15. 作出函数 $y=\frac{1}{2}x - 3$ 的图象,并回答下面的问题:
(1)$x$ 的值增加时,$y$ 的值如何变化?
(2)分别计算当 $x$ 取何值时,$y＞0;y=0;y＜0$.
(3)当 $x$ 取何值时,$-4 ＜ y ≤ 3$?
(4)当 $-2 ≤ x ＜ 4$ 时,求 $y$ 的取值范围.

解:列表如下:

作图象如图所示.
(1) $\because k=\frac{1}{2}＞0$,$\therefore x$的值增加时,$y$的值也随着增加.
(2) 由$\frac{1}{2}x-3＞0$,得$x＞6$时,$y＞0$;由$\frac{1}{2}x-3=0$,得$x=6$时,$y=0$;由$\frac{1}{2}x-3＜0$,得$x＜6$时,$y＜0$.
(3) 由$-4＜y ≤ 3$,有$-4＜\frac{1}{2}x-3 ≤ 3$.$\therefore -8＜x-6 ≤ 6$.$\therefore -2＜x ≤ 12$时,$-4＜y ≤ 3$.
(4) 由$-2 ≤ x ＜4$,得$-1 ≤ \frac{1}{2}x ＜2$,$\therefore -4 ≤ \frac{1}{2}x-3 ＜-1$,即$-4 ≤ y ＜-1$.$\therefore -2 ≤ x ＜4$时,$-4 ≤ y ＜-1$.

【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数的相关知识：一次函数的图象是直线，只需找到2个满足解析式的点（通常选与坐标轴的交点），描点连线即可画出图象。逐问思考思路：(1)一次函数的增减性由一次项系数k决定，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，直接观察k值就能判断；(2)要判断y与0的大小关系，只需将y替换为函数表达式，解对应的一元一次方程或不等式即可；(3)已知y的取值范围求x的范围，将y替换为含x的表达式，得到关于x的不等式组，解不等式组即可；(4)已知x的取值范围求y的范围，利用不等式的性质，对x的范围依次乘$\frac{1}{2}$、减3，就能得到y的范围，注意乘正数时不等号方向不变。
【解析】
1. 画函数图象：
先列表取点，取x=0，得y=-3；取y=0，得x=6，得到两个交点坐标。描出点(0,-3)和(6,0)，过两点画直线，即为$y=\frac{1}{2}x-3$的图象。
2. 解答各小问：
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x-3$中，一次项系数$k=\frac{1}{2}＞0$，因此x的值增加时，y的值也随着增加。
(2) 分别列方程、不等式求解：
当$y＞0$时，$\frac{1}{2}x-3＞0$，解得$x＞6$；
当$y=0$时，$\frac{1}{2}x-3=0$，解得$x=6$；
当$y＜0$时，$\frac{1}{2}x-3＜0$，解得$x＜6$。
(3) 当$-4＜y≤3$时，代入解析式得：
$-4＜\frac{1}{2}x-3≤3$
不等式各部分同时加3，得$-1＜\frac{1}{2}x≤6$
各部分同时乘2，得$-2＜x≤12$。
(4) 当$-2≤x＜4$时，利用不等式性质变形：
各部分同时乘$\frac{1}{2}$，得$-1≤\frac{1}{2}x＜2$
各部分同时减3，得$-4≤\frac{1}{2}x-3＜-1$，即$-4≤y＜-1$。
【答案】
解:列表如下:

作图象如图所示.
(1) $\because k=\frac{1}{2}＞0$,$\therefore x$的值增加时,$y$的值也随着增加.
(2) 由$\frac{1}{2}x-3＞0$,得$x＞6$时,$y＞0$;由$\frac{1}{2}x-3=0$,得$x=6$时,$y=0$;由$\frac{1}{2}x-3＜0$,得$x＜6$时,$y＜0$.
(3) 由$-4＜y ≤ 3$,有$-4＜\frac{1}{2}x-3 ≤ 3$.$\therefore -8＜x-6 ≤ 6$.$\therefore -2＜x ≤ 12$时,$-4＜y ≤ 3$.
(4) 由$-2 ≤ x ＜4$,得$-1 ≤ \frac{1}{2}x ＜2$,$\therefore -4 ≤ \frac{1}{2}x-3 ＜-1$,即$-4 ≤ y ＜-1$.$\therefore -2 ≤ x ＜4$时,$-4 ≤ y ＜-1$.
【知识点】
一次函数的性质，解一元一次不等式，一次函数图象绘制
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，考查了一次函数图象的画法、增减性判断，以及自变量和函数值范围的互相转化，要求熟练掌握一次函数的性质和不等式的变形规则，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7