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1. 判断下列各等式是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”：
（1）对于二次根式$\sqrt{a}$，$(\sqrt{a})^2 = a$；（
（2）$\sqrt{(-a)^2} = \pm a$；（
（3）$\sqrt{a^4} = a^2$；（
（4）$\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} = a + b$；（
（1）对于二次根式$\sqrt{a}$，$(\sqrt{a})^2 = a$；（
√
）（2）$\sqrt{(-a)^2} = \pm a$；（
×
）（3）$\sqrt{a^4} = a^2$；（
√
）（4）$\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} = a + b$；（
×
）答案
(1) √. (2) ×. (3) √. (4) ×.
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质，解题时先明确两个核心要点：一是二次根式有意义的前提是被开方数非负，二是算术平方根的运算结果一定是非负数。逐个分析等式：
1. 对于$(\sqrt{a})^2=a$，$\sqrt{a}$有意义则$a≥0$，直接对应二次根式的性质即可判断；
2. 对于$\sqrt{(-a)^2}$，先化简被开方数得$a^2$，算术平方根结果只能是非负的，不可能有正负两个结果；
3. 对于$\sqrt{a^4}$，先把$a^4$转化为$(a^2)^2$，$a^2$本身是非负数，开算术平方根后结果就是$a^2$；
4. 对于$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$，$\sqrt{a^2}$化简结果是$|a|$、$\sqrt{b^2}$化简结果是$|b|$，仅当a、b均非负时才等于$a+b$，否则不成立。
【解析】
（1）二次根式$\sqrt{a}$有意义，则$a≥0$，根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2 = a$，故该等式正确。
（2）算术平方根的运算结果为非负数，$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=|a|$，不可能等于$\pm a$，故该等式错误。
（3）$a^4=(a^2)^2$，且$a^2≥0$，因此$\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}=|a^2|=a^2$，故该等式正确。
（4）根据二次根式性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{b^2}=|b|$，因此$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=|a|+|b|$，仅当$a≥0$且$b≥0$时，$|a|+|b|=a+b$，其余情况不成立，故该等式错误。
【答案】
(1) √；(2) ×；(3) √；(4) ×
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根的非负性，绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式性质的基础辨析题，重点考查对$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$两个运算的区分，解题时要注意运算的前提条件和结果的非负性，避免因忽略符号限制出现判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的相关性质，解题时先明确两个核心要点：一是二次根式有意义的前提是被开方数非负，二是算术平方根的运算结果一定是非负数。逐个分析等式：
1. 对于$(\sqrt{a})^2=a$，$\sqrt{a}$有意义则$a≥0$，直接对应二次根式的性质即可判断；
2. 对于$\sqrt{(-a)^2}$，先化简被开方数得$a^2$，算术平方根结果只能是非负的，不可能有正负两个结果；
3. 对于$\sqrt{a^4}$，先把$a^4$转化为$(a^2)^2$，$a^2$本身是非负数，开算术平方根后结果就是$a^2$；
4. 对于$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$，$\sqrt{a^2}$化简结果是$|a|$、$\sqrt{b^2}$化简结果是$|b|$，仅当a、b均非负时才等于$a+b$，否则不成立。
【解析】
（1）二次根式$\sqrt{a}$有意义，则$a≥0$，根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2 = a$，故该等式正确。
（2）算术平方根的运算结果为非负数，$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=|a|$，不可能等于$\pm a$，故该等式错误。
（3）$a^4=(a^2)^2$，且$a^2≥0$，因此$\sqrt{a^4}=\sqrt{(a^2)^2}=|a^2|=a^2$，故该等式正确。
（4）根据二次根式性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{b^2}=|b|$，因此$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=|a|+|b|$，仅当$a≥0$且$b≥0$时，$|a|+|b|=a+b$，其余情况不成立，故该等式错误。
【答案】
(1) √；(2) ×；(3) √；(4) ×
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根的非负性，绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式性质的基础辨析题，重点考查对$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$两个运算的区分，解题时要注意运算的前提条件和结果的非负性，避免因忽略符号限制出现判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 设$x$是实数，当$x$满足什么条件时，下列各式有意义？
(1) $\sqrt{-3x}$；
(2) $\sqrt{2x+9}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$；
(4) $\sqrt{-x^2}$。
(1) $\sqrt{-3x}$；
(2) $\sqrt{2x+9}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$；
(4) $\sqrt{-x^2}$。
答案
(1) $x≤0$. (2) $x≥-\dfrac{9}{2}$. (3) $x＞1$. (4) $x=0$.
