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2. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{36}$；
(2) $\pm\sqrt{(-4)×(-16)}$；
(3) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{0.81} - \sqrt{1.69}$；
(4) $-\sqrt{25} × \sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2} - 4$。
(1) $\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{36}$；
(2) $\pm\sqrt{(-4)×(-16)}$；
(3) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{0.81} - \sqrt{1.69}$；
(4) $-\sqrt{25} × \sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2} - 4$。
答案
解：
(1) $\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{36} = \dfrac{2}{3} + 6 = \dfrac{20}{3}$
(2) $\pm\sqrt{(-4)×(-16)} = \pm\sqrt{64} = \pm8$
(3) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{0.81} - \sqrt{1.69} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} + 0.9 - 1.3 = \dfrac{5}{4} + 0.9 - 1.3 = 1.25 + 0.9 - 1.3 = 0.85$
(4) $-\sqrt{25} × \sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2} - 4 = -5 × \sqrt{\dfrac{1}{25}} - 4 = -5 × \dfrac{1}{5} - 4 = -1 - 4 = -5$
(1) $\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{36} = \dfrac{2}{3} + 6 = \dfrac{20}{3}$
(2) $\pm\sqrt{(-4)×(-16)} = \pm\sqrt{64} = \pm8$
(3) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{0.81} - \sqrt{1.69} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} + 0.9 - 1.3 = \dfrac{5}{4} + 0.9 - 1.3 = 1.25 + 0.9 - 1.3 = 0.85$
(4) $-\sqrt{25} × \sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2} - 4 = -5 × \sqrt{\dfrac{1}{25}} - 4 = -5 × \dfrac{1}{5} - 4 = -1 - 4 = -5$
解析
【分析】
这几道题属于平方根的基础运算题，解题思路如下：①首先区分算术平方根（$\sqrt{a}$，结果为非负数）和平方根（$\pm\sqrt{a}$，结果为互为相反数的两个数）的概念；②先化简根号内的表达式：带分数先化为假分数，乘法运算先算乘积，平方运算先计算结果，确保根号内为非负数；③再按照四则运算顺序，先完成开方运算，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算两个算术平方根，再求和：
$\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{36} = \dfrac{2}{3} + 6 = \dfrac{20}{3}$
(2) 先计算根号内的乘积，再求平方根：
$\pm\sqrt{(-4)×(-16)} = \pm\sqrt{64} = \pm8$
(3) 先将带分数化为假分数，再分别计算各算术平方根，最后按顺序计算加减：
$\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{0.81} - \sqrt{1.69} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} + 0.9 - 1.3 = \dfrac{5}{4} + 0.9 - 1.3 = 1.25 + 0.9 - 1.3 = 0.85$
(4) 先分别计算算术平方根，再按先乘除后加减的顺序计算：
$-\sqrt{25} × \sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2} - 4 = -5 × \sqrt{\dfrac{1}{25}} - 4 = -5 × \dfrac{1}{5} - 4 = -1 - 4 = -5$
【答案】
(1) $\dfrac{20}{3}$；(2) $\pm8$；(3) $0.85$；(4) $-5$
【知识点】
算术平方根的定义，平方根运算，二次根式化简
【点评】
本题是平方根运算的基础题型，重点考察对平方根和算术平方根概念的区分，以及开方运算的基本规则，计算时需注意先化简根号内的表达式，再按四则运算顺序计算，避免因符号判断错误或粗心失分。
【难度系数】
0.8
这几道题属于平方根的基础运算题，解题思路如下：①首先区分算术平方根（$\sqrt{a}$，结果为非负数）和平方根（$\pm\sqrt{a}$，结果为互为相反数的两个数）的概念；②先化简根号内的表达式：带分数先化为假分数，乘法运算先算乘积，平方运算先计算结果，确保根号内为非负数；③再按照四则运算顺序，先完成开方运算，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算两个算术平方根，再求和：
$\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{36} = \dfrac{2}{3} + 6 = \dfrac{20}{3}$
(2) 先计算根号内的乘积，再求平方根：
$\pm\sqrt{(-4)×(-16)} = \pm\sqrt{64} = \pm8$
(3) 先将带分数化为假分数，再分别计算各算术平方根，最后按顺序计算加减：
$\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{0.81} - \sqrt{1.69} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} + 0.9 - 1.3 = \dfrac{5}{4} + 0.9 - 1.3 = 1.25 + 0.9 - 1.3 = 0.85$
(4) 先分别计算算术平方根，再按先乘除后加减的顺序计算：
$-\sqrt{25} × \sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2} - 4 = -5 × \sqrt{\dfrac{1}{25}} - 4 = -5 × \dfrac{1}{5} - 4 = -1 - 4 = -5$
