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三、解答题
11.分解因式:
(1)$3pq^3 + 15p^3q$;
(2)$9x^2 - 1$;
(3)$a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$;
(4)$(a^2 + 4)^2 - 16a^2$.
11.分解因式:
(1)$3pq^3 + 15p^3q$;
(2)$9x^2 - 1$;
(3)$a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$;
(4)$(a^2 + 4)^2 - 16a^2$.
答案
11.解:
(1)原式$=3pq(q^2 + 5p^2)$.
(2)原式$=(3x-1)(3x+1)$.
(3)原式$=ab(a^2 - 2ab + b^2) = ab(a-b)^2$.
(4)原式$=(a^2+4)^2-(4a)^2=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)=(a+2)^2(a-2)^2$.
(1)原式$=3pq(q^2 + 5p^2)$.
(2)原式$=(3x-1)(3x+1)$.
(3)原式$=ab(a^2 - 2ab + b^2) = ab(a-b)^2$.
(4)原式$=(a^2+4)^2-(4a)^2=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)=(a+2)^2(a-2)^2$.
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的基本步骤：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）或完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查最终的每个因式是否还能再分解，保证分解彻底。
针对各小题的思考路径：
(1) 多项式两项都含公因式$3pq$，提取后剩余部分没有公因式、也不符合公式结构，分解完成；
(2) 多项式可写成$(3x)^2-1^2$，符合平方差公式特征，直接套用公式分解即可；
(3) 多项式三项都含公因式$ab$，提取后剩余的$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式特征，继续套用公式分解；
(4) 整体可写成$(a^2+4)^2-(4a)^2$，符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，得到的两个因式又分别符合完全平方公式特征，需再次套用公式分解到不能分解为止。
【解析】
(1) 提取公因式$3pq$：
原式$=3pq· q^2 + 3pq· 5p^2 = 3pq(q^2 + 5p^2)$
(2) 套用平方差公式，其中$a=3x$，$b=1$：
原式$=(3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$
(3) 先提取公因式$ab$，再套用完全平方公式：
原式$=ab· a^2 - ab· 2ab + ab· b^2 = ab(a^2 - 2ab + b^2) = ab(a-b)^2$
(4) 先套用平方差公式，再对分解后的因式分别套用完全平方公式：
原式$=(a^2+4)^2-(4a)^2=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)=(a+2)^2(a-2)^2$
【答案】
(1)$3pq(q^2 + 5p^2)$；(2)$(3x-1)(3x+1)$；(3)$ab(a-b)^2$；(4)$(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的步骤进行，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
分解因式需遵循“一提二套三查”的基本步骤：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）或完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查最终的每个因式是否还能再分解，保证分解彻底。
针对各小题的思考路径：
(1) 多项式两项都含公因式$3pq$，提取后剩余部分没有公因式、也不符合公式结构，分解完成；
(2) 多项式可写成$(3x)^2-1^2$，符合平方差公式特征，直接套用公式分解即可；
(3) 多项式三项都含公因式$ab$，提取后剩余的$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式特征，继续套用公式分解；
(4) 整体可写成$(a^2+4)^2-(4a)^2$，符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，得到的两个因式又分别符合完全平方公式特征，需再次套用公式分解到不能分解为止。
【解析】
(1) 提取公因式$3pq$：
原式$=3pq· q^2 + 3pq· 5p^2 = 3pq(q^2 + 5p^2)$
(2) 套用平方差公式，其中$a=3x$，$b=1$：
原式$=(3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$
(3) 先提取公因式$ab$，再套用完全平方公式：
原式$=ab· a^2 - ab· 2ab + ab· b^2 = ab(a^2 - 2ab + b^2) = ab(a-b)^2$
(4) 先套用平方差公式，再对分解后的因式分别套用完全平方公式：
原式$=(a^2+4)^2-(4a)^2=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)=(a+2)^2(a-2)^2$
【答案】
(1)$3pq(q^2 + 5p^2)$；(2)$(3x-1)(3x+1)$；(3)$ab(a-b)^2$；(4)$(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的步骤进行，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
12.老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述.
甲:这是一个三次四项式；
乙:常数项为1；
丙:这个多项式的前三项有公因式；
丁:这个多项式分解因式时要用到公式法.
若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解.
甲:这是一个三次四项式；
乙:常数项为1；
丙:这个多项式的前三项有公因式；
丁:这个多项式分解因式时要用到公式法.
若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解.
答案
12.解:$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)^2(x+1)$;
$4x^3-4x^2-x+1=4x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(2x+1)(2x-1)$.
$4x^3-4x^2-x+1=4x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(2x+1)(2x-1)$.
解析
【分析】
我们结合四位同学的描述逐步明确构造多项式的要求：1. 由甲的描述可知，多项式最高次项次数为3，共包含4个项；2. 由乙的描述可知，多项式的常数项为1；3. 由丙的描述可知，多项式的前三项存在公因式；4. 由丁的描述可知，因式分解过程需要用到平方差或完全平方公式。构造时先写出满足次数、项数、常数项要求的式子，保证前三项有公因式，再验证分解时可使用公式法即可。
【解析】
我们构造两个符合要求的多项式并分别分解：
1. 构造多项式$x^3 - x^2 - x + 1$
分解过程：
先分组提公因式：$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)$
再提取整体公因式：$=(x-1)(x^2-1)$
最后用平方差公式分解：$=(x-1)^2(x+1)$
2. 构造多项式$4x^3 - 4x^2 - x + 1$
分解过程：
先分组提公因式：$4x^3-4x^2-x+1=4x^2(x-1)-(x-1)$
再提取整体公因式：$=(x-1)(4x^2-1)$
最后用平方差公式分解：$=(x-1)(2x+1)(2x-1)$
【答案】
$x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$；
$4x^3-4x^2-x+1=(x-1)(2x+1)(2x-1)$。（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
多项式的概念，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题为开放性试题，需要熟练掌握多项式的性质和因式分解的常用方法，重点考查对知识的综合运用和灵活变通能力。
【难度系数】
0.6
我们结合四位同学的描述逐步明确构造多项式的要求：1. 由甲的描述可知，多项式最高次项次数为3，共包含4个项；2. 由乙的描述可知，多项式的常数项为1；3. 由丙的描述可知，多项式的前三项存在公因式；4. 由丁的描述可知，因式分解过程需要用到平方差或完全平方公式。构造时先写出满足次数、项数、常数项要求的式子，保证前三项有公因式，再验证分解时可使用公式法即可。
【解析】
我们构造两个符合要求的多项式并分别分解：
1. 构造多项式$x^3 - x^2 - x + 1$
分解过程：
先分组提公因式：$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)$
再提取整体公因式：$=(x-1)(x^2-1)$
最后用平方差公式分解：$=(x-1)^2(x+1)$
2. 构造多项式$4x^3 - 4x^2 - x + 1$
分解过程：
先分组提公因式：$4x^3-4x^2-x+1=4x^2(x-1)-(x-1)$
再提取整体公因式：$=(x-1)(4x^2-1)$
最后用平方差公式分解：$=(x-1)(2x+1)(2x-1)$
【答案】
$x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$；
$4x^3-4x^2-x+1=(x-1)(2x+1)(2x-1)$。（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
多项式的概念，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题为开放性试题，需要熟练掌握多项式的性质和因式分解的常用方法，重点考查对知识的综合运用和灵活变通能力。
【难度系数】
0.6
