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①下列说法中，错误的是 （
A.不等式 $x＜2$ 的正整数解有一个
B.$-2$ 是不等式 $2x - 1 ＜ 0$ 的一个解
C.$a$ 不是负数，则 $a ＞ 0$
D.不等式 $x ＜ 10$ 的整数解有无数多个
C
）A.不等式 $x＜2$ 的正整数解有一个
B.$-2$ 是不等式 $2x - 1 ＜ 0$ 的一个解
C.$a$ 不是负数，则 $a ＞ 0$
D.不等式 $x ＜ 10$ 的整数解有无数多个
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查不等式的解、整数解、正整数解的概念以及非负数的定义，解题时需逐个分析每个选项，结合相关概念判断说法是否正确，最终选出错误的选项。首先明确核心概念：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；正整数解是解集中的正整数，整数解是解集中的整数；非负数指大于等于0的数，包含0和正数两类，再逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：不等式$x＜2$的正整数解只有1这1个，说法正确，不符合题意；
B选项：将$x=-2$代入不等式$2x-1＜0$，左边$=2×(-2)-1=-5$，$-5＜0$，不等式成立，故$-2$是该不等式的一个解，说法正确，不符合题意；
C选项：$a$不是负数，说明$a≥0$（包含$a=0$和$a＞0$两种情况），选项中仅写$a＞0$，遗漏了$a=0$的情况，说法错误，符合题意；
D选项：不等式$x＜10$的整数解包括9、8、7……以及所有负整数，有无数多个，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的解；非负数的定义；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略非负数包含0的情况，只要熟练掌握不等式解的相关概念和非负数的定义，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查不等式的解、整数解、正整数解的概念以及非负数的定义，解题时需逐个分析每个选项，结合相关概念判断说法是否正确，最终选出错误的选项。首先明确核心概念：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；正整数解是解集中的正整数，整数解是解集中的整数；非负数指大于等于0的数，包含0和正数两类，再逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：不等式$x＜2$的正整数解只有1这1个，说法正确，不符合题意；
B选项：将$x=-2$代入不等式$2x-1＜0$，左边$=2×(-2)-1=-5$，$-5＜0$，不等式成立，故$-2$是该不等式的一个解，说法正确，不符合题意；
C选项：$a$不是负数，说明$a≥0$（包含$a=0$和$a＞0$两种情况），选项中仅写$a＞0$，遗漏了$a=0$的情况，说法错误，符合题意；
D选项：不等式$x＜10$的整数解包括9、8、7……以及所有负整数，有无数多个，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的解；非负数的定义；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略非负数包含0的情况，只要熟练掌握不等式解的相关概念和非负数的定义，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
②若$x＞y$，则下列不等式中，错误的是（
A.$x-3＞y-3$
B.$x+3＞y+3$
C.$-3x＞-3y$
D.$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$
C
）A.$x-3＞y-3$
B.$x+3＞y+3$
C.$-3x＞-3y$
D.$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
解这道题的核心是运用不等式的基本性质对选项逐一判断。首先回忆不等式的三条基本性质：1. 不等式两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向必须改变。我们对照这三条性质逐一验证四个选项，就能找出错误的不等式。
【解析】
已知$x＞y$，逐一分析选项：
A. 不等式两边同时减3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x-3＞y-3$，该选项正确，不符合题意；
B. 不等式两边同时加3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x+3＞y+3$，该选项正确，不符合题意；
C. 不等式两边同时乘$-3$，$-3$是负数，根据不等式性质3，不等号方向要改变，可得$-3x ＜ -3y$，与选项中的$-3x ＞ -3y$不符，该选项错误，符合题意；
D. 不等式两边同时除以3，3是正数，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$，该选项正确，不符合题意。
