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判断下列说法是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
1. 分解因式：$-4x^2 -9 = -(2x+3)(2x-3)$. （
2. 分解因式：$-x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$. （
3. 分解因式：$4a^2 -4a +1 =4a(a-1)+1$. （
4. $x^2 +x +\frac{1}{4}$不能分解因式. （
5. 在分解因式时，各项有公因式应先提取公因式，再进一步分解. （
1. 分解因式：$-4x^2 -9 = -(2x+3)(2x-3)$. （
×
）2. 分解因式：$-x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$. （
×
）3. 分解因式：$4a^2 -4a +1 =4a(a-1)+1$. （
×
）4. $x^2 +x +\frac{1}{4}$不能分解因式. （
×
）5. 在分解因式时，各项有公因式应先提取公因式，再进一步分解. （
√
）答案
1.× 2.× 3.× 4.× 5.√
解析
【分析】
要判断这5个说法的正误，首先要明确两个核心要点：一是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式；二是因式分解的常用方法和公式，包括平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，且分解时遵循先提公因式再进一步分解的原则。我们逐个分析：
1. 第1题左边提取负号后是$-(4x^2+9)$，是平方和，无法用平方差公式，展开右边对比即可判断正误；
2. 第2题左边可整理为$y^2-x^2$，符合平方差特征，展开给出的右边式子和左边对比即可判断；
3. 第3题看右边的形式是否为整式乘积，判断是否符合因式分解定义；
4. 第4题观察多项式是否符合完全平方公式的特征，验证能否分解；
5. 第5题对应因式分解的基本步骤，直接结合规则判断即可。
【解析】
1. 展开右边式子：$-(2x+3)(2x-3)=-(4x^2-9)=-4x^2+9$，与左边$-4x^2-9$不相等，且$-4x^2-9$无法分解为$(2x+3)(2x-3)$的形式，故说法错误。
2. 左边$-x^2+y^2=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$，展开给出的右边式子：$(-x+y)(-x-y)=(-x)^2-y^2=x^2-y^2$，与左边不相等，故说法错误。
3. 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，本题右边$4a(a-1)+1$是乘积加常数的和的形式，不符合因式分解的定义，故说法错误。
4. 多项式$x^2+x+\frac{1}{4}$符合完全平方公式特征：$x^2+2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x+\frac{1}{2})^2$，可以分解因式，故说法错误。
5. 分解因式的基本规则就是先提取各项的公因式，再对剩下的多项式进一步分解，能避免分解不彻底的问题，故说法正确。
【答案】
1.× 2.× 3.× 4.× 5.√
【知识点】
因式分解的定义，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本组题目属于因式分解的基础考查题，易错点在于混淆平方差公式的符号、忽略因式分解结果必须是整式乘积的要求，以及对完全平方公式的特征记忆不牢，学习时要牢记公式特征和因式分解的基本原则，多做对比练习减少失误。
【难度系数】
0.75
要判断这5个说法的正误，首先要明确两个核心要点：一是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式；二是因式分解的常用方法和公式，包括平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，且分解时遵循先提公因式再进一步分解的原则。我们逐个分析：
1. 第1题左边提取负号后是$-(4x^2+9)$，是平方和，无法用平方差公式，展开右边对比即可判断正误；
2. 第2题左边可整理为$y^2-x^2$，符合平方差特征，展开给出的右边式子和左边对比即可判断；
3. 第3题看右边的形式是否为整式乘积，判断是否符合因式分解定义；
4. 第4题观察多项式是否符合完全平方公式的特征，验证能否分解；
5. 第5题对应因式分解的基本步骤，直接结合规则判断即可。
【解析】
1. 展开右边式子：$-(2x+3)(2x-3)=-(4x^2-9)=-4x^2+9$，与左边$-4x^2-9$不相等，且$-4x^2-9$无法分解为$(2x+3)(2x-3)$的形式，故说法错误。
2. 左边$-x^2+y^2=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$，展开给出的右边式子：$(-x+y)(-x-y)=(-x)^2-y^2=x^2-y^2$，与左边不相等，故说法错误。
3. 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，本题右边$4a(a-1)+1$是乘积加常数的和的形式，不符合因式分解的定义，故说法错误。
