1.如图,一次函数 $y_1=k_1x+b(k_1＞0)$ 的图象与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$ 的图象相交于A,B两点,点A的横坐标为1,点B的横坐标为-2,当 $y_1＜y_2$ 时,x的取值范围是 ()

A.$x＜-2$ 或 $x＞1$
B.$x＜-2$ 或 $0＜x＜1$
C.$-2＜x＜0$ 或 $x＞1$
D.$-2＜x＜0$ 或 $0＜x＜1$

第1题图 第3题图

1.B

【分析】
要判断$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，本质是找同一横坐标下，一次函数图象位于反比例函数图象下方的$x$的取值。首先两个函数交点的横坐标为$x=-2$和$x=1$，再结合反比例函数自变量$x≠0$，因此以$x=-2$、$x=0$、$x=1$为分界点，将$x$的取值范围分为四段逐段观察图象位置即可得出结果。
【解析】
我们根据分界点$x=-2$、$x=0$、$x=1$分情况讨论：
1. 当$x＜-2$时，观察图象可得一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，此时$y_1＞y_2$，不符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
4. 当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，此时$y_1＞y_2$，不符合要求。
综上，$y_1＜y_2$时$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；反比例函数图象性质；图象法比较函数值
【点评】
本题属于函数图象的基础应用类题目，解题的关键是掌握“同一x值下，图象位置越靠上函数值越大”的规律，同时要注意反比例函数自变量不能为0，需分正负区间分别判断，避免出错。
【难度系数】
0.7

2.(2025·河北)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则（）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

2.B

【分析】
解题时首先分析反比例函数的性质：先由k的正负判断函数的增减性和图象所在象限，本题中y的取值均为正数，说明x是正数，函数处于第一象限；再分别求出y=2和y=4对应的x值，结合反比例函数的增减性，就能推导得出x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，
∴ 该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
已知$2＜y＜4$，$y$均为正数，因此$x＞0$，对应函数第一象限的部分，
当$y=2$时，代入解析式得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入解析式得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$；
结合第一象限内$y$随$x$增大而减小的性质，可得当$2＜y＜4$时，$1＜x＜2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；自变量取值范围求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心是利用函数的增减性完成函数值范围到自变量范围的转化，解题时注意先确定函数所在象限，避免忽略符号出错。
【难度系数】
0.8

3.如图,四边形$ABCD$是平行四边形,点$A,B$分别在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＜0)$和$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上,点$C,D$都在$x$轴上,则$□ ABCD$的面积为.

3.10

【分析】
解题时先结合平行四边形的性质，可知AB平行于x轴，因此点A和点B的纵坐标相等；我们可以设这个公共纵坐标为h（h＞0），再分别代入两个反比例函数表达式，求出A、B的横坐标，进而得到AB的长度；平行四边形的高就是点A（或B）到x轴的距离h，最后用平行四边形面积公式：底×高计算即可，计算过程中h会自动抵消，无需求出h的具体值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB//x轴，即点A、B的纵坐标相等，设该纵坐标为h（h＞0）。
将y=h代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＜0)$，得$h=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-\dfrac{4}{h}$，即点A的横坐标为$-\dfrac{4}{h}$；
将y=h代入反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$，得$h=\dfrac{6}{x}$，解得$x=\dfrac{6}{h}$，即点B的横坐标为$\dfrac{6}{h}$。
∴AB的长度为$\dfrac{6}{h}-(-\dfrac{4}{h})=\dfrac{10}{h}$，
平行四边形ABCD的高为点A到x轴的距离，即h，
∴$S_{平行四边形ABCD}=AB× h=\dfrac{10}{h}× h=10$。
【答案】
10
【知识点】
反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，解题关键是抓住平行四边形对边平行的特征，得到A、B两点纵坐标相等的隐含条件，通过设参数表示出底边长，结合面积公式计算即可，计算过程中参数会消去，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7

4. 教材变式题 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=x-1$的图象的一个交点的横坐标是2.
(1)求k的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并指出当$x＜2$时，y的取值范围.

4.解:(1)在 $y=x-1$ 中,令 $x=2$,解得 $y=1$,则交点坐标是$(2,1)$,代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=2$.
(2)函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象如答图.
由图象可知当 $x＜2$ 时,$y$ 的取值范围是 $y＜0$ 或 $y＞1$.

【分析】
（1）已知两个函数交点的横坐标为2，可先将x=2代入一次函数解析式求出对应纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；
（2）画反比例函数图象可通过列表取点、描点、连线的步骤完成；分析$x＜2$时y的取值范围时，要注意反比例函数自变量$x≠0$，需分$x＜0$和$0＜x＜2$两种情况结合图象的增减性判断y的范围。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=x-1$，将$x=2$代入解析式，得：
$y=2-1=1$，
因此两个函数的交点坐标为$(2,1)$。
将$(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得：
$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，取多组满足解析式的对称点，在平面直角坐标系中描点后用平滑曲线连线，得到图象如答图所示。
观察图象：
①当$x＜0$时，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象在第三象限，此时$y＜0$；
②当$0＜x＜2$时，反比例函数在第一象限，y随x的增大而减小，当$x=2$时$y=1$，因此此时$y＞1$。
综上可得$x＜2$时y的取值范围。
【答案】
(1) $k=2$；
(2) 函数$y=\frac{2}{x}$的图象如，当$x＜2$时，$y$的取值范围是$y＜0$或$y＞1$。
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；反比例函数图象与性质；函数图象画法
【点评】
本题属于基础题型，既考查了利用函数交点求参数的方法，也考查了反比例函数图象的画法和增减性的应用，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，分析取值范围时要分象限讨论，避免遗漏x为负的情况。
【难度系数】
0.8

5. 已知$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$x_1＜0＜x_2$，则$y_1 - y_2$的值是（）

A.正数
B.负数
C.非正数
D.不能确定

5.A

【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＜0$时，函数图象分布在第二、第四象限，第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负。接下来根据已知$x_1＜0＜x_2$，分别判断点A、B所在的象限，得到$y_1$和$y_2$的正负性，最后根据有理数减法的符号规则判断$y_1-y_2$的正负即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴ 该函数图象分布在第二、第四象限：第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0。
∵ $x_1＜0$，
∴ 点$A(x_1,y_1)$在第二象限，即$y_1＞0$；
∵ $x_2＞0$，
∴ 点$B(x_2,y_2)$在第四象限，即$y_2＜0$。
∴ $y_1 - y_2 = y_1 + (-y_2)$，其中$y_1＞0$，$-y_2＞0$，两个正数相加结果为正，即$y_1 - y_2＞0$，为正数。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；有理数减法法则
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，解题核心是根据横坐标的正负判断点所在的象限，进而得到纵坐标的符号，再判断代数式的正负，熟练掌握反比例函数的象限分布规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8