登录
1. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是()
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：找出围成的所有面都是平面的立体图形。我们只需逐个分析每个选项对应的立体图形的面的构成，判断每个面属于平面还是曲面，最终筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 圆柱：由2个平面的底面和1个曲面的侧面围成，存在曲面，不符合要求；
B. 圆锥：由1个平面的底面和1个曲面的侧面围成，存在曲面，不符合要求；
C. 长方体一共有6个面，所有面都是平面，符合要求；
D. 球仅由1个曲面围成，不符合要求。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
立体图形的识别；平面与曲面的区分
【点评】
本题考查常见立体图形的基本特征，属于基础概念类考题，只要熟记各类常见立体图形的面的构成特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求：找出围成的所有面都是平面的立体图形。我们只需逐个分析每个选项对应的立体图形的面的构成，判断每个面属于平面还是曲面，最终筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 圆柱：由2个平面的底面和1个曲面的侧面围成，存在曲面，不符合要求；
B. 圆锥：由1个平面的底面和1个曲面的侧面围成，存在曲面，不符合要求；
C. 长方体一共有6个面，所有面都是平面，符合要求；
D. 球仅由1个曲面围成，不符合要求。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
立体图形的识别；平面与曲面的区分
【点评】
本题考查常见立体图形的基本特征，属于基础概念类考题，只要熟记各类常见立体图形的面的构成特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2.中华武术是我国传统文化的瑰宝。谚语“枪扎一条线，棍扫一大片”从数学的角度解释为。
答案
解：点动成线，线动成面。
解析
【分析】
解题时可以先将生活中的实物抽象为几何图形，再结合运动的视角分析：首先，枪的尖端可看作几何中的“点”，扎枪的动作是这个点在运动，运动后形成的轨迹就是一条线，对应“枪扎一条线”；其次，棍可以看作几何中的“线”，扫棍的动作是这条线在运动，运动后形成的轨迹就是一片区域（面），对应“棍扫一大片”，结合点线面的动态规律就能得出结论。
【解析】
我们先把实际物体抽象为几何元素分析：
1. 枪尖可看作一个点，枪扎出去时，点运动的轨迹形成一条线，对应“枪扎一条线”，符合“点动成线”的规律；
2. 棍可看作一条线，棍扫动时，线运动的轨迹形成一个面，对应“棍扫一大片”，符合“线动成面”的规律。
因此该谚语从数学角度解释为点动成线，线动成面。
【答案】
点动成线，线动成面
【知识点】
点线面的动态关系
【点评】
这道题将传统民俗谚语和数学几何知识结合，考查对基础几何动态规律的理解，引导大家学会用数学视角观察生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9
解题时可以先将生活中的实物抽象为几何图形，再结合运动的视角分析：首先，枪的尖端可看作几何中的“点”，扎枪的动作是这个点在运动，运动后形成的轨迹就是一条线，对应“枪扎一条线”；其次，棍可以看作几何中的“线”，扫棍的动作是这条线在运动，运动后形成的轨迹就是一片区域（面），对应“棍扫一大片”，结合点线面的动态规律就能得出结论。
【解析】
我们先把实际物体抽象为几何元素分析：
1. 枪尖可看作一个点，枪扎出去时，点运动的轨迹形成一条线，对应“枪扎一条线”，符合“点动成线”的规律；
2. 棍可看作一条线，棍扫动时，线运动的轨迹形成一个面，对应“棍扫一大片”，符合“线动成面”的规律。
因此该谚语从数学角度解释为点动成线，线动成面。
【答案】
点动成线，线动成面
【知识点】
点线面的动态关系
【点评】
这道题将传统民俗谚语和数学几何知识结合，考查对基础几何动态规律的理解，引导大家学会用数学视角观察生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9
3.如图，该几何体可以近似地看成是由和组合而成的。
答案
解：圆锥
圆柱
圆柱
解析
【分析】
解题时先将组合几何体拆分为上下两部分，再分别对照学过的常见立体图形的特征判断：首先观察上半部分，有1个顶点，底面是圆形，侧面为曲面，符合圆锥的特征；再观察下半部分，有两个大小相等的圆形底面，侧面是垂直于底面的曲面，符合圆柱的特征，由此即可确定组合的两个立体图形。
【解析】
观察该几何体，可拆分为上下两部分：上部有一个顶点，底面为圆形，属于圆锥；下部上下底面是大小相等的圆形，侧面垂直于底面，属于圆柱，因此该几何体是圆锥和圆柱组合而成的。
【答案】圆锥；圆柱
【知识点】圆锥的认识；圆柱的认识；组合体识别
【点评】本题是基础类题目，主要考查常见立体图形的特征识别，掌握圆柱、圆锥的基本外形特点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先将组合几何体拆分为上下两部分，再分别对照学过的常见立体图形的特征判断：首先观察上半部分，有1个顶点，底面是圆形，侧面为曲面，符合圆锥的特征；再观察下半部分，有两个大小相等的圆形底面，侧面是垂直于底面的曲面，符合圆柱的特征，由此即可确定组合的两个立体图形。
【解析】
观察该几何体，可拆分为上下两部分：上部有一个顶点，底面为圆形，属于圆锥；下部上下底面是大小相等的圆形，侧面垂直于底面，属于圆柱，因此该几何体是圆锥和圆柱组合而成的。
【答案】圆锥；圆柱
【知识点】圆锥的认识；圆柱的认识；组合体识别
【点评】本题是基础类题目，主要考查常见立体图形的特征识别，掌握圆柱、圆锥的基本外形特点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 一张长方形纸片的长和宽分别为3 cm和2 cm，如图所示。将该纸片绕其一条边所在直线旋转一周。
(1)旋转形成的几何体是。
(2)这一现象说明的几何原理是()
A.点动成线 B.线动成面
C.面动成体
(3)求旋转一周形成的几何体的体积(结果保留π)。
(1)旋转形成的几何体是。
(2)这一现象说明的几何原理是()
A.点动成线 B.线动成面
C.面动成体
(3)求旋转一周形成的几何体的体积(结果保留π)。
答案
