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11 四月的广州,木棉花灿烂绽放,引来众多游客踏青观赏,拍照留念.小渡计划购进A,B两种型号的手机自拍杆进行销售,已知购进1个A型号自拍杆和2个B型号自拍杆共需75元,购进2个A型号自拍杆和3个B型号自拍杆共需120元.
(1)求A型号自拍杆和B型号自拍杆的购进单价.
(2)若小渡计划购进A,B两种型号的自拍杆共100个,并将A,B两种型号的自拍杆分别以20元/个,50元/个售出,为了保证全部售完后的总利润不低于1 100元,最多购进A型号自拍杆多少个?
(1)求A型号自拍杆和B型号自拍杆的购进单价.
(2)若小渡计划购进A,B两种型号的自拍杆共100个,并将A,B两种型号的自拍杆分别以20元/个,50元/个售出,为了保证全部售完后的总利润不低于1 100元,最多购进A型号自拍杆多少个?
答案
11. 解:(1)设 A 型号自拍杆的购进单价是 x 元/个, B 型号自拍杆的购进单价是 y 元/个.
根据题意,得$\begin{cases} x + 2y = 75, \\ 2x + 3y = 120, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 15, \\ y = 30. \end{cases}$
答:A 型号自拍杆的购进单价是 15 元/个,B 型号自拍杆的购进单价是 30 元/个.
(2)设购进 A 型号自拍杆 m 个,则购进 B 型号自拍杆$(100 - m)$个.
根据题意,得$(20 - 15)m + (50 - 30)(100 - m) ≥ 1100$,
解得$m ≤ 60$,
∴ m 的最大值为 60.
答:最多购进 A 型号自拍杆 60 个.
根据题意,得$\begin{cases} x + 2y = 75, \\ 2x + 3y = 120, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 15, \\ y = 30. \end{cases}$
答:A 型号自拍杆的购进单价是 15 元/个,B 型号自拍杆的购进单价是 30 元/个.
(2)设购进 A 型号自拍杆 m 个,则购进 B 型号自拍杆$(100 - m)$个.
根据题意,得$(20 - 15)m + (50 - 30)(100 - m) ≥ 1100$,
解得$m ≤ 60$,
∴ m 的最大值为 60.
答:最多购进 A 型号自拍杆 60 个.
解析
【分析】
(1) 要求两种型号自拍杆的购进单价，题目给出了两组购进费用的等量关系，我们可设两个未知数，根据“1个A型号费用+2个B型号费用=75元”“2个A型号费用+3个B型号费用=120元”列出二元一次方程组，求解即可得到两种型号的单价。
(2) 要保证总利润不低于1100元，首先明确总利润=单个利润×销售数量，单个利润=售价-进价。设购进A型号自拍杆的数量为m，那么B型号数量就是(100-m)，根据“总利润≥1100元”列出一元一次不等式，解出不等式的解集后，取最大正整数就是最多购进A型号的数量。
【解析】
(1) 设 A 型号自拍杆的购进单价是 x 元/个，B 型号自拍杆的购进单价是 y 元/个。
根据题意，得$\begin{cases} x + 2y = 75 \\ 2x + 3y = 120 \end{cases}$
由第一个方程得$x=75-2y$，代入第二个方程得$2(75-2y)+3y=120$，解得$y=30$，将$y=30$代入$x=75-2y$得$x=15$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x = 15 \\ y = 30 \end{cases}$
(2) 设购进 A 型号自拍杆 m 个，则购进 B 型号自拍杆$(100 - m)$个。
根据总利润不低于1100元，得$(20 - 15)m + (50 - 30)(100 - m) ≥ 1100$
化简得$5m + 2000 - 20m ≥ 1100$，移项合并同类项得$-15m ≥ -900$，两边同时除以$-15$，不等号方向改变，得$m ≤ 60$，因此m的最大值为60。
【答案】
(1) A型号自拍杆购进单价为15元/个，B型号自拍杆购进单价为30元/个；
(2) 最多购进A型号自拍杆60个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合生活消费场景出题，属于实际应用类常规题型，主要考查学生从题干中提取等量关系、不等关系的能力，解题时只要找准数量关系列出对应的方程（组）和不等式即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
(1) 要求两种型号自拍杆的购进单价，题目给出了两组购进费用的等量关系，我们可设两个未知数，根据“1个A型号费用+2个B型号费用=75元”“2个A型号费用+3个B型号费用=120元”列出二元一次方程组，求解即可得到两种型号的单价。
(2) 要保证总利润不低于1100元，首先明确总利润=单个利润×销售数量，单个利润=售价-进价。设购进A型号自拍杆的数量为m，那么B型号数量就是(100-m)，根据“总利润≥1100元”列出一元一次不等式，解出不等式的解集后，取最大正整数就是最多购进A型号的数量。
【解析】
(1) 设 A 型号自拍杆的购进单价是 x 元/个，B 型号自拍杆的购进单价是 y 元/个。
根据题意，得$\begin{cases} x + 2y = 75 \\ 2x + 3y = 120 \end{cases}$
由第一个方程得$x=75-2y$，代入第二个方程得$2(75-2y)+3y=120$，解得$y=30$，将$y=30$代入$x=75-2y$得$x=15$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x = 15 \\ y = 30 \end{cases}$
(2) 设购进 A 型号自拍杆 m 个，则购进 B 型号自拍杆$(100 - m)$个。
根据总利润不低于1100元，得$(20 - 15)m + (50 - 30)(100 - m) ≥ 1100$
化简得$5m + 2000 - 20m ≥ 1100$，移项合并同类项得$-15m ≥ -900$，两边同时除以$-15$，不等号方向改变，得$m ≤ 60$，因此m的最大值为60。
【答案】
(1) A型号自拍杆购进单价为15元/个，B型号自拍杆购进单价为30元/个；
(2) 最多购进A型号自拍杆60个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合生活消费场景出题，属于实际应用类常规题型，主要考查学生从题干中提取等量关系、不等关系的能力，解题时只要找准数量关系列出对应的方程（组）和不等式即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
12 某学校的编程课上,一位同学设计了一个运算程序,如图所示.按此程序进行运算,程序运行从“输入一个值x”到“判断结果是否大于23”为一次运行.