综上，错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题主要考查不等式基本性质的应用，属于基础题型，需要特别注意的是，当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是运用不等式的基本性质对选项逐一判断。首先回忆不等式的三条基本性质：1. 不等式两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向必须改变。我们对照这三条性质逐一验证四个选项，就能找出错误的不等式。
【解析】
已知$x＞y$，逐一分析选项：
A. 不等式两边同时减3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x-3＞y-3$，该选项正确，不符合题意；
B. 不等式两边同时加3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x+3＞y+3$，该选项正确，不符合题意；
C. 不等式两边同时乘$-3$，$-3$是负数，根据不等式性质3，不等号方向要改变，可得$-3x ＜ -3y$，与选项中的$-3x ＞ -3y$不符，该选项错误，符合题意；
D. 不等式两边同时除以3，3是正数，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$，该选项正确，不符合题意。
综上，错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题主要考查不等式基本性质的应用，属于基础题型，需要特别注意的是，当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
③不等式组$\begin{cases}x+1＞0 \\ \dfrac{3x+1}{2}≥2x-1\end{cases}$的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
答案
3.B
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步分别解出不等式组中两个不等式的解集，解带分母的不等式时要注意去分母的步骤和不等号方向的变化规则；第二步找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，含等号用实心圆点、不含等号用空心圆圈）匹配正确的选项。
【解析】
解：分别求解不等式组内的两个不等式：
1. 解不等式$x+1＞0$：
移项可得：$x＞-1$。
2. 解不等式$\dfrac{3x+1}{2}≥2x-1$：
不等式两边同时乘2（正数乘除不等号方向不变），得$3x+1≥4x-2$，
移项合并同类项，得$-x≥-3$，
系数化为1（两边同时乘-1，不等号方向改变），得$x≤3$。
因此不等式组的解集为$\boldsymbol{-1＜x≤3}$。
对应数轴表示：在-1处画空心圆圈向右延伸，在3处画实心圆点向左延伸，中间重叠部分即为解集，符合该特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法；解集的数轴表示；不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，解题核心是准确求解每个不等式的解集，注意系数为负时不等号方向要改变，同时数轴表示时要正确区分实心圆点和空心圆圈的用法。
【难度系数】
0.8
解决本题需分三步思考：第一步分别解出不等式组中两个不等式的解集，解带分母的不等式时要注意去分母的步骤和不等号方向的变化规则；第二步找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，含等号用实心圆点、不含等号用空心圆圈）匹配正确的选项。
【解析】
解：分别求解不等式组内的两个不等式：
1. 解不等式$x+1＞0$：
移项可得：$x＞-1$。
2. 解不等式$\dfrac{3x+1}{2}≥2x-1$：
不等式两边同时乘2（正数乘除不等号方向不变），得$3x+1≥4x-2$，
移项合并同类项，得$-x≥-3$，
系数化为1（两边同时乘-1，不等号方向改变），得$x≤3$。
因此不等式组的解集为$\boldsymbol{-1＜x≤3}$。
对应数轴表示：在-1处画空心圆圈向右延伸，在3处画实心圆点向左延伸，中间重叠部分即为解集，符合该特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法；解集的数轴表示；不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，解题核心是准确求解每个不等式的解集，注意系数为负时不等号方向要改变，同时数轴表示时要正确区分实心圆点和空心圆圈的用法。
【难度系数】
0.8
④已知关于x的不等式$3x - m + 1 ≥ 0$的最小整数解为2，则m的取值范围是（
A.$4 ≤ m ＜ 7$
B.4
C.$4 ≤ m ≤ 7$
D.$4 ＜ m ≤ 7$
D
）A.$4 ≤ m ＜ 7$
B.4
C.$4 ≤ m ≤ 7$
D.$4 ＜ m ≤ 7$
答案
4.D
解析
【分析】
