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4. 求下列二次根式的值：
(1) $\sqrt{(π - 4)^2}$；
(2) $\sqrt{1 + 2x + x^2}$，其中 $x=-\sqrt{2}$。
(1) $\sqrt{(π - 4)^2}$；
(2) $\sqrt{1 + 2x + x^2}$，其中 $x=-\sqrt{2}$。
答案
(1) $4-π$. (2) $\sqrt{2}-1$.
解析
【分析】
解决这两道题核心是运用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$。第(1)题先将原式转化为绝对值形式，再根据$π$和4的大小关系去绝对值即可；第(2)题先利用完全平方公式将根号内的多项式因式分解，同样转化为绝对值形式，再代入$x$的取值，判断绝对值内式子的正负后去绝对值化简。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(π - 4)^2}=|π - 4|$
$\because π\approx3.14＜4$，即$π-4＜0$
$\therefore |π-4|=4-π$
(2) 先对根号内的式子因式分解：
$\sqrt{1 + 2x + x^2}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$
将$x=-\sqrt{2}$代入得：
$|x+1|=|-\sqrt{2}+1|$
$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，即$-\sqrt{2}+1＜0$
$\therefore |-\sqrt{2}+1|=-(-\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $4-π$；(2) $\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，化简前要先判断绝对值内表达式的正负，再去绝对值计算，避免直接去掉根号忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.8
解决这两道题核心是运用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$。第(1)题先将原式转化为绝对值形式，再根据$π$和4的大小关系去绝对值即可；第(2)题先利用完全平方公式将根号内的多项式因式分解，同样转化为绝对值形式，再代入$x$的取值，判断绝对值内式子的正负后去绝对值化简。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(π - 4)^2}=|π - 4|$
$\because π\approx3.14＜4$，即$π-4＜0$
$\therefore |π-4|=4-π$
(2) 先对根号内的式子因式分解：
$\sqrt{1 + 2x + x^2}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$
将$x=-\sqrt{2}$代入得：
$|x+1|=|-\sqrt{2}+1|$
$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，即$-\sqrt{2}+1＜0$
$\therefore |-\sqrt{2}+1|=-(-\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $4-π$；(2) $\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，化简前要先判断绝对值内表达式的正负，再去绝对值计算，避免直接去掉根号忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.8
5. 阅读甲、乙两人对以下问题的解答.
拓展与思考
化简求值：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2-2}$，其中$a=\frac{1}{5}$.
甲的解答是：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2-2}=\frac{1}{a}+\sqrt{(\frac{1}{a}-a)^2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=\frac{49}{5}$.
乙的解答是：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2-2}=\frac{1}{a}+\sqrt{(a-\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a}+a-\frac{1}{a}=a=\frac{1}{5}$.
请你判断谁的解答不正确，并说明理由.
拓展与思考
化简求值：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2-2}$，其中$a=\frac{1}{5}$.
甲的解答是：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2-2}=\frac{1}{a}+\sqrt{(\frac{1}{a}-a)^2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=\frac{49}{5}$.
乙的解答是：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2-2}=\frac{1}{a}+\sqrt{(a-\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a}+a-\frac{1}{a}=a=\frac{1}{5}$.
请你判断谁的解答不正确，并说明理由.
答案
乙的解答不正确. 当$a=\dfrac{1}{5}$时，$a-\dfrac{1}{a}＜0$，则$\sqrt{(a-\dfrac{1}{a})^2} = \left|a-\dfrac{1}{a}\right|=\dfrac{1}{a}-a$，而不是$a-\dfrac{1}{a}$.
解析
【分析】
解决本题需要先明确二次根式的核心性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，化简时不能直接去掉根号得到原式，必须先转化为绝对值形式，再根据绝对值内代数式的正负去绝对值符号。解题思路为：第一步将根号内的式子整理为完全平方形式，第二步代入$a$的取值判断完全平方内代数式的正负，第三步根据绝对值性质化简，最后计算结果。乙的错误是省略了符号判断步骤，直接去根号，违反了二次根式的非负性要求。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$（开平方的结果为非负数），解题步骤如下：
1. 变形根号内的式子：
$\frac{1}{a^2}+a^2-2 = (\frac{1}{a})^2 - 2· \frac{1}{a}· a + a^2 = (\frac{1}{a}-a)^2=(a-\frac{1}{a})^2$，甲、乙这一步变形均正确。
2. 判断$a-\frac{1}{a}$的正负：
当$a=\frac{1}{5}$时，$\frac{1}{a}=5$，因此$a-\frac{1}{a}=\frac{1}{5}-5=-\frac{24}{5}＜0$。
3. 化简二次根式：
$\sqrt{(a-\frac{1}{a})^2}=|a-\frac{1}{a}|$，因为$a-\frac{1}{a}＜0$，所以$|a-\frac{1}{a}|=\frac{1}{a}-a$。
因此原式$=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=\frac{49}{5}$，甲的解答正确，乙直接将$\sqrt{(a-\frac{1}{a})^2}$化简为$a-\frac{1}{a}$，不符合二次根式的非负性要求，因此乙的解答错误。
【答案】
乙的解答不正确. 当$a=\dfrac{1}{5}$时，$a-\dfrac{1}{a}＜0$，则$\sqrt{(a-\dfrac{1}{a})^2} = \left|a-\dfrac{1}{a}\right|=\dfrac{1}{a}-a$，而不是$a-\dfrac{1}{a}$.
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题关键是牢记二次根式开平方的结果是非负的，去根号后要先写为绝对值形式，结合已知条件判断符号后再化简，避免因忽略符号限制出现错误。
【难度系数】
0.6
解决本题需要先明确二次根式的核心性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，化简时不能直接去掉根号得到原式，必须先转化为绝对值形式，再根据绝对值内代数式的正负去绝对值符号。解题思路为：第一步将根号内的式子整理为完全平方形式，第二步代入$a$的取值判断完全平方内代数式的正负，第三步根据绝对值性质化简，最后计算结果。乙的错误是省略了符号判断步骤，直接去根号，违反了二次根式的非负性要求。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$（开平方的结果为非负数），解题步骤如下：
1. 变形根号内的式子：
$\frac{1}{a^2}+a^2-2 = (\frac{1}{a})^2 - 2· \frac{1}{a}· a + a^2 = (\frac{1}{a}-a)^2=(a-\frac{1}{a})^2$，甲、乙这一步变形均正确。
2. 判断$a-\frac{1}{a}$的正负：
当$a=\frac{1}{5}$时，$\frac{1}{a}=5$，因此$a-\frac{1}{a}=\frac{1}{5}-5=-\frac{24}{5}＜0$。
3. 化简二次根式：
$\sqrt{(a-\frac{1}{a})^2}=|a-\frac{1}{a}|$，因为$a-\frac{1}{a}＜0$，所以$|a-\frac{1}{a}|=\frac{1}{a}-a$。
因此原式$=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=\frac{49}{5}$，甲的解答正确，乙直接将$\sqrt{(a-\frac{1}{a})^2}$化简为$a-\frac{1}{a}$，不符合二次根式的非负性要求，因此乙的解答错误。
【答案】
乙的解答不正确. 当$a=\dfrac{1}{5}$时，$a-\dfrac{1}{a}＜0$，则$\sqrt{(a-\dfrac{1}{a})^2} = \left|a-\dfrac{1}{a}\right|=\dfrac{1}{a}-a$，而不是$a-\dfrac{1}{a}$.
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题关键是牢记二次根式开平方的结果是非负的，去根号后要先写为绝对值形式，结合已知条件判断符号后再化简，避免因忽略符号限制出现错误。
【难度系数】
0.6