4. 多项式$x^2+x+\frac{1}{4}$符合完全平方公式特征：$x^2+2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x+\frac{1}{2})^2$，可以分解因式，故说法错误。
5. 分解因式的基本规则就是先提取各项的公因式，再对剩下的多项式进一步分解，能避免分解不彻底的问题，故说法正确。
【答案】
1.× 2.× 3.× 4.× 5.√
【知识点】
因式分解的定义，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本组题目属于因式分解的基础考查题，易错点在于混淆平方差公式的符号、忽略因式分解结果必须是整式乘积的要求，以及对完全平方公式的特征记忆不牢，学习时要牢记公式特征和因式分解的基本原则，多做对比练习减少失误。
【难度系数】
0.75
1. 将多项式“$4m^2 -?$”因式分解，结果为$(2m+3)(2m-3)$，则“?”是（
A.$3$
B.$-3$
C.$9$
D.$-9$
C
）A.$3$
B.$-3$
C.$9$
D.$-9$
答案
1.C
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解，解题思路如下：1. 回忆平方差公式的形式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2. 将已知的因式分解结果$(2m+3)(2m-3)$通过整式乘法展开；3. 将展开结果和原式$4m^2-?$作对比，即可求出“?”代表的数。
【解析】
根据整式乘法和因式分解是互逆运算，先将$(2m+3)(2m-3)$展开：
由平方差公式可得：
$(2m+3)(2m-3)=(2m)^2 - 3^2=4m^2 - 9$
已知多项式$4m^2 -?$因式分解的结果为$(2m+3)(2m-3)$，因此：
$4m^2 - ? = 4m^2 -9$
对比等式两边可得“?”为9。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题是基础题型，重点考查平方差公式的灵活应用，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，理解因式分解和整式乘法的互逆关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解，解题思路如下：1. 回忆平方差公式的形式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2. 将已知的因式分解结果$(2m+3)(2m-3)$通过整式乘法展开；3. 将展开结果和原式$4m^2-?$作对比，即可求出“?”代表的数。
【解析】
根据整式乘法和因式分解是互逆运算，先将$(2m+3)(2m-3)$展开：
由平方差公式可得：
$(2m+3)(2m-3)=(2m)^2 - 3^2=4m^2 - 9$
已知多项式$4m^2 -?$因式分解的结果为$(2m+3)(2m-3)$，因此：
$4m^2 - ? = 4m^2 -9$
对比等式两边可得“?”为9。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题是基础题型，重点考查平方差公式的灵活应用，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，理解因式分解和整式乘法的互逆关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 下列式子:①$-x^2 - xy - y^2$；②$0.5a^2 - ab + 0.5b^2$；③$-4ab - a^2 + 4b^2$；④$12x^2 +27y^2 -36xy$；⑤$3x^2 +6xy +3y^2$. 其中能用完全平方公式分解因式的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】
解题前先明确完全平方公式因式分解的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式可以分解为$(a\pm b)^2$，需满足三个条件：1. 式子为三项式；2. 存在两个符号相同的平方项；3. 第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时先观察每个式子是否有公因式，先提取公因式后再对照上述特征逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析5个式子：
1. 式子①$-x^2 - xy - y^2$：提取负号得$-(x^2+xy+y^2)$，中间项$xy$不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解。
2. 式子②$0.5a^2 - ab + 0.5b^2$：先提取公因式$0.5$，得$0.5(a^2-2ab+b^2)=0.5(a-b)^2$，符合完全平方公式结构，可以分解。
3. 式子③$-4ab - a^2 + 4b^2$：整理得$4b^2-a^2-4ab$，两个平方项$4b^2$和$-a^2$符号相反，不符合完全平方公式结构，不能分解。
4. 式子④$12x^2 +27y^2 -36xy$：先整理顺序为$12x^2-36xy+27y^2$，提取公因式3，得$3(4x^2-12xy+9y^2)=3(2x-3y)^2$，符合完全平方公式结构，可以分解。