解：
(1) 圆柱
(2) C
(3) 分两种情况计算：
① 当绕长为3 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为2 cm，高为3 cm，
体积$V_1=π×2^2×3=12π\ (\mathrm{cm}^3)$；
② 当绕长为2 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为3 cm，高为2 cm，
体积$V_2=π×3^2×2=18π\ (\mathrm{cm}^3)$。
综上，旋转一周形成的几何体的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$。
(1) 圆柱
(2) C
(3) 分两种情况计算：
① 当绕长为3 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为2 cm，高为3 cm，
体积$V_1=π×2^2×3=12π\ (\mathrm{cm}^3)$；
② 当绕长为2 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为3 cm，高为2 cm，
体积$V_2=π×3^2×2=18π\ (\mathrm{cm}^3)$。
综上，旋转一周形成的几何体的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
(1) 结合面动成体的知识，长方形是平面图形，绕它的一条边旋转一周，得到的立体图形是圆柱，即可解答第一问。
(2) 平面图形旋转得到立体图形，对应“面动成体”的几何原理，据此选出正确选项。
(3) 解题时需分两种情况讨论：第一种是绕3cm的边旋转，此时3cm为圆柱的高，2cm为圆柱底面半径；第二种是绕2cm的边旋转，此时2cm为圆柱的高，3cm为圆柱底面半径，再分别代入圆柱体积公式$V=πr^2h$计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 长方形绕一条边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱。
(2) 长方形属于平面图形，旋转后得到立体图形圆柱，这一现象对应的几何原理是面动成体，故选C。
(3) 分两种情况计算：
① 当绕长为3 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为2 cm，高为3 cm，
根据圆柱体积公式可得$V_1=π×2^2×3=12π\ (\mathrm{cm}^3)$；
② 当绕长为2 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为3 cm，高为2 cm，
同理可得$V_2=π×3^2×2=18π\ (\mathrm{cm}^3)$。
综上，旋转一周形成的几何体的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 圆柱
(2) C
(3) $12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题结合旋转操作考查立体图形的相关知识，难度不大，易错点是求解体积时容易遗漏其中一种旋转情况，解题时要注意全面考虑所有可能的旋转方式，分情况计算。
【难度系数】
0.7
(1) 结合面动成体的知识，长方形是平面图形，绕它的一条边旋转一周，得到的立体图形是圆柱，即可解答第一问。
(2) 平面图形旋转得到立体图形，对应“面动成体”的几何原理，据此选出正确选项。
(3) 解题时需分两种情况讨论：第一种是绕3cm的边旋转，此时3cm为圆柱的高，2cm为圆柱底面半径；第二种是绕2cm的边旋转，此时2cm为圆柱的高，3cm为圆柱底面半径，再分别代入圆柱体积公式$V=πr^2h$计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 长方形绕一条边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱。
(2) 长方形属于平面图形，旋转后得到立体图形圆柱，这一现象对应的几何原理是面动成体，故选C。
(3) 分两种情况计算：
① 当绕长为3 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为2 cm，高为3 cm，
根据圆柱体积公式可得$V_1=π×2^2×3=12π\ (\mathrm{cm}^3)$；
② 当绕长为2 cm的边所在直线旋转一周时，所得圆柱底面半径为3 cm，高为2 cm，
同理可得$V_2=π×3^2×2=18π\ (\mathrm{cm}^3)$。
综上，旋转一周形成的几何体的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 圆柱
(2) C
(3) $12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题结合旋转操作考查立体图形的相关知识，难度不大，易错点是求解体积时容易遗漏其中一种旋转情况，解题时要注意全面考虑所有可能的旋转方式，分情况计算。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形。
小军：“我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等。”
小红：“我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等。”
$(V_{圆柱}=πr^2h,V_{圆锥}=\frac{1}{3}πr^2h,r$为圆柱和圆锥的底面半径，$h$为圆柱和圆锥的高，结果保留$π)$
(1)你同意的说法。
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
小军：“我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等。”
小红：“我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等。”
$(V_{圆柱}=πr^2h,V_{圆锥}=\frac{1}{3}πr^2h,r$为圆柱和圆锥的底面半径，$h$为圆柱和圆锥的高，结果保留$π)$
(1)你同意的说法。
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
