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6 某次知识竞赛共有30道题，每答对一道题得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？设小亮答对了x道题，根据题意可列不等式为 （
A.$5x - 3(30 - x) ＞ 70$
B.$5x + 3(30 - x) ≤ 70$
C.$5x - 3(30 - x) ≥ 70$
D.$5x + 3(30 - x) ＞ 70$
A
）A.$5x - 3(30 - x) ＞ 70$
B.$5x + 3(30 - x) ≤ 70$
C.$5x - 3(30 - x) ≥ 70$
D.$5x + 3(30 - x) ＞ 70$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先明确各数量的含义：首先已知总题数30道，答对x道，那么答错或不答的题数为(30-x)道。接下来梳理得分规则：答对1题得5分，所以答对的总分为5x；答错或不答1题扣3分，所以总共要扣的分数为3(30-x)，总得分等于答对得的分数减去被扣的分数。最后找不等关系，“得分要超过70分”即总得分严格大于70，据此即可列出不等式，再对应选项判断即可。
【解析】
步骤1：确定答错或不答的题数：总题数30道，答对x道，因此答错或不答的题数为(30-x)道。
步骤2：计算答对题的总得分：每道对题得5分，总得分是5x分。
步骤3：计算被扣的总分数：答错或不答每道扣3分，总扣分为3(30-x)分。
步骤4：计算实际总得分：总得分=答对得分 - 被扣分数，即5x - 3(30-x)。
步骤5：根据不等关系列不等式：得分超过70分，即总得分＞70，因此不等式为$5x - 3(30 - x) ＞ 70$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次不等式；实际问题不等关系
【点评】
本题重点考查根据实际问题列不等式的能力，解题的关键是准确理解“扣分”“超过”等关键词的含义，理清得分的计算逻辑，避免出现符号错误或不等号使用错误的问题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确各数量的含义：首先已知总题数30道，答对x道，那么答错或不答的题数为(30-x)道。接下来梳理得分规则：答对1题得5分，所以答对的总分为5x；答错或不答1题扣3分，所以总共要扣的分数为3(30-x)，总得分等于答对得的分数减去被扣的分数。最后找不等关系，“得分要超过70分”即总得分严格大于70，据此即可列出不等式，再对应选项判断即可。
【解析】
步骤1：确定答错或不答的题数：总题数30道，答对x道，因此答错或不答的题数为(30-x)道。
步骤2：计算答对题的总得分：每道对题得5分，总得分是5x分。
步骤3：计算被扣的总分数：答错或不答每道扣3分，总扣分为3(30-x)分。
步骤4：计算实际总得分：总得分=答对得分 - 被扣分数，即5x - 3(30-x)。
步骤5：根据不等关系列不等式：得分超过70分，即总得分＞70，因此不等式为$5x - 3(30 - x) ＞ 70$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次不等式；实际问题不等关系
【点评】
本题重点考查根据实际问题列不等式的能力，解题的关键是准确理解“扣分”“超过”等关键词的含义，理清得分的计算逻辑，避免出现符号错误或不等号使用错误的问题。
【难度系数】
0.8
7 如图，书架宽102 cm，在该书架上按如图所示的方式摆放数学书和语文书. 已知每本数学书厚1.2 cm，每本语文书厚1.5 cm. 如果该书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆放（
A.45本
B.46本
C.47本
D.48本
（第7题）
C
）A.45本
B.46本
C.47本
D.48本
（第7题）答案
7.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们需要先算出已摆放的30本语文书占用的书架宽度，再用书架总宽度减去语文书占用的宽度，得到剩余可摆放数学书的宽度。接着根据数学书的厚度，设可摆放数学书的数量为未知数，结合“摆放的书总厚度不能超过剩余宽度”的不等关系列不等式求解，最后结合书的数量必须是正整数的实际情况，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
1. 计算30本语文书的总厚度：
已知每本语文书厚1.5 cm，30本语文书总厚度为 $30×1.5=45\,\mathrm{cm}$
2. 计算剩余可使用的书架宽度：
书架总宽102 cm，剩余可使用宽度为 $102-45=57\,\mathrm{cm}$
3. 设还可以摆放$x$本数学书，根据数学书总厚度不超过剩余宽度，列不等式：
$1.2x≤57$
解不等式得：$x≤47.5$
因为$x$代表书的数量，必须为非负整数，所以$x$的最大取值为47，即最多可以摆放47本数学书。