首先先解关于x的一元一次不等式，用含m的代数式表示出x的解集；再结合“最小整数解为2”这一条件分析：一是整数2属于解集，二是比2小的整数1不属于解集，据此列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
先解不等式$3x - m + 1 ≥ 0$：
移项，得$3x ≥ m - 1$，
系数化为1，得$x ≥ \frac{m-1}{3}$。
因为不等式的最小整数解为2，所以：
① 整数1不是不等式的解，即$\frac{m-1}{3} ＞ 1$，
解这个不等式：两边同乘3得$m - 1 ＞ 3$，解得$m ＞ 4$；
② 整数2是不等式的解，即$\frac{m-1}{3} ≤ 2$，
解这个不等式：两边同乘3得$m - 1 ≤ 6$，解得$m ≤ 7$。
综上，m的取值范围是$4 ＜ m ≤ 7$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式；根据不等式整数解求参数范围
【点评】
本题的易错点是端点值的取舍，解题时要准确理解最小整数解的含义，可通过代入端点值验证是否符合题意，避免因多取或者漏取端点导致出错。
【难度系数】
0.6
首先先解关于x的一元一次不等式，用含m的代数式表示出x的解集；再结合“最小整数解为2”这一条件分析：一是整数2属于解集，二是比2小的整数1不属于解集，据此列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
先解不等式$3x - m + 1 ≥ 0$：
移项，得$3x ≥ m - 1$，
系数化为1，得$x ≥ \frac{m-1}{3}$。
因为不等式的最小整数解为2，所以：
① 整数1不是不等式的解，即$\frac{m-1}{3} ＞ 1$，
解这个不等式：两边同乘3得$m - 1 ＞ 3$，解得$m ＞ 4$；
② 整数2是不等式的解，即$\frac{m-1}{3} ≤ 2$，
解这个不等式：两边同乘3得$m - 1 ≤ 6$，解得$m ≤ 7$。
综上，m的取值范围是$4 ＜ m ≤ 7$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式；根据不等式整数解求参数范围
【点评】
本题的易错点是端点值的取舍，解题时要准确理解最小整数解的含义，可通过代入端点值验证是否符合题意，避免因多取或者漏取端点导致出错。
【难度系数】
0.6
⑤已知$\begin{cases}x+2y=4k \\ 2x+y=2k+1\end{cases}$的解满足$y-x＜1$，则$k$的取值范围是（ ）
A.$k＞0$
B.$k＜0$
C.$k＜1$
D.$k＜-\dfrac{1}{2}$
A.$k＞0$
B.$k＜0$
C.$k＜1$
D.$k＜-\dfrac{1}{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式结合的题目，不需要分别求出x、y的具体取值，观察所求的是y-x的取值范围，可以通过将两个方程作差，直接得到y-x关于k的代数式，再代入不等式求解即可，这种整体处理的方法能简化计算。如果没有想到整体法，也可以先用k表示出x、y的值，再计算y-x后代入不等式求解，两种方法都能得到结果。
【解析】
记$\begin{cases}x+2y=4k&① \\ 2x+y=2k+1&②\end{cases}$
用①$-$②，左边计算得：$(x+2y)-(2x+y)=y-x$
右边计算得：$4k-(2k+1)=2k-1$
因此可得$y-x=2k-1$
已知$y-x＜1$，代入得到不等式：
$2k-1＜1$
移项得$2k＜1+1$，即$2k＜2$
两边同时除以2，解得$k＜1$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，整体思想
【点评】
本题属于方程组与不等式的综合基础题，解题时灵活运用整体思想可以简化计算步骤，即便用常规解方程组的方法也能顺利求解，主要考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题是二元一次方程组与一元一次不等式结合的题目，不需要分别求出x、y的具体取值，观察所求的是y-x的取值范围，可以通过将两个方程作差，直接得到y-x关于k的代数式，再代入不等式求解即可，这种整体处理的方法能简化计算。如果没有想到整体法，也可以先用k表示出x、y的值，再计算y-x后代入不等式求解，两种方法都能得到结果。
【解析】
记$\begin{cases}x+2y=4k&① \\ 2x+y=2k+1&②\end{cases}$
用①$-$②，左边计算得：$(x+2y)-(2x+y)=y-x$
右边计算得：$4k-(2k+1)=2k-1$
因此可得$y-x=2k-1$
已知$y-x＜1$，代入得到不等式：
$2k-1＜1$
移项得$2k＜1+1$，即$2k＜2$
两边同时除以2，解得$k＜1$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，整体思想
【点评】
本题属于方程组与不等式的综合基础题，解题时灵活运用整体思想可以简化计算步骤，即便用常规解方程组的方法也能顺利求解，主要考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
⑥不等式组$\begin{cases}2x + 6 ＞ -x, \\ \dfrac{x + 1}{3} ≤ 1\end{cases}$的解集是 ______ .
