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6. 如图，点A在双曲线$y_1=\frac{k}{x}(x＞0)$上，连接AO并延长，交双曲线$y_2=\frac{k}{4x}(x＜0)$于点B，C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC。若$△ ABC$的面积是6，则k的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先利用过原点的直线与反比例函数的交点特征设出点A坐标，推导得到点B坐标；再结合AO=AC的等腰三角形性质确定点C的坐标；最后将△ABC的面积拆分为△AOC和△BOC的面积之和，根据面积公式列方程即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）：
1. 求直线AO的解析式：直线过原点和点A，可得解析式为$y=\frac{k}{a^2}x$；
2. 求点B坐标：联立直线AO与$y_2=\frac{k}{4x}$（$x＜0$），得$\frac{k}{a^2}x=\frac{k}{4x}$，约去不为0的$k$，解得$x^2=\frac{a^2}{4}$，由于$x＜0$，故$x=-\frac{a}{2}$，代入得$y=-\frac{k}{2a}$，即$B(-\frac{a}{2},-\frac{k}{2a})$；
3. 求点C坐标：过A作x轴垂线，由$AO=AC$可知该垂线是等腰$△ AOC$的中线，因此$OC=2a$，即$C(2a,0)$；
4. 列方程求k：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC × y_A=\frac{1}{2}×2a×\frac{k}{a}=k$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC × |y_B|=\frac{1}{2}×2a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{2}$
因此$\frac{3k}{2}=6$，解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是通过坐标法表示各点位置，利用面积的拆分建立方程求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
解题时先利用过原点的直线与反比例函数的交点特征设出点A坐标，推导得到点B坐标；再结合AO=AC的等腰三角形性质确定点C的坐标；最后将△ABC的面积拆分为△AOC和△BOC的面积之和，根据面积公式列方程即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）：
1. 求直线AO的解析式：直线过原点和点A，可得解析式为$y=\frac{k}{a^2}x$；
2. 求点B坐标：联立直线AO与$y_2=\frac{k}{4x}$（$x＜0$），得$\frac{k}{a^2}x=\frac{k}{4x}$，约去不为0的$k$，解得$x^2=\frac{a^2}{4}$，由于$x＜0$，故$x=-\frac{a}{2}$，代入得$y=-\frac{k}{2a}$，即$B(-\frac{a}{2},-\frac{k}{2a})$；
3. 求点C坐标：过A作x轴垂线，由$AO=AC$可知该垂线是等腰$△ AOC$的中线，因此$OC=2a$，即$C(2a,0)$；
4. 列方程求k：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC × y_A=\frac{1}{2}×2a×\frac{k}{a}=k$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC × |y_B|=\frac{1}{2}×2a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{2}$
因此$\frac{3k}{2}=6$，解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是通过坐标法表示各点位置，利用面积的拆分建立方程求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
7.如图，一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(1,4)$，$B(n,-1)$。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集；
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数的图象上.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集；
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数的图象上.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标.
答案
7.解:(1)将点 A,B 的坐标分别代入反比例函数表达式,得$k=4×1=4,k=-n$,解得 $k=4,n=-4$,
∴反比例函数的表达式为 $y=\frac{4}{x}$,点 B 的坐标为$(-4,-1)$.
将点 A,B 的坐标分别代入一次函数表达式,得
$\begin{cases}4=a+b,\\-1=-4a+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=3,\end{cases}$
则一次函数的表达式为 $y=x+3$.
(2)观察函数图象知,不等式 $ax+b＜\frac{k}{x}$ 的解集为$0＜x＜1$ 或 $x＜-4$.
(3)设点 C 的坐标为$(m,\frac{4}{m})$,点 D 的坐标为$(x,0)$,当 AB为对角线时,由中点坐标公式得 $4-1=\frac{4}{m}$,解得 $m=\frac{4}{3}$,则 $C(\frac{4}{3},3)$;
当AC或AD为对角线时,同理可得 $4+\frac{4}{m}=-1$ 或 $4=\frac{4}{m}-1$,解得 $m=\pm\frac{4}{5}$,则点 C 的坐标为 $(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$.
综上,点 C 的坐标为 $(\frac{4}{3},3)$或$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$.
∴反比例函数的表达式为 $y=\frac{4}{x}$,点 B 的坐标为$(-4,-1)$.
将点 A,B 的坐标分别代入一次函数表达式,得
$\begin{cases}4=a+b,\\-1=-4a+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=3,\end{cases}$
则一次函数的表达式为 $y=x+3$.
(2)观察函数图象知,不等式 $ax+b＜\frac{k}{x}$ 的解集为$0＜x＜1$ 或 $x＜-4$.
(3)设点 C 的坐标为$(m,\frac{4}{m})$,点 D 的坐标为$(x,0)$,当 AB为对角线时,由中点坐标公式得 $4-1=\frac{4}{m}$,解得 $m=\frac{4}{3}$,则 $C(\frac{4}{3},3)$;
当AC或AD为对角线时,同理可得 $4+\frac{4}{m}=-1$ 或 $4=\frac{4}{m}-1$,解得 $m=\pm\frac{4}{5}$,则点 C 的坐标为 $(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$.