5. 式子⑤$3x^2 +6xy +3y^2$：提取公因式3，得$3(x^2+2xy+y^2)=3(x+y)^2$，符合完全平方公式结构，可以分解。
综上，能用完全平方公式分解因式的是②④⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需注意先观察多项式是否存在公因式，优先提取公因式后再判断结构，避免因漏提公因式导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题前先明确完全平方公式因式分解的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式可以分解为$(a\pm b)^2$，需满足三个条件：1. 式子为三项式；2. 存在两个符号相同的平方项；3. 第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时先观察每个式子是否有公因式，先提取公因式后再对照上述特征逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析5个式子：
1. 式子①$-x^2 - xy - y^2$：提取负号得$-(x^2+xy+y^2)$，中间项$xy$不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解。
2. 式子②$0.5a^2 - ab + 0.5b^2$：先提取公因式$0.5$，得$0.5(a^2-2ab+b^2)=0.5(a-b)^2$，符合完全平方公式结构，可以分解。
3. 式子③$-4ab - a^2 + 4b^2$：整理得$4b^2-a^2-4ab$，两个平方项$4b^2$和$-a^2$符号相反，不符合完全平方公式结构，不能分解。
4. 式子④$12x^2 +27y^2 -36xy$：先整理顺序为$12x^2-36xy+27y^2$，提取公因式3，得$3(4x^2-12xy+9y^2)=3(2x-3y)^2$，符合完全平方公式结构，可以分解。
5. 式子⑤$3x^2 +6xy +3y^2$：提取公因式3，得$3(x^2+2xy+y^2)=3(x+y)^2$，符合完全平方公式结构，可以分解。
综上，能用完全平方公式分解因式的是②④⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需注意先观察多项式是否存在公因式，优先提取公因式后再判断结构，避免因漏提公因式导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 下列因式分解正确的是（
A.$2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1)$
B.$3x^2 + 3y^2 = 3(x + y)^2$
C.$ab^2 - 9a^3 = (b + 3a)(b - 3a)$
D.$4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$
D
）A.$2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1)$
B.$3x^2 + 3y^2 = 3(x + y)^2$
C.$ab^2 - 9a^3 = (b + 3a)(b - 3a)$
D.$4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查因式分解的正误判断，解题时需依据因式分解的要求（结果为整式乘积、分解彻底、左右两边恒等），逐个排查选项：首先看各选项是否提全公因式，再验证公式应用是否正确，最后确认是否分解到不能再分解即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. $2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1) = 2x(x+1)(x-1)$，原式仅提取公因式后未继续分解$x^2-1$，分解不彻底，故A错误；
B. $3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)$，而$3(x+y)^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2$，与原式不相等，属于公式误用，故B错误；
C. $ab^2 - 9a^3 = a(b^2 - 9a^2) = a(b+3a)(b-3a)$，原式漏提公因式$a$，故C错误；
D. $4a^2 + 4a + 1$符合完全平方公式的结构特征，展开$(2a+1)^2$得$4a^2 + 4a +1$，与原式相等，分解正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的判定；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是牢记因式分解的规范要求，区分平方差公式和完全平方公式的结构特点，避免出现漏提公因式、分解不彻底、公式误用等常见错误。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解的正误判断，解题时需依据因式分解的要求（结果为整式乘积、分解彻底、左右两边恒等），逐个排查选项：首先看各选项是否提全公因式，再验证公式应用是否正确，最后确认是否分解到不能再分解即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. $2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1) = 2x(x+1)(x-1)$，原式仅提取公因式后未继续分解$x^2-1$，分解不彻底，故A错误；
