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5. 某公路规定汽车行驶的速度不得超过70 km/h,当发生交通事故时,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是$v=16\sqrt{df}$,其中$v$表示车速(单位:km/h),$d$表示刹车后车轮滑过的距离(单位:m),$f$表示摩擦系数. 在某次交通事故中,通过对肇事汽车的相关数据进行测量,发现$d=20$ m,$f=1.2$. 请你帮助判断一下,肇事汽车当时的速度是否超速.
答案
解：把$d=20\ \mathrm{m}$，$f=1.2$代入经验公式$v=16\sqrt{df}$，得
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{20×1.2}\\&=16\sqrt{24}\\&\approx16×4.899\\&\approx78.4\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
$\because 78.4＞70$，
$\therefore$ 肇事汽车当时的速度超速了。
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{20×1.2}\\&=16\sqrt{24}\\&\approx16×4.899\\&\approx78.4\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
$\because 78.4＞70$，
$\therefore$ 肇事汽车当时的速度超速了。
解析
【分析】
要判断肇事汽车是否超速，首先需要计算出该车事故发生时的行驶速度。题目已给出车速的计算公式及d、f的具体数值，解题思路为：第一步，将已知的d、f代入经验公式，准确计算出车速v的数值；第二步，将计算得到的v和规定限速70km/h比较大小，若v大于70则判定为超速，反之则未超速。
【解析】
解：把$d=20\ \mathrm{m}$，$f=1.2$代入经验公式$v=16\sqrt{df}$，得
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{20×1.2}\\&=16\sqrt{24}\\&\approx16×4.899\\&\approx78.4\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
$\because 78.4＞70$，
$\therefore$ 肇事汽车当时的速度超速了。
【答案】
肇事汽车当时的速度超速了。
【知识点】
代数式求值，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题是结合交通实际场景的应用类题目，解题关键是正确代入已知数值到给定公式中完成计算，再和限定速度对比即可得到结论，侧重考查公式应用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
要判断肇事汽车是否超速，首先需要计算出该车事故发生时的行驶速度。题目已给出车速的计算公式及d、f的具体数值，解题思路为：第一步，将已知的d、f代入经验公式，准确计算出车速v的数值；第二步，将计算得到的v和规定限速70km/h比较大小，若v大于70则判定为超速，反之则未超速。
【解析】
解：把$d=20\ \mathrm{m}$，$f=1.2$代入经验公式$v=16\sqrt{df}$，得
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{20×1.2}\\&=16\sqrt{24}\\&\approx16×4.899\\&\approx78.4\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
$\because 78.4＞70$，
$\therefore$ 肇事汽车当时的速度超速了。
【答案】
肇事汽车当时的速度超速了。
【知识点】
代数式求值，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题是结合交通实际场景的应用类题目，解题关键是正确代入已知数值到给定公式中完成计算，再和限定速度对比即可得到结论，侧重考查公式应用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
6. 我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”. 例如:$-9,-4,-1$这三个数, $\sqrt{(-9)×(-4)}=6$, $\sqrt{(-9)×(-1)}=3$, $\sqrt{(-4)×(-1)}=2$,其结果6,3,2都是整数,所以$-1,-4,-9$这三个数称为“完美组合数”.
(1)$-16,-4,-1$这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由;
(2)若三个数$-3,m,-12$是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12,求$m$的值.
(1)$-16,-4,-1$这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由;
(2)若三个数$-3,m,-12$是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12,求$m$的值.
答案
解：
(1) -16,-4,-1这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\sqrt{(-16)×(-4)}=\sqrt{64}=8$，
$\sqrt{(-16)×(-1)}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
8、4、2都是整数，且-16、-4、-1是互不相等的负整数，
因此-16,-4,-1这三个数是“完美组合数”。
(2) 计算得$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的两个数只能是-3和m，或者-12和m。
① 当$\sqrt{(-3)× m}=12$时，
两边平方得：$-3m=144$，
解得：$m=-48$。
验证：$\sqrt{(-12)×(-48)}=\sqrt{576}=24$，是整数，且-3、-48、-12互不相等，符合条件。
② 当$\sqrt{(-12)× m}=12$时，
两边平方得：$-12m=144$，
解得：$m=-12$。
此时$m=-12$，与已知数-12相等，不符合三个数互不相等的要求，舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
(1) -16,-4,-1这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\sqrt{(-16)×(-4)}=\sqrt{64}=8$，
$\sqrt{(-16)×(-1)}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
8、4、2都是整数，且-16、-4、-1是互不相等的负整数，
因此-16,-4,-1这三个数是“完美组合数”。
(2) 计算得$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的两个数只能是-3和m，或者-12和m。
① 当$\sqrt{(-3)× m}=12$时，
两边平方得：$-3m=144$，
解得：$m=-48$。
验证：$\sqrt{(-12)×(-48)}=\sqrt{576}=24$，是整数，且-3、-48、-12互不相等，符合条件。
② 当$\sqrt{(-12)× m}=12$时，
两边平方得：$-12m=144$，
解得：$m=-12$。
此时$m=-12$，与已知数-12相等，不符合三个数互不相等的要求，舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
解析
【分析】
(1) 判断是否为“完美组合数”需紧扣定义：首先确认三个数是互不相等的负整数，再逐一计算两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合定义要求。
(2) 先计算已知的-3和-12的乘积的算术平方根，发现其不等于12，因此算术平方根为12的组合只能是-3与m、或-12与m，分两种情况列方程求解即可，求解后需验证得到的m是否满足“三个数互不相等”的要求，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) -16,-4,-1这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\sqrt{(-16)×(-4)}=\sqrt{64}=8$，
$\sqrt{(-16)×(-1)}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
8、4、2都是整数，且-16、-4、-1是互不相等的负整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的两个数只能是-3和m，或者-12和m，分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)× m}=12$时，
两边平方得：$-3m=144$，
解得：$m=-48$。
验证：此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，且$\sqrt{(-12)×(-48)}=\sqrt{576}=24$，是整数，符合要求。
② 当$\sqrt{(-12)× m}=12$时，
两边平方得：$-12m=144$，
解得：$m=-12$。
此时$m=-12$与给出的数-12相等，不符合三个数互不相等的要求，故舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的运算，解题时要紧扣定义给出的限制条件，尤其不能忽略“三个数互不相等”的隐含要求，求解后注意验证避免出现增解。
【难度系数】
0.7
(1) 判断是否为“完美组合数”需紧扣定义：首先确认三个数是互不相等的负整数，再逐一计算两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合定义要求。
(2) 先计算已知的-3和-12的乘积的算术平方根，发现其不等于12，因此算术平方根为12的组合只能是-3与m、或-12与m，分两种情况列方程求解即可，求解后需验证得到的m是否满足“三个数互不相等”的要求，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) -16,-4,-1这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\sqrt{(-16)×(-4)}=\sqrt{64}=8$，
$\sqrt{(-16)×(-1)}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
8、4、2都是整数，且-16、-4、-1是互不相等的负整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的两个数只能是-3和m，或者-12和m，分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)× m}=12$时，
两边平方得：$-3m=144$，
解得：$m=-48$。
验证：此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，且$\sqrt{(-12)×(-48)}=\sqrt{576}=24$，是整数，符合要求。
② 当$\sqrt{(-12)× m}=12$时，
两边平方得：$-12m=144$，
解得：$m=-12$。
此时$m=-12$与给出的数-12相等，不符合三个数互不相等的要求，故舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的运算，解题时要紧扣定义给出的限制条件，尤其不能忽略“三个数互不相等”的隐含要求，求解后注意验证避免出现增解。
【难度系数】
0.7
