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16.如图所示,已知$△ ABC$是等边三角形,点$D,F$分别在线段$BC,AB$上,$∠ EFB=60°$,$DC=EF$.
(1)求证:四边形$EFCD$是平行四边形;
(2)若$BF=EF$,求证:$AE=AD$.
(1)求证:四边形$EFCD$是平行四边形;
(2)若$BF=EF$,求证:$AE=AD$.
答案
证明:(1)$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ABC=60°$.又$\because ∠ EFB=60°$,$\therefore ∠ ABC=∠ EFB$,$\therefore EF // BC$(即$EF // DC$).又$\because DC=EF$,$\therefore$四边形$EFCD$是平行四边形.
(2) 连接$BE$. $\because BF=EF$,$∠ EFB=60°$,$\therefore △ BFE$是等边三角形,$\therefore BE=EF$,$∠ ABE=60°$.$\because DC=EF$,$\therefore BE=DC$.
又$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ACD=60°$,$AB=AC$,$\therefore ∠ ABE=∠ ACD$,$\therefore △ ABE ≌ △ ACD$,$\therefore AE=AD$.
(2) 连接$BE$. $\because BF=EF$,$∠ EFB=60°$,$\therefore △ BFE$是等边三角形,$\therefore BE=EF$,$∠ ABE=60°$.$\because DC=EF$,$\therefore BE=DC$.
又$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ACD=60°$,$AB=AC$,$\therefore ∠ ABE=∠ ACD$,$\therefore △ ABE ≌ △ ACD$,$\therefore AE=AD$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形EFCD是平行四边形，首先回忆平行四边形的判定定理，题目已经给出一组对边DC=EF，因此只需证明这组对边互相平行即可。结合等边三角形内角为60°的性质，以及已知∠EFB=60°，可通过同位角相等推出EF//BC，也就是EF//DC，刚好满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定条件。
(2) 要证明AE=AD，通常可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。首先观察两条边所属的三角形：AE在△ABE中，AD在△ACD中，因此只需证明△ABE≌△ACD即可。首先由BF=EF、∠EFB=60°可判定△EFB是等边三角形，得到BE=EF，结合已知DC=EF可推出BE=DC；再利用等边△ABC的边相等、内角为60°的性质，即可得到△ABE和△ACD全等的SAS条件，进而推出对应边AE=AD。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，
又
∵ ∠EFB=60°，
∴ ∠ABC=∠EFB，
∴ EF//BC（同位角相等，两直线平行），即EF//DC，
又
∵ DC=EF，
∴ 四边形EFCD是平行四边形。
(2) 证明：
连接BE，
∵ BF=EF，∠EFB=60°，
∴ △BFE是等边三角形，
∴ BE=EF，∠ABE=60°，
∵ DC=EF，
∴ BE=DC，
又
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠ACD=60°，
∴ ∠ABE=∠ACD，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ABE=∠ACD \\BE=DC\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD$（SAS），
∴ AE=AD。
【答案】
(1) 四边形EFCD是平行四边形，得证；
(2) AE=AD，得证。
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 等边三角形的性质与判定
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察基础几何定理的应用，解题的关键是充分利用已知的60°角，依次推导平行关系、等边三角形和全等三角形，逻辑链条清晰，只要熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形EFCD是平行四边形，首先回忆平行四边形的判定定理，题目已经给出一组对边DC=EF，因此只需证明这组对边互相平行即可。结合等边三角形内角为60°的性质，以及已知∠EFB=60°，可通过同位角相等推出EF//BC，也就是EF//DC，刚好满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定条件。
(2) 要证明AE=AD，通常可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。首先观察两条边所属的三角形：AE在△ABE中，AD在△ACD中，因此只需证明△ABE≌△ACD即可。首先由BF=EF、∠EFB=60°可判定△EFB是等边三角形，得到BE=EF，结合已知DC=EF可推出BE=DC；再利用等边△ABC的边相等、内角为60°的性质，即可得到△ABE和△ACD全等的SAS条件，进而推出对应边AE=AD。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，
又
∵ ∠EFB=60°，
∴ ∠ABC=∠EFB，
∴ EF//BC（同位角相等，两直线平行），即EF//DC，
又
∵ DC=EF，
∴ 四边形EFCD是平行四边形。
(2) 证明：
连接BE，
∵ BF=EF，∠EFB=60°，
∴ △BFE是等边三角形，
∴ BE=EF，∠ABE=60°，
∵ DC=EF，
∴ BE=DC，
又
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠ACD=60°，
∴ ∠ABE=∠ACD，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ABE=∠ACD \\BE=DC\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD$（SAS），
∴ AE=AD。
【答案】
(1) 四边形EFCD是平行四边形，得证；
(2) AE=AD，得证。
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 等边三角形的性质与判定
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察基础几何定理的应用，解题的关键是充分利用已知的60°角，依次推导平行关系、等边三角形和全等三角形，逻辑链条清晰，只要熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
17. 如图所示，$△ ABC$中，点$O$是$AC$边上的一个动点，过点$O$作直线$MN // BC$，设$MN$交$∠ BCA$的平分线于点$E$，交$∠ BCA$的外角平分线于点$F$.
(1) 试说明:$EO = FO$；
(2) 当点$O$运动到何处时，四边形$AECF$是矩形？并说明理由.