B. $3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)$，而$3(x+y)^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2$，与原式不相等，属于公式误用，故B错误；
C. $ab^2 - 9a^3 = a(b^2 - 9a^2) = a(b+3a)(b-3a)$，原式漏提公因式$a$，故C错误；
D. $4a^2 + 4a + 1$符合完全平方公式的结构特征，展开$(2a+1)^2$得$4a^2 + 4a +1$，与原式相等，分解正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的判定；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是牢记因式分解的规范要求，区分平方差公式和完全平方公式的结构特点，避免出现漏提公因式、分解不彻底、公式误用等常见错误。
【难度系数】
0.7
4.若$4x^2 -kx +1$能用完全平方公式分解因式，则$k=$（
A.$-4$
B.$4$
C.$-4$或$4$
D.$-8$或$8$
C
）A.$-4$
B.$4$
C.$-4$或$4$
D.$-8$或$8$
答案
4.C
解析
【分析】
解题的核心是掌握完全平方公式的两种结构特征：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，完全平方式的中间项符号可正可负，做题时要考虑两种情况避免漏解。首先先确定给定多项式中对应“首平方”和“尾平方”的项，再根据中间项为±2倍首尾乘积的特征，对应求出k的取值即可。
【解析】
解：根据完全平方公式的结构，完全平方式可表示为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$4x^2 -kx +1$是完全平方式，可得：
$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此原式可写成$(2x\pm1)^2$的形式：
1. 当原式为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式中间项$-kx$，可得$-k=4$，解得$k=-4$；
2. 当原式为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式中间项$-kx$，可得$-k=-4$，解得$k=4$。
综上，k的取值为-4或4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于基础易错题，主要考查完全平方公式的应用，易错点是只考虑单一的和或差的平方形式，导致漏解，做题时要注意分类讨论两种完全平方的结构。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握完全平方公式的两种结构特征：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，完全平方式的中间项符号可正可负，做题时要考虑两种情况避免漏解。首先先确定给定多项式中对应“首平方”和“尾平方”的项，再根据中间项为±2倍首尾乘积的特征，对应求出k的取值即可。
【解析】
解：根据完全平方公式的结构，完全平方式可表示为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$4x^2 -kx +1$是完全平方式，可得：
$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此原式可写成$(2x\pm1)^2$的形式：
1. 当原式为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式中间项$-kx$，可得$-k=4$，解得$k=-4$；
2. 当原式为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式中间项$-kx$，可得$-k=-4$，解得$k=4$。
综上，k的取值为-4或4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于基础易错题，主要考查完全平方公式的应用，易错点是只考虑单一的和或差的平方形式，导致漏解，做题时要注意分类讨论两种完全平方的结构。
【难度系数】
0.7
5. 已知多项式$4x^2-(y-z)^2$的一个因式为$2x-y+z$，则另一个因式是（
A.$2x-y-z$
B.$2x-y+z$
C.$2x+y+z$
D.$2x+y-z$
D
）A.$2x-y-z$
B.$2x-y+z$
C.$2x+y+z$
D.$2x+y-z$
答案
5.D
解析
【分析】
观察多项式的结构可发现，原式是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此可以用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对原式进行因式分解。先确定公式中对应的$a$和$b$，分解后对比已知的因式，就能得到另一个因式，解题时注意去括号的符号规则即可。