综上,点 C 的坐标为 $(\frac{4}{3},3)$或$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式思路：先利用已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k值得到反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入反比例函数，求出点B的横坐标，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，确定解析式。
(2) 解不等式思路：不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的几何意义是同一横坐标下，一次函数图象位于反比例函数图象下方，结合两个交点坐标，注意反比例函数自变量x≠0，分区间判断图象位置即可得到解集。
(3) 平行四边形存在性思路：平行四边形对角线互相平分，因此对角线的中点重合，分三种情况讨论：以AB为对角线、以AC为对角线、以AD为对角线，利用点D在x轴上纵坐标为0的特点，先通过纵坐标的中点等量关系求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×4=4$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{4}{x}$。
将点$B(n,-1)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$-1=\frac{4}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-1)$。
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases}a+b=4\\-4a+b=-1\end{cases}$
两式相减得$5a=5$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=4$得$b=3$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=x+3$。
(2) 观察图象可得：当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x＜1$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，
$\therefore$ 不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$。
(3) 设点$C$坐标为$(m,\frac{4}{m})$，点$D$在x轴上，设其坐标为$(t,0)$，根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：
① 以AB为对角线：AB中点与CD中点纵坐标相等，即$\frac{4+(-1)}{2}=\frac{\frac{4}{m}+0}{2}$，化简得$3=\frac{4}{m}$，解得$m=\frac{4}{3}$，此时$C(\frac{4}{3},3)$；
② 以AC为对角线：AC中点与BD中点纵坐标相等，即$\frac{4+\frac{4}{m}}{2}=\frac{-1+0}{2}$，化简得$4+\frac{4}{m}=-1$，解得$m=-\frac{4}{5}$，此时$C(-\frac{4}{5},-5)$；
③ 以AD为对角线：AD中点与BC中点纵坐标相等，即$\frac{4+0}{2}=\frac{-1+\frac{4}{m}}{2}$，化简得$4=-1+\frac{4}{m}$，解得$m=\frac{4}{5}$，此时$C(\frac{4}{5},5)$。
综上，点C的坐标为以上三种结果。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+3}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{x＜-4}$或$\boldsymbol{0＜x＜1}$；
(3) 点C的坐标为$\boldsymbol{(\frac{4}{3},3)}$或$\boldsymbol{(-\frac{4}{5},-5)}$或$\boldsymbol{(\frac{4}{5},5)}$。
【知识点】
函数解析式求解、函数与不等式关系、平行四边形性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，前两问侧重基础，考查对函数图象性质的基本应用；第三问需要结合平行四边形的性质分类讨论，能够锻炼分类讨论思想和代数计算能力，是函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数表达式思路：先利用已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k值得到反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入反比例函数，求出点B的横坐标，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，确定解析式。
(2) 解不等式思路：不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的几何意义是同一横坐标下，一次函数图象位于反比例函数图象下方，结合两个交点坐标，注意反比例函数自变量x≠0，分区间判断图象位置即可得到解集。
(3) 平行四边形存在性思路：平行四边形对角线互相平分，因此对角线的中点重合，分三种情况讨论：以AB为对角线、以AC为对角线、以AD为对角线，利用点D在x轴上纵坐标为0的特点，先通过纵坐标的中点等量关系求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×4=4$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{4}{x}$。
将点$B(n,-1)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$-1=\frac{4}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-1)$。
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases}a+b=4\\-4a+b=-1\end{cases}$
两式相减得$5a=5$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=4$得$b=3$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=x+3$。
(2) 观察图象可得：当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x＜1$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，
$\therefore$ 不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$。
(3) 设点$C$坐标为$(m,\frac{4}{m})$，点$D$在x轴上，设其坐标为$(t,0)$，根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：
① 以AB为对角线：AB中点与CD中点纵坐标相等，即$\frac{4+(-1)}{2}=\frac{\frac{4}{m}+0}{2}$，化简得$3=\frac{4}{m}$，解得$m=\frac{4}{3}$，此时$C(\frac{4}{3},3)$；
② 以AC为对角线：AC中点与BD中点纵坐标相等，即$\frac{4+\frac{4}{m}}{2}=\frac{-1+0}{2}$，化简得$4+\frac{4}{m}=-1$，解得$m=-\frac{4}{5}$，此时$C(-\frac{4}{5},-5)$；
③ 以AD为对角线：AD中点与BC中点纵坐标相等，即$\frac{4+0}{2}=\frac{-1+\frac{4}{m}}{2}$，化简得$4=-1+\frac{4}{m}$，解得$m=\frac{4}{5}$，此时$C(\frac{4}{5},5)$。
综上，点C的坐标为以上三种结果。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+3}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{x＜-4}$或$\boldsymbol{0＜x＜1}$；
(3) 点C的坐标为$\boldsymbol{(\frac{4}{3},3)}$或$\boldsymbol{(-\frac{4}{5},-5)}$或$\boldsymbol{(\frac{4}{5},5)}$。
【知识点】
函数解析式求解、函数与不等式关系、平行四边形性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，前两问侧重基础，考查对函数图象性质的基本应用；第三问需要结合平行四边形的性质分类讨论，能够锻炼分类讨论思想和代数计算能力，是函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