答案
6.$-2＜x≤2$
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，需先分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。解每个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可，最后可结合数轴或解集口诀确定公共解集。
【解析】
先解不等式$2x + 6 ＞ -x$：
移项，得$2x + x ＞ -6$，
合并同类项，得$3x ＞ -6$，
系数化为1，得$x ＞ -2$。
再解不等式$\dfrac{x + 1}{3} ≤ 1$：
两边同乘3，得$x + 1 ≤ 3$，
移项、合并同类项，得$x ≤ 2$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集。
【答案】
$-2＜x≤2$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于解不等式组的基础题型，核心是掌握一元一次不等式的求解步骤，以及不等式组公共解集的判断方法，计算时注意不等号方向是否发生变化，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
要解一元一次不等式组，需先分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。解每个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可，最后可结合数轴或解集口诀确定公共解集。
【解析】
先解不等式$2x + 6 ＞ -x$：
移项，得$2x + x ＞ -6$，
合并同类项，得$3x ＞ -6$，
系数化为1，得$x ＞ -2$。
再解不等式$\dfrac{x + 1}{3} ≤ 1$：
两边同乘3，得$x + 1 ≤ 3$，
移项、合并同类项，得$x ≤ 2$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集。
【答案】
$-2＜x≤2$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于解不等式组的基础题型，核心是掌握一元一次不等式的求解步骤，以及不等式组公共解集的判断方法，计算时注意不等号方向是否发生变化，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
7 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}5 - 3x ≥ -1, \\ a - x ＜ 0\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
7.$a≥2$
解析
【分析】
要解决含参数的一元一次不等式组无解的问题，解题思路分三步：第一步先分别求解两个不等式的解集；第二步明确“不等式组无解”的含义是两个解集没有公共部分；第三步结合解集的范围判断参数的取值边界，还要特别验证端点值是否满足无解的条件，避免漏写等号。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$5 - 3x ≥ -1$：
移项得：$-3x ≥ -1 - 5$，
合并同类项得：$-3x ≥ -6$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≤ 2$。
2. 解不等式$a - x ＜ 0$：
移项得：$-x ＜ -a$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ a$。
已知不等式组无解，说明两个解集$x ≤ 2$和$x ＞ a$没有公共部分：
若$a ＜ 2$，则解集为$a ＜ x ≤ 2$，不等式组有解，不符合要求；
若$a ≥ 2$，两个解集没有重叠，不等式组无解，符合要求。
综上，$a$的取值范围是$a ≥ 2$。
【答案】
$a≥2$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集判定
【点评】
本题是含参数的不等式组常见题型，易错点是容易遗漏端点$a=2$的情况，解题时可结合数轴直观判断两个解集的重叠情况，验证端点是否符合题意，能有效避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决含参数的一元一次不等式组无解的问题，解题思路分三步：第一步先分别求解两个不等式的解集；第二步明确“不等式组无解”的含义是两个解集没有公共部分；第三步结合解集的范围判断参数的取值边界，还要特别验证端点值是否满足无解的条件，避免漏写等号。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$5 - 3x ≥ -1$：
移项得：$-3x ≥ -1 - 5$，
合并同类项得：$-3x ≥ -6$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≤ 2$。
2. 解不等式$a - x ＜ 0$：
移项得：$-x ＜ -a$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ a$。
已知不等式组无解，说明两个解集$x ≤ 2$和$x ＞ a$没有公共部分：
若$a ＜ 2$，则解集为$a ＜ x ≤ 2$，不等式组有解，不符合要求；
若$a ≥ 2$，两个解集没有重叠，不等式组无解，符合要求。
综上，$a$的取值范围是$a ≥ 2$。
【答案】
$a≥2$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集判定
【点评】
本题是含参数的不等式组常见题型，易错点是容易遗漏端点$a=2$的情况，解题时可结合数轴直观判断两个解集的重叠情况，验证端点是否符合题意，能有效避免出错。
【难度系数】
0.7