【解析】
根据平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
先将原式变形为平方差的标准形式：
$4x^2-(y-z)^2=(2x)^2-(y-z)^2$
令$a=2x$，$b=y-z$，代入公式得：
$(2x)^2-(y-z)^2=[2x+(y-z)][2x-(y-z)]$
分别化简两个因式：
$2x+(y-z)=2x+y-z$
$2x-(y-z)=2x-y+z$
已知其中一个因式为$2x-y+z$，因此另一个因式为$2x+y-z$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、因式分解、整式去括号
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差的结构特征，正确匹配公式中的对应项，去括号时注意符号变化即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
观察多项式的结构可发现，原式是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此可以用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对原式进行因式分解。先确定公式中对应的$a$和$b$，分解后对比已知的因式，就能得到另一个因式，解题时注意去括号的符号规则即可。
【解析】
根据平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
先将原式变形为平方差的标准形式：
$4x^2-(y-z)^2=(2x)^2-(y-z)^2$
令$a=2x$，$b=y-z$，代入公式得：
$(2x)^2-(y-z)^2=[2x+(y-z)][2x-(y-z)]$
分别化简两个因式：
$2x+(y-z)=2x+y-z$
$2x-(y-z)=2x-y+z$
已知其中一个因式为$2x-y+z$，因此另一个因式为$2x+y-z$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、因式分解、整式去括号
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差的结构特征，正确匹配公式中的对应项，去括号时注意符号变化即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 如果$x+y, x-y, x^2-y^2, 4, m+n, mn$分别对应6个字:课,程,数,我,爱,学,现将$4m(x^2-y^2)+4n(x^2-y^2)$因式分解,结果呈现的可能是 (
A.我爱课程
B.爱课程
C.课程数学
D.我爱数学
A
)A.我爱课程
B.爱课程
C.课程数学
D.我爱数学
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先对给定的代数式进行因式分解：第一步先观察代数式的结构，找到两项的公因式，提取公因式后，再利用平方差公式分解$x^2-y^2$，最后根据题目给出的代数式与文字的对应关系，将每个因式对应的文字组合起来，就能得到正确答案。
【解析】
解：对$4m(x^2-y^2)+4n(x^2-y^2)$因式分解：
1. 提取公因式$4(x^2-y^2)$，可得：
$4m(x^2-y^2)+4n(x^2-y^2)=4(x^2-y^2)(m+n)$
2. 根据平方差公式，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，结合题意：
$x+y$对应“课”，$x-y$对应“程”，因此$x^2-y^2$对应“课程”；
4对应“我”，$m+n$对应“爱”。
3. 将各因式对应的文字组合，得到结果为“我爱课程”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式
【点评】
本题将因式分解和趣味文字对应结合，既考查了因式分解的基本运算能力，又需要准确匹配代数式与对应文字，形式新颖，难度不大，重在对基础公式的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先对给定的代数式进行因式分解：第一步先观察代数式的结构，找到两项的公因式，提取公因式后，再利用平方差公式分解$x^2-y^2$，最后根据题目给出的代数式与文字的对应关系，将每个因式对应的文字组合起来，就能得到正确答案。
【解析】
解：对$4m(x^2-y^2)+4n(x^2-y^2)$因式分解：
1. 提取公因式$4(x^2-y^2)$，可得：
$4m(x^2-y^2)+4n(x^2-y^2)=4(x^2-y^2)(m+n)$
2. 根据平方差公式，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，结合题意：
$x+y$对应“课”，$x-y$对应“程”，因此$x^2-y^2$对应“课程”；
4对应“我”，$m+n$对应“爱”。
3. 将各因式对应的文字组合，得到结果为“我爱课程”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式
【点评】
本题将因式分解和趣味文字对应结合，既考查了因式分解的基本运算能力，又需要准确匹配代数式与对应文字，形式新颖，难度不大，重在对基础公式的掌握。
【难度系数】
0.7
7.分解因式：$4y^2 - (x + y)^2 =$
.
$(x+3y)(y-x)$
.