【答案】
(1) $\dfrac{20}{3}$；(2) $\pm8$；(3) $0.85$；(4) $-5$
【知识点】
算术平方根的定义，平方根运算，二次根式化简
【点评】
本题是平方根运算的基础题型，重点考察对平方根和算术平方根概念的区分，以及开方运算的基本规则，计算时需注意先化简根号内的表达式，再按四则运算顺序计算，避免因符号判断错误或粗心失分。
【难度系数】
0.8
3. 求下列各式中$x$的值：
（1）$36x^2 - 16 = 0$；
（2）$3(x - 5)^2 - 27 = 0$。
（1）$36x^2 - 16 = 0$；
（2）$3(x - 5)^2 - 27 = 0$。
答案
解：
(1) 移项，得 $36x^2 = 16$，
两边同时除以36，得 $x^2 = \frac{4}{9}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$，
即 $x = \frac{2}{3}$ 或 $x = -\frac{2}{3}$。
(2) 移项，得 $3(x-5)^2 = 27$，
两边同时除以3，得 $(x-5)^2 = 9$，
由平方根的定义，得 $x-5 = \pm3$，
当 $x-5=3$ 时，解得 $x=8$；
当 $x-5=-3$ 时，解得 $x=2$。
所以 $x=8$ 或 $x=2$。
(1) 移项，得 $36x^2 = 16$，
两边同时除以36，得 $x^2 = \frac{4}{9}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$，
即 $x = \frac{2}{3}$ 或 $x = -\frac{2}{3}$。
(2) 移项，得 $3(x-5)^2 = 27$，
两边同时除以3，得 $(x-5)^2 = 9$，
由平方根的定义，得 $x-5 = \pm3$，
当 $x-5=3$ 时，解得 $x=8$；
当 $x-5=-3$ 时，解得 $x=2$。
所以 $x=8$ 或 $x=2$。
解析
【分析】这两个方程都可以用直接开平方法求解，解题思路如下：先通过移项把常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，得到“含未知数的式子的平方等于非负数”的形式，最后根据平方根的定义开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解，再分别计算得到x的取值。
【解析】
(1) 移项，得 $36x^2 = 16$，
两边同时除以36，得 $x^2 = \frac{4}{9}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$，
即 $x = \frac{2}{3}$ 或 $x = -\frac{2}{3}$。
(2) 移项，得 $3(x-5)^2 = 27$，
两边同时除以3，得 $(x-5)^2 = 9$，
由平方根的定义，得 $x-5 = \pm3$，
当 $x-5=3$ 时，解得 $x=8$；
当 $x-5=-3$ 时，解得 $x=2$。
所以 $x=8$ 或 $x=2$。
【答案】（1）$x=\pm\frac{2}{3}$；（2）$x=8$或$x=2$
【知识点】1.平方根的定义 2.直接开平方法解方程
【点评】本题属于平方根应用的基础题，解题核心是先把方程整理为平方项等于非负常数的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 移项，得 $36x^2 = 16$，
两边同时除以36，得 $x^2 = \frac{4}{9}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$，
即 $x = \frac{2}{3}$ 或 $x = -\frac{2}{3}$。
(2) 移项，得 $3(x-5)^2 = 27$，
两边同时除以3，得 $(x-5)^2 = 9$，
由平方根的定义，得 $x-5 = \pm3$，
当 $x-5=3$ 时，解得 $x=8$；
当 $x-5=-3$ 时，解得 $x=2$。
所以 $x=8$ 或 $x=2$。
【答案】（1）$x=\pm\frac{2}{3}$；（2）$x=8$或$x=2$
【知识点】1.平方根的定义 2.直接开平方法解方程
【点评】本题属于平方根应用的基础题，解题核心是先把方程整理为平方项等于非负常数的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】0.8
4. 已知$2a-1$的平方根是$\pm 3$，$a+b-1$的算术平方根是2，求$a-2b$的值.
答案
解：
∵ 2a-1的平方根是±3，
∴ $2a-1=(\pm3)^2=9$，
解得 $a=5$。
∵ $a+b-1$的算术平方根是2，
∴ $a+b-1=2^2=4$，
把$a=5$代入得：$5 + b - 1 = 4$，
解得 $b=0$。
∴ $a-2b=5 - 2×0=5$。
∵ 2a-1的平方根是±3，
∴ $2a-1=(\pm3)^2=9$，
解得 $a=5$。
∵ $a+b-1$的算术平方根是2，
∴ $a+b-1=2^2=4$，
把$a=5$代入得：$5 + b - 1 = 4$，
解得 $b=0$。
∴ $a-2b=5 - 2×0=5$。
解析
【分析】
解题核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解未知参数。首先，若一个数的平方根是±x，那么这个数等于x²，据此可先列出关于a的方程求出a的值；其次，若一个非负数的算术平方根是y，那么这个数等于y²，将求出的a代入该式可得到关于b的方程，解出b；最后将a、b的值代入a-2b计算即可得到结果。
【解析】
∵ 2a-1的平方根是±3，
∴ $2a-1=(\pm3)^2=9$，
解得 $a=5$。
∵ $a+b-1$的算术平方根是2，
∴ $a+b-1=2^2=4$，
把$a=5$代入得：$5 + b - 1 = 4$，
解得 $b=0$。
∴ $a-2b=5 - 2×0=5$。
【答案】
5
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质，根据性质列方程求出未知参数的值，再代入所求代数式计算即可，解题时注意区分平方根和算术平方根的差异，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解未知参数。首先，若一个数的平方根是±x，那么这个数等于x²，据此可先列出关于a的方程求出a的值；其次，若一个非负数的算术平方根是y，那么这个数等于y²，将求出的a代入该式可得到关于b的方程，解出b；最后将a、b的值代入a-2b计算即可得到结果。
【解析】
∵ 2a-1的平方根是±3，
∴ $2a-1=(\pm3)^2=9$，
解得 $a=5$。
∵ $a+b-1$的算术平方根是2，
∴ $a+b-1=2^2=4$，
把$a=5$代入得：$5 + b - 1 = 4$，
解得 $b=0$。
∴ $a-2b=5 - 2×0=5$。
【答案】
5
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质，根据性质列方程求出未知参数的值，再代入所求代数式计算即可，解题时注意区分平方根和算术平方根的差异，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