(1)若$x=5$,请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止；
(2)若该程序只运行了两次就停止了,求$x$的取值范围.
(1)若$x=5$,请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止；
(2)若该程序只运行了两次就停止了,求$x$的取值范围.
答案
12. 解:(1)根据题意,程序运行 1 次:$5 × 2 - 3 = 7$,
程序运行 2 次:$7 × 2 - 3 = 11$,
程序运行 3 次:$11 × 2 - 3 = 19$,
程序运行 4 次:$19 × 2 - 3 = 35$.
∵ $19 ＜ 23,35 ＞ 23$,
∴ 若$x=5$,则该程序需要运行 4 次才停止.
(2)根据题意,得$\begin{cases} 2x - 3 ≤ 23, \\ 2(2x - 3) - 3 ＞ 23, \end{cases}$
解得$8 ＜ x ≤ 13$,
∴ 若该程序只运行了两次就停止了,则 x 的取值范围为$8 ＜ x ≤ 13$.
程序运行 2 次:$7 × 2 - 3 = 11$,
程序运行 3 次:$11 × 2 - 3 = 19$,
程序运行 4 次:$19 × 2 - 3 = 35$.
∵ $19 ＜ 23,35 ＞ 23$,
∴ 若$x=5$,则该程序需要运行 4 次才停止.
(2)根据题意,得$\begin{cases} 2x - 3 ≤ 23, \\ 2(2x - 3) - 3 ＞ 23, \end{cases}$
解得$8 ＜ x ≤ 13$,
∴ 若该程序只运行了两次就停止了,则 x 的取值范围为$8 ＜ x ≤ 13$.
解析
【分析】
(1) 第一问需将初始值x=5代入程序的“乘2减3”运算规则，逐次计算每次运行的结果，每次计算后判断结果是否大于23，不大于则继续运行，直到结果大于23为止，统计运行次数即可。
(2) 第二问“只运行两次就停止”的含义是：第一次运行结果不满足“大于23”的停止条件（否则第一次就会停止），第二次运行结果满足停止条件，据此列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 按照程序运算规则依次计算：
第1次运行：$5×2 -3 =7$，$7＜23$，不停止；
第2次运行：$7×2 -3 =11$，$11＜23$，不停止；
第3次运行：$11×2 -3 =19$，$19＜23$，不停止；
第4次运行：$19×2 -3 =35$，$35＞23$，停止。
(2) 由“只运行两次就停止”列不等式组：
$\begin{cases}2x - 3 ≤ 23 \\ 2(2x - 3) - 3 ＞ 23\end{cases}$
解第一个不等式：$2x≤26$，得$x≤13$；
解第二个不等式：$4x-9＞23$，$4x＞32$，得$x＞8$。
因此不等式组的解集为$8＜x≤13$。
【答案】
(1) 4次；
(2) $8＜x≤13$
【知识点】
程序框图运算，一元一次不等式组应用，不等式求解
【点评】
本题结合运算程序考查基础运算与不等式组的实际应用，解题的关键是准确理解程序运行规则，明确不同运行次数对应的不等关系，避免遗漏第一次运行不满足停止条件的限制。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需将初始值x=5代入程序的“乘2减3”运算规则，逐次计算每次运行的结果，每次计算后判断结果是否大于23，不大于则继续运行，直到结果大于23为止，统计运行次数即可。
(2) 第二问“只运行两次就停止”的含义是：第一次运行结果不满足“大于23”的停止条件（否则第一次就会停止），第二次运行结果满足停止条件，据此列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 按照程序运算规则依次计算：
第1次运行：$5×2 -3 =7$，$7＜23$，不停止；
第2次运行：$7×2 -3 =11$，$11＜23$，不停止；
第3次运行：$11×2 -3 =19$，$19＜23$，不停止；
第4次运行：$19×2 -3 =35$，$35＞23$，停止。
(2) 由“只运行两次就停止”列不等式组：
$\begin{cases}2x - 3 ≤ 23 \\ 2(2x - 3) - 3 ＞ 23\end{cases}$
解第一个不等式：$2x≤26$，得$x≤13$；
解第二个不等式：$4x-9＞23$，$4x＞32$，得$x＞8$。
因此不等式组的解集为$8＜x≤13$。
【答案】
(1) 4次；
(2) $8＜x≤13$
【知识点】
程序框图运算，一元一次不等式组应用，不等式求解
【点评】
本题结合运算程序考查基础运算与不等式组的实际应用，解题的关键是准确理解程序运行规则，明确不同运行次数对应的不等关系，避免遗漏第一次运行不满足停止条件的限制。
【难度系数】
0.7
