7.我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实,请尝试应用这个基本事实,证明“平行线分线段成比例的推论”。
已知:如图,DE//BC,并分别交AB,AC于点D,E。
求证:$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。

7.证明:作 $ DF// AC $ 交 BC 于点 F。
所以$\frac{FC}{BF}=\frac{DA}{BD}$。所以$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
因为 $ DE// BC $,
所以$ ∠ 1=∠ B,\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB},∠ 2=∠ C $。
所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
所以$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
因为 $ DE// BC,DF// AC $,
所以四边形 DFCE 是平行四边形。
所以 $ DE=FC $。
所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。

【分析】
要证明$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，首先利用已知的$DE// BC$，结合平行线分线段成比例基本事实可先证得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$；接下来需要建立$DE$与$BC$的比例关系，由于$DE$和$BC$平行但不在同一直线上，我们可以通过作辅助线构造平行四边形，将$DE$转化到$BC$边上：过点$D$作$DF// AC$交$BC$于点$F$，可得四边形$DFCE$是平行四边形，即$DE=FC$，此时可将$\frac{DE}{BC}$转化为$\frac{FC}{BC}$，再结合$DF// AC$利用平行线分线段成比例基本事实证得$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即可完成全部结论的证明。
【解析】
证明：作 $ DF// AC $ 交 $BC$ 于点 $F$。
根据平行线分线段成比例基本事实，得$\frac{FC}{BF}=\frac{DA}{BD}$，由合比性质推导得$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
因为 $ DE// BC $，
所以$ ∠ 1=∠ B$，$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$，$ ∠ 2=∠ C $，
由合比性质推导得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
因此$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
因为 $ DE// BC$，$DF// AC $，
所以四边形 $DFCE$ 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
所以 $ DE=FC $（平行四边形对边相等），
最终可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
【答案】
证明:作 $ DF// AC $ 交 BC 于点 F。
所以$\frac{FC}{BF}=\frac{DA}{BD}$。所以$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
因为 $ DE// BC $,
所以$ ∠ 1=∠ B,\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB},∠ 2=∠ C $。
所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
所以$\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
因为 $ DE// BC,DF// AC $,
所以四边形 DFCE 是平行四边形。
所以 $ DE=FC $。
所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。

【知识点】
平行线分线段成比例、平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例推论的基础证明题，核心思路是通过构造辅助线得到平行四边形，将不在同一直线上的平行线段比转化为同一直线上的线段比，考查对基本几何事实的应用能力和常用辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图①,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。下面是这道题目的部分证明过程。
证明:如图②,过点$C$作$CE// DA$,交$BA$的延长线于点$E$……

(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图③,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,求$△ ACD$的周长。

8.(1)略;(2)$△ ACD$ 的周长为$\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$。

【分析】
(1) 要完成角平分线定理的证明，先利用平行线的性质得到角相等，结合角平分线的定义推出等角对等边，再结合平行线分线段成比例的性质，替换线段即可得证；
(2) 先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长度，再利用(1)得到的角平分线的比例关系求出$CD$、$BD$的长，接着在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长，最后将$△ ACD$的三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 剩余证明过程如下：
$\because CE// DA$，
$\therefore ∠ 1=∠ E$，$∠ 2=∠ ACE$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ E=∠ ACE$，$\therefore AE=AC$，
又$\because CE// DA$，$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，
将$AE=AC$代入上式，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，由(1)的结论得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
代入$AB=3$、$AC=5$，得$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{5}$，
设$BD=3k$，$CD=5k$，$\because BD+CD=BC=4$，
$\therefore 3k+5k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$，
$\therefore BD=\frac{3}{2}$，$CD=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ACD$的周长为$AC+CD+AD=5+\frac{5}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
角平分线定理，勾股定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题分为定理推导和定理应用两部分，既考查了平行线性质、等腰三角形判定等基础几何知识的运用，也考查了比例计算、勾股定理的综合应用，是几何定理探究类的典型习题，对知识迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

9.我们知道,利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点……怎样得到线段的三等分点呢?如图①,已知线段MN,用尺规在MN上求作点P,使$PM=\frac{1}{3}MN$。

第9题图①
小莹的作法:
①作射线MK(点K不在直线MN上);
②在射线MK上依次截取线段MA,AB,使$AB=2MA$,连接BN;
③作射线$AC// BN$,交MN于点P,点P即为所求作的点。
小莹作法的理由如下:
因为$AC// BN$(作法),所以$\frac{AM}{AB}=\frac{PM}{PN}$(依据)。
因为$AB=2MA$(已知),所以$\frac{AM}{AB}=\frac{PM}{PN}=\frac{1}{2}$(等量代换)。
因为$PM+PN=MN$(线段和差定义),
所以$PM=\frac{1}{3}MN$(等量代换,等式的基本性质)。
性质)。
数学思考:(1)小莹作法理由中所缺的依据是。
拓展应用:(2)如图②,已知线段a,b,c,求作线段d,使$a:b=c:d$。(尺规作图,保留作图痕迹)

第9题图②

9.解:(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
(2)①以点 O 为端点画射线 OM,ON ;
②在 OM 上依次截取 $OA=a,AB=b$;
③在 ON 上截取 $OC=c$;
④连接 AC,过点 B 作 $BD// AC$,交 ON 于点 D。
所以线段 CD 就是所求的线段 d。

【分析】
（1）第一问需结合作图条件AC//BN，回忆平行线分线段成比例的相关推论，匹配对应定理即可得到缺失的依据；
（2）第二问作满足a:b=c:d的线段d，可利用平行线分线段成比例的性质，先构造公共端点的两条射线，在两条射线上分别截取对应长度的线段，再作平行线即可得到符合比例要求的线段d。
【解析】
(1) 由作法可知AC//BN，AC平行于△MBN的边BN，截MB、MN两条边，根据平行线分线段成比例的推论，可得截得的对应线段成比例，即$\frac{AM}{AB}=\frac{PM}{PN}$，因此所缺依据为平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
(2) 作图过程如下：
① 以点O为公共端点，画出两条射线OM、ON；
② 在射线OM上顺次截取线段$OA=a$，$AB=b$；
③ 在射线ON上截取线段$OC=c$；
④ 连接AC，过点B作$BD// AC$，交ON于点D，由平行线分线段成比例可得$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{CD}$，因此CD就是所求的线段d。
【答案】
(1) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
(2) ①以点 O 为端点画射线 OM,ON ;
②在 OM 上依次截取 $OA=a,AB=b$;
③在 ON 上截取 $OC=c$;
④连接 AC,过点 B 作 $BD// AC$,交 ON 于点 D。
所以线段 CD 就是所求的线段 d。

【知识点】
平行线分线段成比例定理、尺规作图、比例线段
【点评】
本题将尺规作图与平行线分线段成比例定理结合考查，既要求学生准确识记定理内容，也要求学生能灵活运用定理解决实际作图问题，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7