答案
解：
(1) 小红
(2) 计算甲立体图形的体积：
甲是由底面半径3cm、高6cm的圆柱，挖去一个底面半径3cm、高为$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥得到的。
$V_甲 = π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 54π - 9π$
$= 45π\ (\mathrm{立方厘米})$
计算乙立体图形的体积：
乙是由底面半径3cm、高3cm的圆柱，加上一个底面半径3cm、高为$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥得到的。
$V_乙 = π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 27π + 9π$
$= 36π\ (\mathrm{立方厘米})$
因此甲、乙的体积比为：
$V_甲:V_乙 = 45π:36π = 5:4$
答：甲、乙两个立体图形的体积比是$5:4$。
(1) 小红
(2) 计算甲立体图形的体积：
甲是由底面半径3cm、高6cm的圆柱，挖去一个底面半径3cm、高为$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥得到的。
$V_甲 = π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 54π - 9π$
$= 45π\ (\mathrm{立方厘米})$
计算乙立体图形的体积：
乙是由底面半径3cm、高3cm的圆柱，加上一个底面半径3cm、高为$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥得到的。
$V_乙 = π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 27π + 9π$
$= 36π\ (\mathrm{立方厘米})$
因此甲、乙的体积比为：
$V_甲:V_乙 = 45π:36π = 5:4$
答：甲、乙两个立体图形的体积比是$5:4$。
解析
【分析】
(1) 判断两人说法是否正确，首先观察两种旋转方式：分别以直角梯形的上底、下底为轴旋转，得到的立体图形结构不同，体积必然不相等，因此同意小红的说法。
(2) 计算体积比的思路：①先分析甲的结构：以上底为轴旋转一周，得到的是底面半径3cm、高6cm的圆柱挖去一个底面半径3cm、高为$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥，用圆柱体积减圆锥体积可得甲的体积；②再分析乙的结构：以下底为轴旋转一周，得到的是底面半径3cm、高3cm的圆柱加上一个底面半径3cm、高3cm的圆锥，用圆柱体积加圆锥体积可得乙的体积；③最后将两个体积作比化简即可。
【解析】
(1) 两种旋转方式得到的立体图形组成不同，体积不相等，因此同意小红的说法。
(2) 计算甲立体图形的体积：
甲是由底面半径3cm、高6cm的圆柱挖去一个底面半径3cm、高为$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥得到的，
$V_甲 = π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 54π - 9π$
$= 45π\ (\mathrm{立方厘米})$
计算乙立体图形的体积：
乙是由底面半径3cm、高3cm的圆柱加上一个底面半径3cm、高为$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥得到的，
$V_乙 = π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 27π + 9π$
$= 36π\ (\mathrm{立方厘米})$
因此甲、乙的体积比为：
$V_甲:V_乙 = 45π:36π = 5:4$
【答案】
(1) 小红
(2) $5:4$
【知识点】
面动成体，圆柱体积计算，圆锥体积计算
【点评】
本题的核心是正确判断平面图形旋转后形成的立体图形的组成结构，区分“挖去”和“叠加”的部分，再结合圆柱、圆锥的体积公式计算即可，解题时要注意不要混淆两个立体图形的结构。
【难度系数】
0.7
(1) 判断两人说法是否正确，首先观察两种旋转方式：分别以直角梯形的上底、下底为轴旋转，得到的立体图形结构不同，体积必然不相等，因此同意小红的说法。
(2) 计算体积比的思路：①先分析甲的结构：以上底为轴旋转一周，得到的是底面半径3cm、高6cm的圆柱挖去一个底面半径3cm、高为$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥，用圆柱体积减圆锥体积可得甲的体积；②再分析乙的结构：以下底为轴旋转一周，得到的是底面半径3cm、高3cm的圆柱加上一个底面半径3cm、高3cm的圆锥，用圆柱体积加圆锥体积可得乙的体积；③最后将两个体积作比化简即可。
【解析】
(1) 两种旋转方式得到的立体图形组成不同，体积不相等，因此同意小红的说法。
(2) 计算甲立体图形的体积：
甲是由底面半径3cm、高6cm的圆柱挖去一个底面半径3cm、高为$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥得到的，
$V_甲 = π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 54π - 9π$
$= 45π\ (\mathrm{立方厘米})$
计算乙立体图形的体积：
乙是由底面半径3cm、高3cm的圆柱加上一个底面半径3cm、高为$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥得到的，
$V_乙 = π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×3$
$= 27π + 9π$
$= 36π\ (\mathrm{立方厘米})$
因此甲、乙的体积比为：
$V_甲:V_乙 = 45π:36π = 5:4$
【答案】
(1) 小红
(2) $5:4$
【知识点】
面动成体，圆柱体积计算，圆锥体积计算
【点评】
本题的核心是正确判断平面图形旋转后形成的立体图形的组成结构，区分“挖去”和“叠加”的部分，再结合圆柱、圆锥的体积公式计算即可，解题时要注意不要混淆两个立体图形的结构。
【难度系数】
0.7