答案
7.$(x+3y)(y-x)$
解析
【分析】
观察式子发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步先把$4y^2$变形为$(2y)^2$，确定平方差公式中的$a=2y$，$b=x+y$；第二步套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；第三步合并每个括号里的同类项，得到最终分解结果。
【解析】
首先将原式变形为平方差的形式：
$4y^2 - (x + y)^2 = (2y)^2 - (x + y)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入$a=2y$，$b=x+y$可得：
$=(2y + x + y)(2y - (x + y))$
分别合并两个括号内的同类项：
第一个括号：$2y + x + y = x + 3y$
第二个括号：$2y - x - y = y - x$
因此原式分解完成。
【答案】
$(x+3y)(y-x)$
【知识点】
平方差公式分解因式、合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意先判断式子是否符合公式特征，套用公式后记得合并同类项，保证分解结果最简。
【难度系数】
0.8
观察式子发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步先把$4y^2$变形为$(2y)^2$，确定平方差公式中的$a=2y$，$b=x+y$；第二步套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；第三步合并每个括号里的同类项，得到最终分解结果。
【解析】
首先将原式变形为平方差的形式：
$4y^2 - (x + y)^2 = (2y)^2 - (x + y)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入$a=2y$，$b=x+y$可得：
$=(2y + x + y)(2y - (x + y))$
分别合并两个括号内的同类项：
第一个括号：$2y + x + y = x + 3y$
第二个括号：$2y - x - y = y - x$
因此原式分解完成。
【答案】
$(x+3y)(y-x)$
【知识点】
平方差公式分解因式、合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意先判断式子是否符合公式特征，套用公式后记得合并同类项，保证分解结果最简。
【难度系数】
0.8
8. 分解因式：$a^2(x-1)+(1-x)=$
.
$(x-1)(a+1)(a-1)$
.
答案
8.$(x-1)(a+1)(a-1)$
解析
【分析】
解题时首先观察式子的结构，发现两项中分别含因式$(x-1)$和$(1-x)$，二者互为相反数，可先将$(1-x)$变形为$-(x-1)$，使两项出现公因式$(x-1)$；第二步提取公因式$(x-1)$，得到剩余部分为$a^2-1$，刚好符合平方差公式的形式，再用平方差公式继续分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=a^2(x-1)-(x-1)\\&=(x-1)(a^2-1)\\&=(x-1)(a+1)(a-1)\end{aligned}$
【答案】
$(x-1)(a+1)(a-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；因式分解基本步骤
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，考查因式分解的常用方法，解题关键是先对互为相反数的项做变形找到公因式，提取公因式后再结合公式法分解，注意最后结果要分解彻底，每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子的结构，发现两项中分别含因式$(x-1)$和$(1-x)$，二者互为相反数，可先将$(1-x)$变形为$-(x-1)$，使两项出现公因式$(x-1)$；第二步提取公因式$(x-1)$，得到剩余部分为$a^2-1$，刚好符合平方差公式的形式，再用平方差公式继续分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=a^2(x-1)-(x-1)\\&=(x-1)(a^2-1)\\&=(x-1)(a+1)(a-1)\end{aligned}$
【答案】
$(x-1)(a+1)(a-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；因式分解基本步骤
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，考查因式分解的常用方法，解题关键是先对互为相反数的项做变形找到公因式，提取公因式后再结合公式法分解，注意最后结果要分解彻底，每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
9.若$a+b=3,ab=2,x+y=-2$,则$a^3b+2a^2b^2+ab^3 -x -y +2024$的值为
.
2044
.