(1) 试说明:$EO = FO$；
(2) 当点$O$运动到何处时，四边形$AECF$是矩形？并说明理由.
答案
解:(1)$\because MN // BC$,$\therefore ∠ OEC=∠ BCE$.
又$\because ∠ OCE=∠ BCE$,$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$,$\therefore OE=OC$.同理可得$OF=OC$,$\therefore EO=FO$.
(2)$\because CE$,$CF$分别是$∠ BCA$的内、外角平分线,$\therefore ∠ OCE+∠ OCF=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$,即$∠ ECF=90°$,$\therefore$还需四边形$AECF$是平行四边形.又$\because OE=OF$,$\therefore$当点$O$运动到$AC$中点时,$OA=OC$,四边形$AECF$是矩形.
又$\because ∠ OCE=∠ BCE$,$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$,$\therefore OE=OC$.同理可得$OF=OC$,$\therefore EO=FO$.
(2)$\because CE$,$CF$分别是$∠ BCA$的内、外角平分线,$\therefore ∠ OCE+∠ OCF=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=\frac{1}{2} × 180°=90°$,即$∠ ECF=90°$,$\therefore$还需四边形$AECF$是平行四边形.又$\because OE=OF$,$\therefore$当点$O$运动到$AC$中点时,$OA=OC$,四边形$AECF$是矩形.
解析
【分析】
(1) 要证EO=FO，可通过OC作为中间量推导：首先利用平行线的内错角相等的性质，结合角平分线的定义等量代换，可得△OEC和△OFC均为等腰三角形，从而得到EO=OC、FO=OC，即可证得EO=FO。
(2) 首先根据内角、外角平分线的性质可推出∠ECF=90°，结合矩形“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理，只需让四边形AECF为平行四边形即可；已知EO=FO，根据平行四边形对角线互相平分的性质，只需满足OA=OC，即点O为AC中点即可。
【解析】
(1) 证明：$\because MN // BC$，$\therefore ∠ OEC = ∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because CE$平分$∠ BCA$，$\therefore ∠ OCE = ∠ BCE$，
$\therefore ∠ OEC = ∠ OCE$，$\therefore OE = OC$。
同理，$CF$平分$∠ ACD$，$\therefore ∠ OCF = ∠ DCF$，
$\because MN // BC$，$\therefore ∠ OFC = ∠ DCF$，$\therefore ∠ OFC = ∠ OCF$，
$\therefore OF = OC$，
$\therefore EO = FO$。
(2) 当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形，理由如下：
$\because CE$是$∠ BCA$的内角平分线，$CF$是$∠ BCA$的外角平分线，
$\therefore ∠ OCE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ OCF = \frac{1}{2}∠ ACD$，
$\because ∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，
$\therefore ∠ OCE + ∠ OCF = \frac{1}{2}(∠ ACB + ∠ ACD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，即$∠ ECF = 90°$。
由(1)得$EO = FO$，当$O$为$AC$中点时，$OA = OC$，
$\therefore$四边形$AECF$对角线互相平分，是平行四边形，
又$\because ∠ ECF = 90°$，$\therefore$平行四边形$AECF$是矩形。
【答案】
(1) $EO=FO$，证明成立；
(2) 当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定
【点评】
本题是几何动点和特殊四边形判定结合的典型题型，解题时先通过角平分线和平行线性质推导等腰三角形得到线段相等关系，再结合矩形判定条件分析动点位置，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证EO=FO，可通过OC作为中间量推导：首先利用平行线的内错角相等的性质，结合角平分线的定义等量代换，可得△OEC和△OFC均为等腰三角形，从而得到EO=OC、FO=OC，即可证得EO=FO。
(2) 首先根据内角、外角平分线的性质可推出∠ECF=90°，结合矩形“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理，只需让四边形AECF为平行四边形即可；已知EO=FO，根据平行四边形对角线互相平分的性质，只需满足OA=OC，即点O为AC中点即可。
【解析】
(1) 证明：$\because MN // BC$，$\therefore ∠ OEC = ∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because CE$平分$∠ BCA$，$\therefore ∠ OCE = ∠ BCE$，
$\therefore ∠ OEC = ∠ OCE$，$\therefore OE = OC$。
同理，$CF$平分$∠ ACD$，$\therefore ∠ OCF = ∠ DCF$，
$\because MN // BC$，$\therefore ∠ OFC = ∠ DCF$，$\therefore ∠ OFC = ∠ OCF$，
$\therefore OF = OC$，
$\therefore EO = FO$。
(2) 当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形，理由如下：
$\because CE$是$∠ BCA$的内角平分线，$CF$是$∠ BCA$的外角平分线，
$\therefore ∠ OCE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ OCF = \frac{1}{2}∠ ACD$，
$\because ∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，
$\therefore ∠ OCE + ∠ OCF = \frac{1}{2}(∠ ACB + ∠ ACD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，即$∠ ECF = 90°$。
由(1)得$EO = FO$，当$O$为$AC$中点时，$OA = OC$，
$\therefore$四边形$AECF$对角线互相平分，是平行四边形，
又$\because ∠ ECF = 90°$，$\therefore$平行四边形$AECF$是矩形。
【答案】
(1) $EO=FO$，证明成立；
(2) 当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定
【点评】
本题是几何动点和特殊四边形判定结合的典型题型，解题时先通过角平分线和平行线性质推导等腰三角形得到线段相等关系，再结合矩形判定条件分析动点位置，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