解析
【分析】
要判断二次根式有意义的条件，核心依据是：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）；如果被开方数含有分式，还要额外保证分式的分母不为0，避免分式无意义。解题时针对每个式子，先根据上述规则列出对应的不等式或不等式组，再解出不等式的解集，就是x需要满足的条件。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{-3x}$有意义，需满足被开方数非负：
$-3x≥0$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$x≤0$
(2) 要使$\sqrt{2x+9}$有意义，需满足被开方数非负：
$2x+9≥0$
移项得$2x≥-9$，两边同时除以2得：
$x≥-\dfrac{9}{2}$
(3) 要使$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$有意义，需同时满足被开方数非负、分母不为0：
$\dfrac{2}{x-1}≥0$且$x-1≠0$
因为分子$2＞0$，要使分式的值为正，需分母大于0，即：
$x-1＞0$
解得：$x＞1$
(4) 要使$\sqrt{-x^2}$有意义，需满足被开方数非负：
$-x^2≥0$，即$x^2≤0$
又因为任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此仅当$x^2=0$时不等式成立，解得：
$x=0$
【答案】
(1) $x≤0$；(2) $x≥-\dfrac{9}{2}$；(3) $x＞1$；(4) $x=0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关概念的基础应用题，解题关键是牢记二次根式被开方数的非负性，当被开方数含分式时要额外注意分母不能为0，第(4)小问需结合平方的非负性判断取值，整体难度较低，主要考察对基础概念的掌握和细心程度。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式有意义的条件，核心依据是：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）；如果被开方数含有分式，还要额外保证分式的分母不为0，避免分式无意义。解题时针对每个式子，先根据上述规则列出对应的不等式或不等式组，再解出不等式的解集，就是x需要满足的条件。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{-3x}$有意义，需满足被开方数非负：
$-3x≥0$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$x≤0$
(2) 要使$\sqrt{2x+9}$有意义，需满足被开方数非负：
$2x+9≥0$
移项得$2x≥-9$，两边同时除以2得：
$x≥-\dfrac{9}{2}$
(3) 要使$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$有意义，需同时满足被开方数非负、分母不为0：
$\dfrac{2}{x-1}≥0$且$x-1≠0$
因为分子$2＞0$，要使分式的值为正，需分母大于0，即：
$x-1＞0$
解得：$x＞1$
(4) 要使$\sqrt{-x^2}$有意义，需满足被开方数非负：
$-x^2≥0$，即$x^2≤0$
又因为任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此仅当$x^2=0$时不等式成立，解得：
$x=0$
【答案】
(1) $x≤0$；(2) $x≥-\dfrac{9}{2}$；(3) $x＞1$；(4) $x=0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关概念的基础应用题，解题关键是牢记二次根式被开方数的非负性，当被开方数含分式时要额外注意分母不能为0，第(4)小问需结合平方的非负性判断取值，整体难度较低，主要考察对基础概念的掌握和细心程度。
【难度系数】
0.8
3. 当$x=\frac{5}{2}$时，$\sqrt{\frac{1}{x-2}}$、$\sqrt{1-x}$、$\sqrt{2x-5}$、$\sqrt{x^2+3}$中没有意义的是
$\sqrt{1-x}$
。答案
$\sqrt{1-x}$.
解析
【分析】
要判断二次根式是否有意义，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0），若被开方数小于0，二次根式就没有意义。解题时先将$x=\frac{5}{2}$分别代入每个根式的被开方数中计算，再判断计算结果是否小于0，小于0的对应的根式就没有意义。
【解析】
已知$x=\frac{5}{2}$，分别计算四个二次根式的被开方数：
1. 对于$\sqrt{\frac{1}{x-2}}$，被开方数为$\frac{1}{x-2}$：
$x-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{x-2}=2＞0$，该二次根式有意义；
2. 对于$\sqrt{1-x}$，被开方数为$1-x$：
$1-x=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}＜0$，该二次根式没有意义；
3. 对于$\sqrt{2x-5}$，被开方数为$2x-5$：
$2x-5=2×\frac{5}{2}-5=5-5=0≥0$，该二次根式有意义；
4. 对于$\sqrt{x^2+3}$，被开方数为$x^2+3$：
因为$x^2≥0$，所以$x^2+3≥3＞0$，该二次根式有意义。
【答案】
$\sqrt{1-x}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，代入数值计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
要判断二次根式是否有意义，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0），若被开方数小于0，二次根式就没有意义。解题时先将$x=\frac{5}{2}$分别代入每个根式的被开方数中计算，再判断计算结果是否小于0，小于0的对应的根式就没有意义。
【解析】
已知$x=\frac{5}{2}$，分别计算四个二次根式的被开方数：
1. 对于$\sqrt{\frac{1}{x-2}}$，被开方数为$\frac{1}{x-2}$：
$x-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{x-2}=2＞0$，该二次根式有意义；
2. 对于$\sqrt{1-x}$，被开方数为$1-x$：
$1-x=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}＜0$，该二次根式没有意义；
3. 对于$\sqrt{2x-5}$，被开方数为$2x-5$：
$2x-5=2×\frac{5}{2}-5=5-5=0≥0$，该二次根式有意义；
4. 对于$\sqrt{x^2+3}$，被开方数为$x^2+3$：
因为$x^2≥0$，所以$x^2+3≥3＞0$，该二次根式有意义。
【答案】
$\sqrt{1-x}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，代入数值计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