答案
9.2044
解析
【分析】
本题可先对所求代数式进行变形化简，无需单独求出a、b、x、y的值，采用整体代入的方法计算即可。首先对含a、b的多项式部分先提取公因式ab，再利用完全平方公式因式分解，对含x、y的部分提取负号转化为含(x+y)的形式，最后将已知条件整体代入计算就能得到结果。
【解析】
先对原式变形化简：
$\begin{aligned}&a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 -x -y +2024\\=&ab(a^2 + 2ab + b^2) - (x+y) + 2024\\=&ab(a+b)^2 - (x+y) + 2024\end{aligned}$
将已知$a+b=3,ab=2,x+y=-2$代入上式：
$\begin{aligned}&2×3^2 - (-2) + 2024\\=&2×9 +2 +2024\\=&18+2+2024\\=&2044\end{aligned}$
【答案】
2044
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类的基础题型，核心是通过因式分解和添括号法则将所求式子转化为含有已知整体的形式，利用整体代入思想简化计算，不需要求解单个未知数，掌握因式分解的方法和整体代入的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可先对所求代数式进行变形化简，无需单独求出a、b、x、y的值，采用整体代入的方法计算即可。首先对含a、b的多项式部分先提取公因式ab，再利用完全平方公式因式分解，对含x、y的部分提取负号转化为含(x+y)的形式，最后将已知条件整体代入计算就能得到结果。
【解析】
先对原式变形化简：
$\begin{aligned}&a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 -x -y +2024\\=&ab(a^2 + 2ab + b^2) - (x+y) + 2024\\=&ab(a+b)^2 - (x+y) + 2024\end{aligned}$
将已知$a+b=3,ab=2,x+y=-2$代入上式：
$\begin{aligned}&2×3^2 - (-2) + 2024\\=&2×9 +2 +2024\\=&18+2+2024\\=&2044\end{aligned}$
【答案】
2044
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类的基础题型，核心是通过因式分解和添括号法则将所求式子转化为含有已知整体的形式，利用整体代入思想简化计算，不需要求解单个未知数，掌握因式分解的方法和整体代入的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.当$a=-2$时，$a^2(a^4 + 4a^2 + 16) - 4(a^4 + 4a^2 + 16)$的值为
0
。答案
10.0
解析
【分析】
拿到这道代数式求值题，首先观察式子结构，发现前后两个乘积项含有相同的公因式$(a^4 + 4a^2 + 16)$，因此优先考虑先提公因式化简代数式，再代入数值计算，既可以减少计算量，也能降低计算出错的概率。如果直接代入$a=-2$计算也能得到结果，但计算步骤更繁琐。
【解析】
方法一（先化简再求值）：
第一步，提取公因式：
原式$=(a^2 - 4)(a^4 + 4a^2 + 16)$
第二步，利用平方差公式继续分解$a^2-4$：
$a^2 - 4=(a+2)(a-2)$
因此原式$=(a+2)(a-2)(a^4 + 4a^2 + 16)$
第三步，代入$a=-2$计算：
当$a=-2$时，$a+2=-2+2=0$，根据0乘任何数都得0，可得原式的值为0。
方法二（直接代入求值）：
当$a=-2$时，$a^2=(-2)^2=4$，$a^4=(a^2)^2=16$
代入原式得：
$4×(16 + 4×4 + 16) - 4×(16 + 4×4 + 16)$
$=4×48 - 4×48$
$=192-192=0$
【答案】
0
【知识点】
代数式求值、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题时优先观察代数式的结构特征，通过因式分解简化运算可以大幅提升解题效率，避免直接代入计算的繁琐，减少出错可能。
【难度系数】
0.85
拿到这道代数式求值题，首先观察式子结构，发现前后两个乘积项含有相同的公因式$(a^4 + 4a^2 + 16)$，因此优先考虑先提公因式化简代数式，再代入数值计算，既可以减少计算量，也能降低计算出错的概率。如果直接代入$a=-2$计算也能得到结果，但计算步骤更繁琐。
【解析】
方法一（先化简再求值）：
第一步，提取公因式：
原式$=(a^2 - 4)(a^4 + 4a^2 + 16)$
第二步，利用平方差公式继续分解$a^2-4$：
$a^2 - 4=(a+2)(a-2)$
因此原式$=(a+2)(a-2)(a^4 + 4a^2 + 16)$
第三步，代入$a=-2$计算：
当$a=-2$时，$a+2=-2+2=0$，根据0乘任何数都得0，可得原式的值为0。
方法二（直接代入求值）：
当$a=-2$时，$a^2=(-2)^2=4$，$a^4=(a^2)^2=16$
代入原式得：
$4×(16 + 4×4 + 16) - 4×(16 + 4×4 + 16)$
$=4×48 - 4×48$
$=192-192=0$
【答案】
0
【知识点】
代数式求值、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题时优先观察代数式的结构特征，通过因式分解简化运算可以大幅提升解题效率，避免直接代入计算的繁琐，减少出错可能。
【难度系数】
0.85
