5. 如图，将一张国际标准尺寸的全张纸对折一次长边并裁切，得2张，每一张都是原来的$\frac{1}{2}$，称为对开（即2开，2 K）；对折两次长边并裁切，得$2^2=4$张，每一张都是原来的$\frac{1}{4}$，称为4开（4 K）；对折三次长边并裁切，得$2^3=8$张，每一张都是原来的$\frac{1}{8}$，称为8开（8 K）；……某张国际标准尺寸的全张纸符合下列两个条件：①面积为1 $m^2$；②经过若干次对折长边裁切，所得纸张的长边和短边之比都相等. 求该张国际标准尺寸全张纸的长边和短边（结果精确到1 mm）。

综合与应用

设该张国际标准尺寸全张纸的长边为 x m，短边为 y m. 由条件①，得 xy=1；由条件②，得 $x:y=y:\frac{x}{2}$，即 $x^2=2y^2$. 所以 $x^2=\sqrt{2}$. 因为 x 与 y 都大于 0，所以 $x≈1.189 2 m≈1189 mm$，$y=\frac{1}{x}≈0.840 9 m≈841 mm$. 所以该张国际标准尺寸全张纸的长边和短边分别为 1 189 mm 和 841 mm.

【分析】
要解决该问题，可从题目给出的两个核心条件入手梳理思路：首先设全张纸的长边为x m，短边为y m，第一步根据面积为$1\ \mathrm{m}^2$，可直接列出等式$xy=1$；第二步分析对折后的边长关系：对折裁切后，原短边y成为新纸张的长边，原长边的一半$\frac{x}{2}$成为新纸张的短边，题目要求对折后长宽比不变，因此原长宽比等于新纸张的长宽比，据此列出比例式；最后联立两个方程求解，再将结果的单位从米换算为毫米，按要求取近似值即可。
【解析】
解：设该张国际标准尺寸全张纸的长边为$x\ \mathrm{m}$，短边为$y\ \mathrm{m}$。
1. 根据条件①全张纸面积为$1\ \mathrm{m}^2$，可得：
$xy=1$ ①
2. 根据条件②对折裁切后长边和短边之比不变，对折后新纸张的长边为$y$，短边为$\frac{x}{2}$，因此比例关系为：
$x:y = y:\frac{x}{2}$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积），整理得：
$x^2=2y^2$ ②
3. 联立①②求解：
由①得$y=\frac{1}{x}$，将其代入②得$x^2=2×(\frac{1}{x})^2$，进一步整理得$x^4=2$，即$x^2=\sqrt{2}$。
因为边长为正数，因此$x=\sqrt[4]{2}\approx1.1892\ \mathrm{m}=1189.2\ \mathrm{mm}\approx1189\ \mathrm{mm}$
$y=\frac{1}{x}\approx0.8409\ \mathrm{m}=840.9\ \mathrm{mm}\approx841\ \mathrm{mm}$
【答案】
该张国际标准尺寸全张纸的长边约为1189 mm，短边约为841 mm。
【知识点】
比例的性质，二元方程应用，实数近似计算
【点评】
本题结合纸张裁切的生活场景命题，解题的关键是准确对应对折前后的边长，正确列出比例式，同时要注意最终结果的单位转换和精度要求。
【难度系数】
0.6