【答案】
C
【知识点】
不等式实际应用、不等式求解、实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的实际应用，解题核心是抓住“摆放物品总尺寸不超过容器尺寸”这一常见不等关系建立不等式，需要注意最终结果要结合实际情况取整，不足一本厚度的空间无法摆放完整的一本书，不能直接对计算结果四舍五入。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们需要先算出已摆放的30本语文书占用的书架宽度，再用书架总宽度减去语文书占用的宽度，得到剩余可摆放数学书的宽度。接着根据数学书的厚度，设可摆放数学书的数量为未知数，结合“摆放的书总厚度不能超过剩余宽度”的不等关系列不等式求解，最后结合书的数量必须是正整数的实际情况，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
1. 计算30本语文书的总厚度：
已知每本语文书厚1.5 cm，30本语文书总厚度为 $30×1.5=45\,\mathrm{cm}$
2. 计算剩余可使用的书架宽度：
书架总宽102 cm，剩余可使用宽度为 $102-45=57\,\mathrm{cm}$
3. 设还可以摆放$x$本数学书，根据数学书总厚度不超过剩余宽度，列不等式：
$1.2x≤57$
解不等式得：$x≤47.5$
因为$x$代表书的数量，必须为非负整数，所以$x$的最大取值为47，即最多可以摆放47本数学书。
【答案】
C
【知识点】
不等式实际应用、不等式求解、实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的实际应用，解题核心是抓住“摆放物品总尺寸不超过容器尺寸”这一常见不等关系建立不等式，需要注意最终结果要结合实际情况取整，不足一本厚度的空间无法摆放完整的一本书，不能直接对计算结果四舍五入。
【难度系数】
0.7
8 小明测量一种玻璃球的体积,他的测量方法是:①将$ 500\ \mathrm{cm}^3 $的水倒进一个容量为$ 750\ \mathrm{cm}^3 $的杯子中,如图①;②将四颗相同的玻璃球放入水中,结果水没有满,如图②;③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中,结果水满并溢出来,如图③.根据这个现象,小明判断这样的一颗玻璃球的体积可能是 (
A.$ 70\ \mathrm{cm}^3 $
B.$ 65\ \mathrm{cm}^3 $
C.$ 55\ \mathrm{cm}^3 $
D.$ 50\ \mathrm{cm}^3 $
C
)A.$ 70\ \mathrm{cm}^3 $
B.$ 65\ \mathrm{cm}^3 $
C.$ 55\ \mathrm{cm}^3 $
D.$ 50\ \mathrm{cm}^3 $
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先计算杯子未装水的空余容积，再根据两次放玻璃球的现象提取不等关系：放4颗玻璃球水未满，说明4颗玻璃球总体积小于空余容积；放5颗玻璃球水溢出，说明5颗玻璃球总体积大于空余容积。设单颗玻璃球体积为未知数，列出不等式组求出体积范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
首先计算杯子的空余容积：$750-500=250\ \mathrm{cm}^3$。
设一颗玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}4x ＜ 250 \\5x ＞ 250 \end{cases}$
解第一个不等式得：$x ＜ 62.5$
解第二个不等式得：$x ＞ 50$
因此玻璃球的体积范围是$50\ \mathrm{cm}^3 ＜ x ＜ 62.5\ \mathrm{cm}^3$。
对照选项：A选项$70＞62.5$，不符合；B选项$65＞62.5$，不符合；C选项$55$在$50∼62.5$范围内，符合要求；D选项$50$为边界值，此时放5颗球总体积恰好等于空余容积，不会出现溢水现象，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
不等式的应用，体积计算
【点评】
本题结合实际操作场景出题，解题核心是从“水未满”“水溢出”两个现象中提取不等关系，求解时要注意边界值是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算杯子未装水的空余容积，再根据两次放玻璃球的现象提取不等关系：放4颗玻璃球水未满，说明4颗玻璃球总体积小于空余容积；放5颗玻璃球水溢出，说明5颗玻璃球总体积大于空余容积。设单颗玻璃球体积为未知数，列出不等式组求出体积范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
首先计算杯子的空余容积：$750-500=250\ \mathrm{cm}^3$。
