrt{2})^2$, 解得 $x = 6\sqrt{2}$ 或 $x = 8\sqrt{2}$, $\therefore PC = PE = 6\sqrt{2}$ 或 $8\sqrt{2},\therefore CE = \sqrt{2}PC = 12$ 或 $16$.

【分析】
(1) 判断∠CPD是否为$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”，核心是验证∠APC=∠BPD：结合CE⊥AB，利用垂径定理可得AB是CE的垂直平分线，推出PC=PE、∠APC=∠APE，再结合对顶角相等即可得∠APC=∠BPD，符合新定义要求。
(2) 求“幸运角”度数：先根据弧的度数与圆周角的关系得到∠CED=$\frac{n}{2}$，再结合CE⊥AB求出∠APE=90°-$\frac{n}{2}$，即∠APC=∠BPD=90°-$\frac{n}{2}$，最后利用平角180°计算∠CPD即可。
(3) ①已知“幸运角”为90°，结合(2)的结论得弧CD度数为90°，即圆心角∠COD=90°，再由直径长得半径，利用等腰直角三角形性质求CD即可；②先判断△CPE为等腰直角三角形，设PC=PE=x，表示出PD的长度，再在Rt△PCD中用勾股定理列方程求解x，最后根据等腰直角三角形三边关系求CE即可。
【解析】
(1) ∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”，理由如下：
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CE ⊥ AB$，
∴AB垂直平分EC，即AB为EC的垂直平分线，
∴$PC = PE$，
∴$∠CPA = ∠EPA$，
又
∵$∠BPD = ∠EPA$（对顶角相等），
∴$∠CPA = ∠BPD$，符合“幸运角”的定义。
(2)
∵$\overset{\frown}{CD}$的度数为$n$，
∴其所对的圆周角$∠CED = \frac{n}{2}$，
∵$CE ⊥ AB$，
∴$∠APE = 90°-∠CED = 90°-\frac{n}{2}$，
∴$∠BPD = ∠APE = 90°-\frac{n}{2}$，
由“幸运角”定义得$∠APC = ∠BPD = 90°-\frac{n}{2}$，
∴$∠CPD = 180°-∠APC-∠BPD = 180°-2×(90°-\frac{n}{2}) = n$。
(3) ①连结$OC,OD$，
∵$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”为90°，由(2)可知$\overset{\frown}{CD}$的度数为90°，
∴圆心角$∠COD = 90°$，
∵直径$AB=20$，
∴$OC=OD=\frac{1}{2}AB=10$，
在$Rt△COD$中，$CD = \sqrt{OC^2+OD^2} = \sqrt{10^2+10^2} = 10\sqrt{2}$。
②
∵$∠CPD=90°$，$∠CED=45°$，且由(1)知$PC=PE$，
∴△CPE为等腰直角三角形，即$PC=PE$，
设$PC=PE=x$，则$PD=DE-PE=14\sqrt{2}-x$，
在$Rt△PCD$中，由勾股定理得$PC^2 + PD^2 = CD^2$，
代入得$x^2 + (14\sqrt{2}-x)^2 = (10\sqrt{2})^2$，
整理得$x^2 -14\sqrt{2}x +96=0$，
解得$x = 6\sqrt{2}$ 或 $x = 8\sqrt{2}$，
∵△CPE为等腰直角三角形，
∴$CE = \sqrt{2}PC$，
当$PC=6\sqrt{2}$时，$CE=\sqrt{2}×6\sqrt{2}=12$；
当$PC=8\sqrt{2}$时，$CE=\sqrt{2}×8\sqrt{2}=16$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{n}$；
(3) ①$\boldsymbol{10\sqrt{2}}$；②$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{16}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合新定义考查圆的性质应用，解题关键是准确理解“幸运角”的定义，灵活运用圆的相关定理实现角、弧、线段的转化，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6