设一颗玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}4x ＜ 250 \\5x ＞ 250 \end{cases}$
解第一个不等式得：$x ＜ 62.5$
解第二个不等式得：$x ＞ 50$
因此玻璃球的体积范围是$50\ \mathrm{cm}^3 ＜ x ＜ 62.5\ \mathrm{cm}^3$。
对照选项：A选项$70＞62.5$，不符合；B选项$65＞62.5$，不符合；C选项$55$在$50∼62.5$范围内，符合要求；D选项$50$为边界值，此时放5颗球总体积恰好等于空余容积，不会出现溢水现象，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
不等式的应用，体积计算
【点评】
本题结合实际操作场景出题，解题核心是从“水未满”“水溢出”两个现象中提取不等关系，求解时要注意边界值是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
9 若关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 0, \\ 2x - a ＞ 0\end{cases}$的解集是$x ＞ 1$，则a的取值范围是 ______ 。
答案
9.$a≤2$
解析
【分析】
解题时先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的不等式组解集确定规则，结合已知的解集$x＞1$推导$a$的取值范围，最后注意验证等号是否符合题意，避免漏写等号。第一步先解第一个不等式，第二步解第二个不等式，第三步对比两个解集的大小关系列不等式求解$a$的范围。
【解析】
1. 解不等式$x-1＞0$，移项可得：$x＞1$；
2. 解不等式$2x-a＞0$，移项得$2x＞a$，系数化为1可得：$x＞\frac{a}{2}$；
3. 已知该不等式组的解集为$x＞1$，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定原则，说明两个解集中较大的边界是1，因此$\frac{a}{2} ≤ 1$；
4. 不等式两边同时乘2，解得$a ≤ 2$。
（验证：当$a=2$时，第二个不等式的解集为$x＞1$，此时不等式组的解集仍为$x＞1$，符合题意，因此等号成立）
【答案】
$a≤ 2$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组解集的应用，核心是熟练掌握不等式组解集“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的判定规律，解题时需注意验证边界等号是否满足题意，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的不等式组解集确定规则，结合已知的解集$x＞1$推导$a$的取值范围，最后注意验证等号是否符合题意，避免漏写等号。第一步先解第一个不等式，第二步解第二个不等式，第三步对比两个解集的大小关系列不等式求解$a$的范围。
【解析】
1. 解不等式$x-1＞0$，移项可得：$x＞1$；
2. 解不等式$2x-a＞0$，移项得$2x＞a$，系数化为1可得：$x＞\frac{a}{2}$；
3. 已知该不等式组的解集为$x＞1$，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定原则，说明两个解集中较大的边界是1，因此$\frac{a}{2} ≤ 1$；
4. 不等式两边同时乘2，解得$a ≤ 2$。
（验证：当$a=2$时，第二个不等式的解集为$x＞1$，此时不等式组的解集仍为$x＞1$，符合题意，因此等号成立）
【答案】
$a≤ 2$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组解集的应用，核心是熟练掌握不等式组解集“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的判定规律，解题时需注意验证边界等号是否满足题意，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.7
10 如果关于x的不等式组$\begin{cases} 3x - a ＞ 0, \\ 2x - b ≤ 0 \end{cases}$的整数解仅有1,2,求适合这个不等式组的整数a,b组成的有序数对$(a,b)$。
答案
10. 解:解不等式$3x - a ＞ 0$,得$x ＞ \frac{a}{3}$,
解不等式$2x - b ≤ 0$,得$x ≤ \frac{b}{2}$,
∴ 不等式组的解集是 $\frac{a}{3} ＜ x ≤ \frac{b}{2}$.
∵ 关于x的不等式组$\begin{cases} 3x - a ＞ 0, \\ 2x - b ≤ 0 \end{cases}$的整数解仅有1,2,
∴ $0 ≤ \frac{a}{3} ＜ 1,2 ≤ \frac{b}{2} ＜ 3$,
解得 $0 ≤ a ＜ 3,4 ≤ b ＜ 6$.
∵ a,b均为整数,
∴ a的值是0,1,2,b的值是4,5,
∴ 适合这个不等式组的整数a,b组成的有序数对$(a,b)$共有6个,分别是$(0,4),(0,5),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)$.
解不等式$2x - b ≤ 0$,得$x ≤ \frac{b}{2}$,
∴ 不等式组的解集是 $\frac{a}{3} ＜ x ≤ \frac{b}{2}$.
∵ 关于x的不等式组$\begin{cases} 3x - a ＞ 0, \\ 2x - b ≤ 0 \end{cases}$的整数解仅有1,2,
∴ $0 ≤ \frac{a}{3} ＜ 1,2 ≤ \frac{b}{2} ＜ 3$,
解得 $0 ≤ a ＜ 3,4 ≤ b ＜ 6$.
∵ a,b均为整数,
∴ a的值是0,1,2,b的值是4,5,
∴ 适合这个不等式组的整数a,b组成的有序数对$(a,b)$共有6个,分别是$(0,4),(0,5),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)$.
解析
【分析】
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，合并得到不等式组的解集；再结合整数解仅有1、2的限制条件，确定解集边界的取值范围，此处要重点验证端点值能否取到，避免出错；接着解出参数a、b的取值范围，筛选出范围内的整数，最后两两组合得到所有符合要求的有序数对即可。
【解析】
解：解不等式$3x - a ＞ 0$，移项得$3x＞a$，系数化为1得$x ＞ \frac{a}{3}$，
解不等式$2x - b ≤ 0$，移项得$2x≤b$，系数化为1得$x ≤ \frac{b}{2}$，
∴ 不等式组的解集是 $\frac{a}{3} ＜ x ≤ \frac{b}{2}$。
∵ 关于x的不等式组的整数解仅有1,2，
∴ 可得$\begin{cases}0 ≤ \frac{a}{3} ＜ 1 \\ 2 ≤ \frac{b}{2} ＜ 3\end{cases}$，
分别解两个不等式：
第一个不等式两边同乘3得$0 ≤ a ＜ 3$，
第二个不等式两边同乘2得$4 ≤ b ＜ 6$。
∵ a,b均为整数，
∴ a的可取整数值为0、1、2，b的可取整数值为4、5，
将a、b的取值组合，得到有序数对$(a,b)$。
【答案】
适合这个不等式组的整数a,b组成的有序数对共有6个，分别是$(0,4),(0,5),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组的解集
3. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，核心考查根据整数解反推参数取值范围，解题的关键是准确判断解集边界的端点值是否可取，避免因端点判断错误导致多解或漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，合并得到不等式组的解集；再结合整数解仅有1、2的限制条件，确定解集边界的取值范围，此处要重点验证端点值能否取到，避免出错；接着解出参数a、b的取值范围，筛选出范围内的整数，最后两两组合得到所有符合要求的有序数对即可。
【解析】
解：解不等式$3x - a ＞ 0$，移项得$3x＞a$，系数化为1得$x ＞ \frac{a}{3}$，
解不等式$2x - b ≤ 0$，移项得$2x≤b$，系数化为1得$x ≤ \frac{b}{2}$，
∴ 不等式组的解集是 $\frac{a}{3} ＜ x ≤ \frac{b}{2}$。
∵ 关于x的不等式组的整数解仅有1,2，
∴ 可得$\begin{cases}0 ≤ \frac{a}{3} ＜ 1 \\ 2 ≤ \frac{b}{2} ＜ 3\end{cases}$，
分别解两个不等式：
第一个不等式两边同乘3得$0 ≤ a ＜ 3$，
第二个不等式两边同乘2得$4 ≤ b ＜ 6$。
∵ a,b均为整数，
∴ a的可取整数值为0、1、2，b的可取整数值为4、5，
将a、b的取值组合，得到有序数对$(a,b)$。
【答案】
适合这个不等式组的整数a,b组成的有序数对共有6个，分别是$(0,4),(0,5),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组的解集
3. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，核心考查根据整数解反推参数取值范围，解题的关键是准确判断解集边界的端点值是否可取，避免因端点判断错误导致多解或漏解。
【难度系数】
0.6
